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1、第四章 圆与方程 考点1求圆的方程1求圆的方程的常用方法有待定系数法、几何法等，运用待定系数法时，要充分利用题目中提供的三个条件来确定三个独立的参数；使用几何法时，要充分利用圆的有关性质，如垂径定理、“半径、弦长的一半、弦心距构成直角三角形”等2如果已知条件容易求得圆心坐标、半径，则一般选用圆的标准方程，否则选用圆的一般方程典例1过点A(1,2)，且与两坐标轴同时相切的圆的方程为()A(x1)2(y1)21或(x5)2(y5)225B(x1)2(y3)22C(x5)2(y5)225D(x1)2(y1)21解析：选A由题意可设圆心为(a，a)，则半径ra，圆的方程为(xa)2(ya)2a2，又点
2、A(1,2)在圆上，(1a)2(2a)2a2，解得a1或a5.所求圆的方程为(x1)2(y1)21或(x5)2(y5)225.对点训练1经过两点P(2,4)、Q(3，1)，且在x轴上截得的弦长为6的圆的方程解：设圆的方程为x2y2DxEyF0，将P、Q两点的坐标分别代入，得又令y0，得x2DxF0.由已知，|x1x2|6(其中x1，x2是方程x2DxF0的两根)，D24F36，、联立组成方程组，解得或所求圆的方程为x2y22x4y80或x2y26x8y0.考点2直线与圆的位置关系判断直线和圆的位置关系，一般用代数法或几何法，为避免繁杂的运算，最好用几何法，其解题思路是：先求出圆心到直线的距离d
3、，然后比较所求距离d与半径r的大小关系，进而判断直线和圆的位置关系典例2已知圆C和y轴相切，圆心在直线x3y0上，且被直线yx截得的弦长为2，求圆C的方程解：设圆C的方程为(xa)2(yb)2r2.由圆C与y轴相切得|a|r，又圆心在直线x3y0上，a3b0，圆心C(a，b)到直线yx的距离为d，由于弦心距d，半径r及弦的一半构成直角三角形，2()2r2.联立解方程组可得或故圆C的方程为(x3)2(y1)29或(x3)2(y1)29.对点训练2直线xy20被圆(x1)2y21截得的线段的长为()A1B.C.D2解析：选C圆心到直线的距离d，弦长l2.3已知直线l经过坐标原点，且与圆x2y24x
4、30相切，切点在第四象限，则直线l的方程为_解析：设切线方程为ykx，代入圆方程中，得(1k2)x24x30.由0，解得k，所以直线l的方程为xy0.答案：xy0考点3圆与圆的位置关系两个不相等的圆的位置关系有五种：外离、外切、相交、内切、内含，其判断方法有两种：代数法(通过解两圆的方程组成的方程组，根据解的个数来判断)、几何法(由两圆的圆心距d与半径长r，R的大小关系来判断)(1)求相交两圆的弦长时，可先求出两圆公共弦所在直线的方程，再利用相交两圆的几何性质和勾股定理来求弦长(2)过圆C1：x2y2D1xE1yF10与圆C2：x2y2D2xE2yF20的交点的直线方程为(D1D2)x(E1E
5、2)yF1F20.典例3(2016九江高一检测)求与圆x2y22x0外切且与直线xy0相切于点M(3，)的圆的方程解：设所求圆的方程为(xa)2(yb)2r2(r0)，由题知所求圆与圆x2y22x0外切，则r1.又所求圆过点M的切线为直线xy0，故. r. 解由组成的方程组得，a4，b0，r2或a0，b4，r6.故所求圆的方程为(x4)2y24或x2(y4)236.对点训练4两圆x2y2r2，(x3)2(y4)24相切，则正实数r的值为_解析：当两圆外切时，两圆心的距离d5，由题意，得r25，r3；当两圆内切时，由题意知，r25，即r7.答案：3或7（时间120分钟 满分150分）一、选择题(
6、本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1在空间直角坐标系中，点A(3,4,0)与点B(2，1,6)的距离是()A2 B2 C9 D.解析：选D由空间直角坐标系中两点间距离公式得：|AB|.2方程x2y2xym0表示一个圆，则m的取值范围是()A. B.C. D.解析：选A由题意得114m0，解得m.3(2015北京高考)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是()A(x1)2(y1)21 B(x1)2(y1)21 C(x1)2(y1)22 D(x1)2(y1)22解析：选Dr，所求方程为(x1)2(y1)22，选D.4点A(2a，a1)在以点C(
7、0,1)为圆心，半径为的圆上，则a的值为()A1 B0或1C1或 D或1解析：选D由题意，已知圆的方程为x2(y1)25，将点A的坐标代入圆的方程可得a1或a.5过原点且倾斜角为60的直线被圆x2y24y0所截得的弦长为()A. B2 C. D2解析：选D直线方程为yx，圆的方程化为x2(y2)222，r2，圆心(0,2)到直线yx的距离为d1，半弦长为，弦长为2.6已知过点P(2,2)的直线与圆(x1)2y25相切，且与直线axy10垂直，则a()A B1 C2 D.解析：选C因为点P(2,2)为圆(x1)2y25上的点，由圆的切线性质可知，圆心(1,0)与点P(2,2)的连线与过点P(2,
8、2)的切线垂直因为圆心(1,0)与点P(2,2)的连线的斜率k2，故过点P(2,2)的切线斜率为，所以直线axy10的斜率为2，因此a2.7一条光线从点A(1,1)出发，经x轴反射到C：(x2)2(y3)21上，则光走过的最短路程为()A1 B2 C3 D4解析：选DA(1,1)关于x轴的对称点B(1，1)，圆心C(2,3)，所以光走过的最短路程为|BC|14.8过点M(1,2)的直线l与圆C：(x2)2y29交于A、B两点，C为圆心，当ACB最小时，直线l的方程为()Ax1 By1Cxy10 Dx2y30解析：选D当CMl，即弦长最短时，ACB最小，klkCM1，kl，l的方程为： x2y3
9、0.9圆C1：(x2)2(ym)29与圆C2：(xm)2(y1)24外切，则m的值为()A2 B5C2或5 D不确定解析：选C圆C1：(x2)2(ym)29的圆心为(2，m)，半径长为3，圆C2：(xm)2(y1)24的圆心为(m，1)，半径长为2.依题意有32，即m23m100，解得m2或m5.10过点P(2,4)作圆O：(x2)2(y1)225的切线l，直线m: ax3y0与直线l平行，则直线l与m的距离为()A4B2C.D.解析：选AP为圆上一点，则有kOPkl1，而kOP，kl，a4，m的直线方程为4x3y0，l的直线方程为4x3y200.l与m的距离为4.11过点(3,1)作圆(x1
10、)2y21的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为()A2xy30 B2xy30C4xy30 D4xy30解析：选A设P(3,1)，圆心C(1,0)，切点为A、B，则P、A、C、B四点共圆，且PC为圆的直径，四边形PACB的外接圆方程为(x2)22，圆C：(x1)2y21，得2xy30，此即为直线AB的方程12已知圆C1：(x2)2(y3)21，圆C2：(x3)2(y4)29，M、N分别是圆C1、C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|PN|的最小值为()A54 B.1C62 D.解析：选A由题意知，圆C1：(x2)2(y3)21，圆C2：(x3)2(y4)29的圆心分别为C1(2,
11、3)，C2(3,4)，且|PM|PN|PC1|PC2|4，点C1(2，3)关于x轴的对称点为C(2，3)，所以|PC1|PC2|PC|PC2|CC2|5，即|PM|PN|PC1|PC2|454.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13在如图所示的长方体ABCDA1B1C1D1中，已知A1(a,0，c)，C(0，b,0)，则点B1的坐标为_解析：由题中图可知，点B1的横坐标和竖坐标与点A1的横坐标和竖坐标相同，点B1的纵坐标与点C的纵坐标相同，B1(a，b，c)答案：(a，b，c)14设A为圆(x2)2(y2)21上一动点，则A到直线xy50的最大距离为_解析：圆心到直线的距离d，
12、则A到直线xy50的最大距离为1.答案：115从原点向圆x2y212y270作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为_解析：(数形结合法)如图，圆x2y212y270可化为x2(y6)29，圆心坐标为(0,6)，半径为3.在RtOBC中可得：OCB，ACB，所求劣弧长为2.答案：216由动点P向圆x2y21引两条切线PA，PB，切点分别为A，B，APB60，则动点P的轨迹方程是_解析：设动点P的坐标为(x，y)，依题意有|PO|2，x2y24，即所求的轨迹方程为x2y24.答案：x2y24三、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)(2016绍兴高一检测)已知圆C的方程是(x1)2(y1)24，直线l的方程为yxm，求当m为何值时，(1)直线平分圆；(2)直线与圆相切解：(1)直线平分圆，所以圆心在直线上，即有m0.(2)直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，d2，m2.即m2时，直线l与圆相切18(本小题满分12分)已知直线l1：xy10，直线l2：4x3y140，直线l3：3x4y100，求圆心在直线l1上，与直线l2相切，截直线l3所得的弦长为6的圆的方程解：设圆心为C(a，a1)，半径为r，则点C到直线l2的距离d1.点C到直线l3的距离d2.由题意，得
