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1、.word格式.【课 题】双曲线的简单几何性质(1)【教学目标】1、能用对比的方法分析双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、渐近线和离心率).2、能说明离心率的大小对双曲线形状的影响,领会双曲线与渐近线的关系.3、明确标准方程中、的几何意义.4、了解等轴双曲线的概念和特征.5、能运用双曲线发几何性质或图形特征,确定焦点的位置,会求双曲线的标准方程.【教学重点】双曲线的简单几何性质及其性质的讨论方法.【教学难点】双曲线的渐近线【教学过程】一、 复习引入复习回顾椭圆(ab0)的几何性质及其研究方法二、 讲解新课我们依照研究椭圆的简单几何性质的方法和步骤来研究双曲线的简单几何性质。对于双曲线(a0,
2、b0)的几何性质（一）范围，|x|a,即xa,x-a由标准方程可知与一个非负数的差等于1，所以1，由此推得x的范围.y除受到式子本身的制约外，没有任何限制，说明双曲线位于xa与x-a的区域内.（二）对称性：双曲线关于坐标轴、原点都是对称的，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心，即双曲线的中心.讨论方法是以-y代y，方程不变，所以双曲线关于x轴对称；以-x代x，方程不变，所以双曲线关于y轴对称；同时以-y代y，以-x代x，方程不变，所以双曲线关于原点对称.（三）顶点：只有两个，即（a,0）.讨论方法是令y=0,得x=a,因此双曲线和它的一条对称轴x轴有两个交点A1（a,0），A2(a,
3、0)，所以双曲线的顶点是（a,0）.令x=0时，解得y2=-b2,无实数解，说明双曲线与它的另一条对称轴y轴没有交点，故双曲线顶点只有两个.注意：双曲线(a0,b0)与y轴没有交点，但我们也把B1（0，b),B2（0，b）画在y轴上.线段A1A2叫做双曲线的实轴，线段B1B2叫做双曲线的虚轴，实轴的长为2a,虚轴的长为2b，a是实半轴的长，b是虚半轴的长，焦点始终在实轴上.（四）离心率：双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率.e=且e(1,+)，这是因为ca0.（五）渐近线：经过A2、A1作y轴的平行线x=a,经过B2、B1作x轴的平行线y=b，这四条直线围成一个矩形，矩形的两条对角线所在
4、的直线的方程是y=x，从图中可以看出，双曲线的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近.证明：先取双曲线在第一象限的部分进行证明，这一部分的方程可写成y=(xa)设M（x,y）是它上面的点，N（x,y）是直线y=x上与M有相同横坐标的点，则y=xy=|MN|=Yy=|MN|=|MN|= 设|MQ|是点M到直线y=x的距离，则|MQ|MN|，当x逐渐增大时，|MN|逐渐减小，x无限增大，|MN|接近于0，|MQ|也接近于0，就是说，双曲线在第一象限部分从射线ON的下方逐渐接近于ON.在其他象限内，也可以证明类似的情况.我们把两条直线y=x叫做双曲线的渐近线.【注1】等轴双曲线在方程中，如果a=b，那
5、么双曲线的方程为x2y2=a2,它的实轴和虚轴的长都等于2a，这时四条直线x=a,y=a围成正方形.渐近线方程为y=x，它们互相垂直，并且平分双曲线实轴和虚轴所成的角，实轴和虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线.【注2】双曲线的画法利用双曲线的渐近线，可以帮助我们较准确地画出双曲线的草图，具体做法：画出双曲线的渐近线，先确定双曲线的顶点及第一象限内任意一点的位置，然后再过这两个点并根据双曲线在第一象限内从渐近线的下方逐渐接近渐近线的特点画出双曲线的一部分.最后根据双曲线的对称性画出完整的双曲线.【注3】离心率与双曲线的张口的大小有了双曲线的渐近线，我们再来讨论离心率对双曲线张口大小的影响，就方便了.由
6、等式c2a2=b2可得由上式可以看出，e越大，也越大，即渐近线y=x的斜率的绝对值越大，这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔，由此可知，双曲线的离心率越大，它的张口就越大.三、 例题讲解【例1】 （课本110页例1）求双曲线9y216x2=144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程.解：把方程化为标准方程：.由此可知，实半轴长a=4，虚半轴长b=3.焦点的坐标是（0，5），（0，5）.离心率.渐近线方程为，即.【注意】根据双曲线的标准方程写出渐近线方程的方法有两种：1、画出以实轴长、虚轴长为邻边的矩形，写出其对角线方程，特别要注意对角线的斜率的确定.2、将双曲线标准方程等号右边的
7、1改为0，即得双曲线的渐近线方程，再据此推出y=kx的形式.另外需要注意的是：若已知双曲线的标准方程则可以写出其渐近线方程，但若已知双曲线的渐近线方程，则不能仅据此确定a、b的值，只能确定a、b的关系，这点与离心率是类同的.【例2】 （课本110页例2）双曲线型自然通风塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小半径为12 m，上口半径为13 m，下口半径为25 m，高55 m.选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程（精确到1m）.解：如图817，建立直角坐标系xOy，使A圆的直径AA在x轴上，圆心与原点重合.这时上、下口的直径CC、BB平行于x轴，且=132 (m)，=252 (
8、m).设双曲线的方程为 （a0,b0）令点C的坐标为（13，y），则点B的坐标为（25，y55）.因为点B、C在双曲线上，所以解方程组由方程（2）得 （负值舍去）.代入方程（1）得化简得 19b2+275b18150=0 （3）解方程（3）得 b25 (m).所以所求双曲线方程为：【例3】 设椭圆与双曲线有共同焦点F1(4,0),F2(4,0), 并且椭圆长轴长是双曲线实轴长的2倍，试求椭圆与双曲线的交点的轨迹.解法1：设交点为P(x,y)，双曲线的实半轴长为a (2a4)，则椭圆长半轴长为2a, 由半焦距为4, 得它们的方程分别为： (1) 和=1 (2)(2)4(1)得： (3),代入(1
9、)得：a2=2|x|再代入(3)化简得：(x5)2+y2=9 或(x+5)2+y2=9 .解法2：用定义法求解. |F1P|+|F2P|=2|F1P|F2P|, 解得：|F1P|=3 |F2P| 或3 |F1P|=|F2P| .即：3或 3,化简得：(x5)2+y2=9 或(x+5)2+y2=9 .【备用例题】【例4】 已知双曲线C的实半轴长与虚半轴长的乘积为,C的两个焦点分别为F1，F2，直线l过F1且与直线F1F2的夹角为a，tga=，l与线段F1F2的中垂线交点为P，线段PF2与双曲线C的交点为Q，且PQ：QF2=2：1，求双曲线的方程.解：设双曲线的方程为：=1，焦点为F2(c,0),
10、 ab=, 直线l的斜率k= tga=，l的方程是：y=(xc)。令x=0, 得P(0,c)，l=2:1，, 即Q()，且c=.将Q点的坐标代入双曲线的方程得：=1，化简得：164121=0,解得：=3 或= (舍).即b=a (1) 又ab= (2)由(1),(2)解得：a=1,b=.所求双曲线的方程为：=1【例5】 过双曲线C：(a0,b0)上任意一点P，作x轴的平行线，交双曲线的两条渐近线于Q、R两点。求证：PQPR为定值.证明：设P（x0,y0),则=1双曲线渐近线方程为y=x由，得R(y0,y0)由，得Q（y0,y0）|PQ|PR|=|y0x0|y0x0|=|x02y02| =|x0
11、2x02+a2|=a2 |PQ|PR|为定值 四、 课堂练习1、 方程mx2ny2mn=0(mn0)所表示的曲线的焦点坐标是 B (A)(0,) (B)(0,) (C)(,0) (D)(,0)2、 下列各对曲线中，即有相同的离心率又有相同渐近线的是 D (A)-y2=1和-=1 (B)-y2=1和y2-=1(C)y2-=1和x2-=1 (D)-y2=1和-=13、 与双曲线有共同的渐近线，且经过点A的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是 (C )（A）8 （B）4 （C）2 （D）14、 以为渐近线，一个焦点是F（0，2）的双曲线方程为 ( A )（A）（B） （C）（D）5、 双曲线kx2+
12、4y2=4k的离心率小于2，则k的取值范围是 ( C )（A）（-,0） （B）(-3,0) （C）(-12,0) （D）(-12,1)6、 已知平面内有一固定线段AB,其长度为4，动点P满足|PA|-|PB|=3,则|PA|的最小值为 D (A)1.5 (B)3 (C)0.5 (D)3.57、 已知双曲线b2x2a2y2 = a2b2的两渐近线的夹角为2，则离心率e为(C )(A)arcsin (B) (C) (D)tg28、 一条直线与双曲线两支交点个数最多为 ( B )(A)1 (B)2 (C)3 (D)49、 双曲线顶点为（2，1），（2，5），一渐近线方程为3x4yc = 0，则准线
13、方程为 ( D )(A) (B) (C) (D) 10、 与双曲线=1(mn0)共轭的双曲线方程是 ( D )(A) (B) (C) (D)五、 小结六、 课后练习1.求下列双曲线的实轴和虚轴的长、顶点和焦点坐标、离心率、渐近线方程：（1）x2-8y2=32；(2)9x2-y2=81；(3)x2-y2=-4；(4)答案：（1）2a=8,2b=4;顶点坐标为（4，0），（-4，0）；焦点坐标为(6,0),(-6,0);e=;渐近线方程为y=x.（2）2a=6,2b=18;顶点坐标（3，0），（-3，0）；焦点坐标（3，0），（-3，0）；e=;渐近线方程为y=3x.（3）2a=4,2b=4;顶点坐标是（0，2），（0，-2）；焦点坐标为（0，2），（0，-2）；离心率e=;渐近线方程为x=y.(4)2a=10,2b=14;顶点坐标是（0，5），（0，-5）；焦点坐标为（0，），（0，-）；离心率e=;渐近线方程为y=x.5.当渐近线的方程为y=x时，双曲线的标准方程一定是吗？如果不一定，举出一个反例.答案：不一定是反例：双曲线的准线方程为：y=x.专业.专注.
