《高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1.2椭圆的几何性质（第1课时）椭圆的几何性质学案（含解析）新人教B版选修1_1.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1.2椭圆的几何性质（第1课时）椭圆的几何性质学案（含解析）新人教B版选修1_1.doc（13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、学习目标1.根据椭圆的方程研究其几何性质，并正确地画出它的图形.2.根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质、图形知识点一椭圆的几何性质标准方程1(ab0)1(ab0)图形性质焦点F1(c,0)，F2(c,0)F1(0，c)，F2(0，c)焦距|F1F2|2c(c)|F1F2|2c(c)性质范围|x|a，|y|b|x|b，|y|a对称性关于x轴，y轴和原点对称顶点(a,0)，(0，b)(0，a)，(b,0)轴长轴长2a，短轴长2b知识点二椭圆的离心率1定义：椭圆的焦距与长轴长的比e，叫做椭圆的离心率2性质：离心率e的取值范围是(0,1)，当e越接近于1，椭圆越扁，当e越接近于0，
2、椭圆就越接近于圆1椭圆是封闭图形，所以它一定有范围限制()2椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形()3椭圆的焦距越大椭圆就越扁()4椭圆的离心率e越大，椭圆就越扁()题型一椭圆的几何性质例1已知椭圆方程为9x216y2144，求此椭圆的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标解已知方程化成标准方程为1，于是a4，b3，c，椭圆的长轴长和短轴长分别是2a8和2b6，离心率e.又知焦点在x轴上，两个焦点坐标分别是F1(，0)和F2(，0)，四个顶点坐标分别是A1(4,0)，A2(4,0)，B1(0，3)和B2(0,3)反思感悟解决此类问题的方法是将所给方程先化为标准形式，然后根据方程判断出椭圆的焦点
3、在哪个坐标轴上，再利用a，b，c之间的关系和定义，求椭圆的基本量跟踪训练1设椭圆方程mx24y24m(m0)的离心率为，试求椭圆的长轴长和短轴长、焦点坐标及顶点坐标解椭圆方程化为标准形式为1，且e.(1)当0m4时，a2，b，c，又e，即，m3，b，c1.椭圆的长轴长为4，短轴长为2，焦点坐标为F1(1,0)，F2(1,0)，顶点坐标为A1(2,0)，A2(2,0)，B1(0，)，B2(0，)(2)当m4时，a，b2，c，又e，即，m，a，c.椭圆的长轴长为，短轴长为4，焦点坐标为F1，F2，顶点坐标为A1，A2，B1(2,0)，B2(2,0)题型二利用几何性质求椭圆的标准方程例2求适合下列条
4、件的椭圆的标准方程(1)短轴长2，离心率e；(2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6；(3)过点(2，3)且与椭圆9x24y236有公共焦点考点由椭圆的几何性质求方程题点由椭圆的几何特征求方程解(1)由2b2，e，得b25，a29.当焦点在x轴上时，所求椭圆的标准方程为1；当焦点在y轴上时，所求椭圆的标准方程为1.综上，所求椭圆的标准方程为1或1.(2)依题意可设椭圆方程为1(ab0)如图所示，A1FA2为一等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，且|OF|c，|A1A2|2b，所以cb3，所以a2b2c218，故所求椭圆的方程为1.(3)椭圆9x24y236的
5、焦点为(0，)，则可设所求椭圆方程为1(m0)又椭圆经过点(2，3)，则有1，解得m10或m2(舍去)，即所求椭圆的标准方程为1.反思感悟(1)此类问题应由所给的几何性质充分找出a，b，c所应满足的关系式，进而求出a，b，在求解时，需注意椭圆的焦点位置(2)与椭圆1(ab0)有相同离心率的椭圆方程为k1(k10，焦点在x轴上)或k2(k20，焦点在y轴上)跟踪训练2根据下列条件，求中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆方程：(1)长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，6)；(2)焦点在x轴上，一个焦点与短轴的两端点连线互相垂直，且半焦距为6.解(1)当焦点在x轴上时，设椭圆方程为1(ab0)依题意有解
6、得椭圆方程为1.同理可求出当焦点在y轴上时，椭圆方程为1.故所求的椭圆方程为1或1.(2)依题意有bc6，a2b2c272，所求的椭圆方程为1.题型三求椭圆的离心率例3椭圆1(ab0)的两焦点为F1，F2，以F1F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为_答案1解析方法一如图，DF1F2为正三角形，N为DF2的中点，F1NF2N，|NF2|c，|NF1|c，则由椭圆的定义可知|NF1|NF2|2a，cc2a，e1.方法二由题意知，在焦点三角形NF1F2中，NF1F230，NF2F160，F1NF290，则由离心率的三角形式，可得e1.反思感悟涉及到焦点三角形注意利用
7、椭圆的定义找到a与c的关系或利用e求解跟踪训练3已知F1，F2是椭圆1(ab0)的左、右焦点，过F1的直线与椭圆相交于A，B两点，若BAF260，|AB|AF2|，则椭圆的离心率为_答案解析如图所示，BAF260，|AB|AF2|，ABF2是等边三角形，ABF2的周长3|AF2|4a，|AF2|，|AF1|.在AF1F2中，由余弦定理得(2c)2222cos60，化为a23c2，解得e.求离心率的取值范围典例已知椭圆E：1(ab0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x4y0交椭圆E于A，B两点若|AF|BF|4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是_考点椭圆的离心率
8、问题题点求离心率的取值范围答案解析设左焦点为F0，连接F0A，F0B，则四边形AFBF0为平行四边形|AF|BF|4，|AF|AF0|4，a2.设M(0，b)，则，1b0)，则此椭圆的离心率为()A.B.C.D.答案B解析由2x23y2m(m0)，得1.c2，e2，又0e1，e.3设P(m，n)是椭圆1上任意一点，则m的取值范围是_答案5,54若椭圆的对称轴为坐标轴，且长轴长为10，有一个焦点坐标是(3,0)，则此椭圆的标准方程为_答案1解析据题意a5，c3，故b4，又焦点在x轴上，所以椭圆的标准方程为1.5已知椭圆E的短轴长为6，焦点F到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆E的离心率为_考点椭
9、圆几何性质的应用题点求椭圆离心率的值答案解析根据题意得2b6，ac9或ac9(舍去)又因为a2b2c2，所以a5，c4，故e.1已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式，应先化成标准形式2根据椭圆的几何性质，可以求椭圆的标准方程，其基本思路是“先定型，再定量”，常用的方法是待定系数法在椭圆的基本量中，能确定类型的量有焦点、顶点，而不能确定类型的量有长轴长、短轴长、离心率e、焦距3求椭圆的离心率要注意函数与方程的思想、数形结合思想的应用一、选择题1椭圆4x249y2196的长轴长、短轴长、离心率依次是()A7,2，B14,4，C7,2，D14,4，答案B解析先将椭圆方程化为标准形式1，其中b2，
10、a7，c3.2椭圆1与椭圆1有()A相同短轴B相同长轴C相同离心率D以上都不对答案D解析因为在椭圆1中，焦点的位置不确定，所以无法确定两椭圆的长轴、短轴、离心率的关系3椭圆(m1)x2my21的长轴长是()A.B.C.D答案C解析椭圆方程可简化为1，由题意知m0，b0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且ABOP(O是坐标原点)，则该椭圆的离心率是()A.B.C.D.考点椭圆性质的应用题点求椭圆的离心率答案C解析由题意可设P(c，y0)(c为半焦距)，则kOP，kAB，OPAB，即y0.把P代入椭圆方程，得1，2，e.二、填空题8若椭圆长轴长是短轴长的2倍，且焦距为2，则此椭圆的标准方程为_答案1或1解析由题意可知a2b，c1，所以1b24b2，故b2，a2，则此椭圆的标准方程为1或1.9已知椭圆的短半轴长为1，离心率0e，则长轴长的取值范围是_答案(2,4解析e，0，得1a2，2b0)的左、右焦点，P为直线x上一点，F2PF1是底角为30的等腰三角形，则E的离
