《高中数学第二章圆锥曲线与方程微专题突破四圆锥曲线的定点、定值与最值问题课件新人教B版选修1_1.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学第二章圆锥曲线与方程微专题突破四圆锥曲线的定点、定值与最值问题课件新人教B版选修1_1.ppt（64页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、专题突破四圆锥曲线的定点 定值与最值问题 第二章圆锥曲线与方程 与圆锥曲线有关的定点 定值问题是高考考查的热点 难度较大 此类问题常常作为第19题或第20题的第二问 常以直线与圆锥曲线的位置关系为背景 以坐标运算为基础 一般是证明满足条件的直线过定点 目标代数式为定值 或计算面积 长度 数量积等的最大值 最小值 求解此类问题的关键是引进变化的参数表示直线方程 数量积等 根据等式的恒成立 数式变换等寻找不受参数影响的量 一 定点问题例1已知动圆过定点A 4 0 且在y轴上截得弦MN的长为8 1 求动圆圆心的轨迹C的方程 解如图 设动圆圆心为O1 x y 由题意 得 O1A O1M 当O1不在y轴
2、上时 过O1作O1H MN交MN于H 则H是MN的中点 化简得y2 8x x 0 又当O1在y轴上时 O1与O重合 点O1的坐标为 0 0 也满足方程y2 8x 动圆圆心的轨迹C的方程为y2 8x 2 已知点B 1 0 设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P Q 若x轴是 PBQ的角平分线 证明 直线l过定点 证明由题意 设直线l的方程为y kx b k 0 P x1 y1 Q x2 y2 将y kx b代入y2 8x中 得k2x2 2bk 8 x b2 0 其中 32kb 64 0 即y1 x2 1 y2 x1 1 0 kx1 b x2 1 kx2 b x1 1 0 2kx1x2 b
3、 k x1 x2 2b 0 将 代入 得2kb2 k b 8 2bk 2k2b 0 k b 此时 0 直线l的方程为y k x 1 即直线l过定点 1 0 点评求定点问题 需要注意两个方面 一是抓 特值 涉及的定点多在两条坐标轴上 所以可以先从斜率不存在或斜率为0的特殊情况入手找出定点 为解题指明方向 二是抓 参数之间的关系 定点问题多是直线过定点 所以要抓住问题的核心 实质就是求解直线方程中参数之间的关系 所以要熟悉直线方程的特殊形式 若直线的方程为y kx b 则直线y kx b恒过点 0 b 若直线方程为y k x a 则直线恒过点 a 0 可得a2 2b2 2 设椭圆E的左顶点是A 若
4、直线l x my t 0与椭圆E相交于不同的两点M N M N与A均不重合 若以MN为直径的圆过点A 试判定直线l是否过定点 若过定点 求出该定点的坐标 解由x my t 0得x my t 把它代入E的方程得 m2 2 y2 2mty t2 4 0 设M x1 y1 N x2 y2 x1x2 my1 t my2 t m2y1y2 tm y1 y2 t2 因为以MN为直径的圆过点A 所以AM AN 因为M N与A均不重合 所以t 2 由于点T在椭圆内部 故满足判别式大于0 解得a2 8 b2 4 2 直线l不过原点O且不平行于坐标轴 l与C有两个交点A B 线段AB的中点为M 证明 直线OM的斜
5、率与直线l的斜率的乘积为定值 证明方法一设直线l y kx b k 0 b 0 A x1 y1 B x2 y2 M xM yM 2k2 1 x2 4kbx 2b2 8 0 所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值 方法二设A x1 y1 B x2 y2 M xM yM 直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值 点评 1 求定值问题的常用方法 从特殊入手 求出定值 再证明这个值与变量无关 直接推理 计算 并在计算推理的过程中消去变量 从而得到定值 2 定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题 基本思路是使用参数表示要解决的问题 证明要解决的问题与参数无关 在这类问题中选择消元的方向是非常关键
6、的 跟踪训练2 2018 江西南昌高二检测 已知点F为抛物线C y2 4x的焦点 点D 1 2 为抛物线C上一点 1 直线l过点F交抛物线C于A B两点 若 AB 5 求直线l的方程 解依题意 点F的坐标为 1 0 设直线l的方程为x my 1 设A x1 y1 B x2 y2 则y1 y2 4m y1y2 4 故直线l的方程为2x y 2 0或2x y 2 0 2 过点D作两条倾斜角互补的直线分别交抛物线C于异于点D的两点P Q 试证明直线PQ的斜率为定值 并求出该定值 解方法一设直线DP的斜率为k k 0 则直线DQ的斜率为 k 设P xP yP 因为点D的坐标为 1 2 所以2yP 8t
7、 4 故yP 4t 2 从而点P的坐标为 4t2 4t 1 4t 2 用 t替换点P坐标中的t可得点Q的坐标为 4t2 4t 1 4t 2 即直线PQ的斜率为定值 1 方法二设P x3 y3 Q x4 y4 因为P Q在抛物线y2 4x上 因为x3 x4 所以y3 y4 4 三 最值 范围问题与圆锥曲线有关的最值与范围问题是高考考查的重点 多以直线和椭圆相交或直线和抛物线相切 相交为前提 考查弦长 面积或相关代数式的最值与范围问题 该问题综合性较强 具有一定的难度 其中最值与范围问题多与三角函数 平面几何等知识综合考查 形式多样 1 求椭圆M的方程 由 8m2 16 m2 4 0 点评最值 范
8、围问题的主要求解方法 1 几何法 若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义 则考虑利用图形性质来解决 2 代数法 若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系 则可先建立起目标函数或等量关系 利用判别式 基本不等式 函数的性质等进行求解 跟踪训练3 2018 济南高二检测 已知中心在原点O 左焦点为F1 1 0 的椭圆C的左顶点为A 上顶点为B F1到直线AB的距离为 OB 1 求椭圆C的方程 整理得a2 b2 7 a 1 2 若切线l不垂直于x轴 可设其方程为y kx p 将y kx p代入椭圆C的方程 得 3 4k2 x2 8kpx 4p2 12 0 8kp 2 4 3 4k2 4p2 1
9、2 48 4k2 3 p2 0 即p2 4k2 3 记M N两点的坐标分别为 x1 y1 x2 y2 将y kx p代入椭圆C2的方程 得 3 4k2 x2 8kpx 4p2 36 0 1 2 3 4 5 针对训练 ZHENDUIXUNLIAN 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 解析设A x1 y1 B x2 y2 则x1 x2 3 利用抛物线的定义可知 AF BF x1 x2 1 4 由图可知 AF BF AB 即 AB 4 当且仅当直线AB过焦点F时 AB 取得最大值4 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 解析由题意知弦所在直线斜率k 0 设弦端点C
10、x1 y1 D x2 y2 1 2 3 4 5 6 7 8 CD的中点在线段AB上 解得 4 k 2 故选A 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 1 求抛物线 的方程 1 2 3 4 5 6 7 8 代入x2 2py p 0 中得4 p2 即p 2 所以抛物线 的方程是x2 4y 1 2 3 4 5 6 7 8 2 若k2 k1 2 点D是抛物线在点B C处切线的交点 记 BCD的面积为S 证明S为定值 1 2 3 4 5 6 7 8 证明过D作y轴的平行线交BC于点E 又k2 k1 2 所以x2 x1 8 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7
11、 8 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 1 求椭圆E的方程 1 2 3 4 5 6 7 8 2 经过点 1 1 且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P Q 均异于点A 证明 直线AP与AQ的斜率之和为2 得 1 2k2 x2 4k k 1 x 2k k 2 0 由已知 4k k 1 2 4 1 2k2 2k k 2 0 得k0且k 2 设P x1 y1 Q x2 y2 x1x2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 所以直线AP与AQ的斜率之和为定值2 从而直线AP AQ的斜率之和 7 2018 全国
12、 设抛物线C y2 2x 点A 2 0 B 2 0 过点A的直线l与C交于M N两点 1 当l与x轴垂直时 求直线BM的方程 1 2 3 4 5 6 7 8 解当l与x轴垂直时 l的方程为x 2 可得点M的坐标为 2 2 或 2 2 即x 2y 2 0或x 2y 2 0 2 证明 ABM ABN 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 证明当l与x轴垂直时 AB为MN的垂直平分线 所以 ABM ABN 当l与x轴不垂直时 设l的方程为y k x 2 k 0 M x1 y1 N x2 y2 则x1 0 x2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 所以kBM kBN 0 可知
13、BM BN的倾斜角互补 所以 ABM ABN 综上 ABM ABN 1 2 3 4 5 6 7 8 1 求M的方程 解设A x1 y1 B x2 y2 P x0 y0 1 2 3 4 5 6 7 8 所以a2 2b2 1 2 3 4 5 6 7 8 因此a2 6 b2 3 2 C D为M上两点 若四边形ACBD的对角线CD AB 求四边形ACBD面积的最大值 1 2 3 4 5 6 7 8 由题意可设直线CD的方程为y x n 设C x3 y3 D x4 y4 1 2 3 4 5 6 7 8 16n2 12 2n2 6 0 得 3 n 3 因为直线CD的斜率为1 1 2 3 4 5 6 7 8
