新课标人教A版高一数学必修1知识点总结强列推荐

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1、高中数学必修 1 知识点 第一章集合与函数概念 一 集合有关概念 1 集合的含义 某些指定的对象集在一起就成为一个集合 其中每一个对象叫元素 2 集合的中元素的三个特性 1 元素的确定性 2 元素的互异性 3 元素的无序性 说明 1 对于一个给定的集合 集合中的元素是确定的 任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的 元素 2 任何一个给定的集合中 任何两个元素都是不同的对象 相同的对象归入一个集合时 仅算一个元素 3 集合中的元素是平等的 没有先后顺序 因此判定两个集合是否一样 仅需比较它们的元素是否一样 不需考查排列顺序是否一样 4 集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性 3 集

2、合的表示 如 我校的篮球队员 太平洋 大西洋 印度洋 北冰洋 1 用拉丁字母表示集合 A 我校的篮球队员 B 1 2 3 4 5 2 集合的表示方法 列举法与描述法 列举法 把集合中的元素一一列举出来 然后用一个大括号括上 描述法 将集合中的元素的公共属性描述出来 写在大括号内表示集合的方法 用确定的条件表示 某些对象是否属于这个集合的方法 语言描述法 例 不是直角三角形的三角形 数学式子描述法 例 不等式x 3 2 的解集是 x R x 3 2 或 x x 3 2 3 图示法 文氏图 4 常用数集及其记法 非负整数集 即自然数集 记作 N 正整数集N 或 N 整数集Z 有理数集Q 实数集R

3、5 属于 的概念 集合的元素通常用小写的拉丁字母表示 如 a是集合 A 的元素 就说a 属于集合 A 记作a A 相反 a不属于集合A 记作aA 6 集合的分类 1 有限集含有有限个元素的集合2 无限集含有无限个元素的集合3 空集不含任何元素的集合 二 集合间的基本关系 1 包含 关系 子集 对于两个集合A 与 B 如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素 我们就说两集合有包含关系 称 集合 A 为集合 B 的子集 记作AB 注意 有两种可能 1 A 是 B 的一部分 2 A 与 B 是同一集合 反之 集合 A 不包含于集合B 或集合 B 不包含集合A 记作 A B 或 BA 集合 A 中

4、有 n 个元素 则集合 A 子集个数为2n 2 相等 关系 5 5 且 5 5 则 5 5 实例 设A x x 2 1 0 B 1 1 元素相同 结论 对于两个集合A 与 B 如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素 同时 集合 B 的任何一个元 素都是集合A 的元素 我们就说集合A 等于集合B 即 A BABBA且 任何一个集合是它本身的子集 AA 真子集 如果 AB 且 AB 那就说集合A 是集合 B 的真子集 记作AB 或 BA 如果AB BC 那么AC 如果 AB 同时BA 那么 A B 3 不含任何元素的集合叫做空集 记为 规定 空集是任何集合的子集 空集是任何非空集合的真子集

5、三 集合的运算 1 交集的定义 一般地 由所有属于A 且属于 B 的元素所组成的集合 叫做 A B 的交集 记作 A B 读作 A 交 B 即 A B x x A 且 x B 2 并集的定义 一般地 由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合 叫做 A B 的并集 记作 A B 读作 A 并 B 即 A B x x A 或 x B 3 交集与并集的性质 A A A A A B B A A A A A A A B B A 4 全集与补集 1 全集 如果集合S 含有我们所要研究的各个集合的全部元素 这个集合就可以看作一个全集 通常 用 U 来表示 2 补集 设S 是一个集合 A 是 S 的

6、一个子集 即AS 由 S 中 所有不属于A 的元素组成的集合 叫做S 中子集 A 的补集 或余集 记作 CSA 即 CSA x xS且 xA 3 性质 CU C UA A C UA A C UA A U 4 C UA C UB C U A B 5 C UA C UB C U A B 二 函数的有关概念 1 函数的概念 设 A B 是非空的数集 如果按照某个确定的对应关系f 使对于集合A 中的任意一个数 x 在集合B 中都有唯一确定的数f x 和它对应 那么就称f A B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数 记 作 y f x x A 其中 x 叫做自变量 x 的取值范围A 叫做函数的定义域

7、与x 的值相对应的y 值叫 做函数值 函数值的集合 f x x A 叫做函数的值域 注意 1 如果只给出解析式y f x 而没有指明它的定义域 则函数的定义域即是指能使这个式子有意义 的实数的集合 2 函数的定义域 值域要写成集合或区间 的形式 定义域补充 能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域 求函数的定义域时列不等式组的主要依据 是 1 分式的分母不等于零 2 偶次方根的被开方数不小于零 3 对数式的真数必须大于零 4 指数 对数 式的底必须大于零且不等于1 5 如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的 那么 它的定义 域是使各部分都有意义的x 的值组成的集合 6 指数为零

8、底不可以等于零 7 实际问题中的函数的定义 域还要保证实际问题有意义 注意 求出不等式组的解集即为函数的定义域 2 构成函数的三要素 定义域 对应关系和值域 注意 1 构成函数三个要素是定义域 对应关系和值域 由于值域是由定义域和对应关系决定的 所以 如果两个函数的定义域和对应关系完全一致 即称这两个函数相等 或为同一函数 2 两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致 而与表示自变量和函数值的字母无关 相同函数的判断方法 定义域一致 表达式相同 两点必须同时具备 值域补充 1 函数的值域取决于定义域和对应法则 不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域 2 应熟悉掌握一次函数 二

9、次函数 指数 对数函数及各三角函数的值域 它是求解复杂函数值域的基 础 3 函数图象知识归纳 1 定义 在平面直角坐标系中 以函数y f x x A 中的 x 为横坐标 函数值y 为纵坐标的点P x y 的集合 C 叫做函数y f x x A 的图象 C 上每一点的坐标 x y 均满足函数关系y f x 反过来 以满足y f x 的每一组有序实数对x y 为 坐标的点 x y 均在 C 上 即记为 C P x y y f x x A 图象 C 一般的是一条光滑的连续曲线 或直线 也可能是由与任意平行于Y轴的直线最多只有一个交点 S CsA A 的若干条曲线或离散点组成 2 画法 A 描点法 根

10、据函数解析式和定义域 求出x y 的一些对应值并列表 以 x y 为坐标在坐标系内描出相 应的点 P x y 最后用平滑的曲线将这些点连接起来 B 图象变换法 常用变换方法有三种 即平移变换 对称变换和伸缩变换 对称变换 1 将 y f x 在 x 轴下方的图象向上翻得到y f x 的图象如 书上P21 例 5 2 y f x 和 y f x 的图象关于y 轴对称 如 1 x xx yaya a 与 3 y f x 和 y f x 的图象关于x 轴对称 如 1 logloglog aa a yxyxx与 平移变换 由 f x 得到 f xa 左加右减 由 f x 得到 f x a 上加下减 3

11、 作用 A 直观的看出函数的性质 B 利用数形结合的方法分析解题的思路 C 提高解题的速度 发 现解题中的错误 4 区间的概念 1 区间的分类 开区间 闭区间 半开半闭区间 2 无穷区间 3 区间的数轴表示 5 映射 定义 一般地 设A B 是两个非空的集合 如果按某一个确定的对应法则f 使对于集合A 中的任意一 个元素 x 在集合 B 中都有唯一确定的元素y 与之对应 那么就称对应f AB 为从集合A 到集合 B 的 一个映射 记作 f AB 给定一个集合A 到 B 的映射 如果a A b B 且元素 a 和元素 b 对应 那么 我们把元素b 叫做元素a 的象 元素a叫做元素b 的原象 说明

12、 函数是一种特殊的映射 映射是一种特殊的对应 集合A B 及对应法则f 是确定的 对应法则 有 方向性 即强调从集合A 到集合 B 的对应 它与从B 到 A 的对应关系一般是不同的 对于映射f A B 来说 则应满足 集合A 中的每一个元素 在集合B 中都有象 并且象是唯一 的 集合A 中不同的元素 在集合B 中对应的象可以是同一个 不要求集合B 中的每一个元 素在集合 A 中都有原象 6 函数的表示法 常用的函数表示法及各自的优点 1 函数图象既可以是连续的曲线 也可以是直线 折线 离散的点等等 注意判断一个图形是否是函数图 象的依据 作垂直于x 轴的直线与曲线最多有一个交点 2 解析法 必

13、须注明函数的定义域 3 图象法 描点法作图要注意 确定函数的定义域 化简函数的解析式 观察函数的特征 4 列表法 选取的自变量要有代表性 应能反映定义域的特征 注意 解析法 便于算出函数值 列表法 便于查出函数值 图象法 便于量出函数值 补充一 分段函数 在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数 在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相 应的表达式 分段函数的解析式不能写成几个不同的方程 而应写成函数值几种不同的表达式并用一个左 大括号括起来 并分别注明各部分的自变量的取值情况 注意 1 分段函数是一个函数 不要把它误认 为是几个函数 2 分段函数的定义域是各段定义域的并集 值域是各段值

14、域的并集 补充二 复合函数 如果 y f u u M u g x x A 则 y f g x F x x A 称为 f 是 g 的复合函数 7 函数单调性 1 增函数 设函数 y f x 的定义域为I 如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x1 x2 当 x1 x2时 都有 f x1 f x2 那么就说 f x 在区间 D 上是 增函数 区间 D 称为 y f x 的 单调增区间 如果对于区间D 上的任意两个自变量的值x1 x2 当 x1 x2 时 都有 f x1 f x 2 那么就说f x 在这个区间上是减函数 区间 D 称为 y f x 的单调减区 间 注意 1 函数的单调性

15、是在定义域内的某个区间上的性质 是函数的局部 性质 2 必须是对于区间D 内的 任意 两个自变量x1 x2 当 x1 x2时 总有 f x1 f x 2 或 f x1 f x2 2 图象的特点 如果函数y f x 在某个区间是增函数或减函数 那么说函数y f x 在这一区间上具有 严格的 单调性 在单 调区间上增函数的图象从左到右是上升的 减函数的图象从左到右是下降的 3 函数单调区间与单调性的判定方法 A 定义法 1 任取 x1 x2 D 且 x1 0 C 为常数 时 yfx 与 yC f x 的单调性相同 当 C 0 且 a 1 2 指数函数的图象和性质 0 a1 图 像 性质 定义域 R

16、 值域 0 1 过定点 0 1 即 x 0 时 y 1 2 在 R 上是减函数 2 在 R 上是增函数 3 当 x 0 时 0 y 1 当 x1 3 当 x 0 时 y 1 当 x 0 时 0 y 1 图象特征函数性质 共性 向 x 轴正负方向无限延伸函数的定义域为R 函数图象都在x 轴上方函数的值域为R 图象关于原点和y 轴不对称非奇非偶函数 函数图象都过定点 0 1 过定点 0 1 0 a0 时 0 y 1 在第二象限内的图象纵坐标都大于1 当 x1 图象上升趋势是越来越缓函数值开始减小极快 到了某一值后减小速度较慢 a 1 自左向右看 图象逐渐上升增函数 在第一象限内的图象纵坐标都大于1 当 x 0 时 y 1 在第二象限内的图象纵坐标都小于1 当 x 0 时 0 y0 时 a N 在 1 的同侧 当 b0 且 a 1 2 真数 N 0 3 注意对数的书写格式 2 两个重要对数 1 常用对数 以10 为底的对数 10 loglgNN记为 2 自然对数 以无理数e 为底的对数的对数 logln eN N记为 3 对数式与指数式的互化 log x a xNaN 对数式指数式 对数底数