《同济大学微积分第三版课件第四章第五节》由会员分享，可在线阅读，更多相关《同济大学微积分第三版课件第四章第五节（33页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 第五节可降阶的二阶微分方程 本节讨论三种可降阶的微分方程和相应的解法 类型 类型 类型 一 型的微分方程 设微分方程两端积分 即有 再一次积分 得 函数为方程的通解 例1求解微分方程 解两端积分 得 再积分 得 同样的方法可以求出形如 的通解 例2求解微分方程 解 二 型的微分方程 设二阶微分方程为 方程中不显含未知函数令则 故原方程变为设其通解为 若的原函数为则原方程的通解为 例3求解微分方程 解令则原方程变形为 此方程为一阶线性微分方程 所以原方程的通解为 例4求解方程 解令则原方程为齐次方程 令则 两边积分得 即 由初始条件 代入原方程 得 两边积分得 代入故原方程的通解为 三 型的微
2、分方程 该方程类型的特征是 不显含变量 同样作变换 则原方程变型为 从而将方程转变为一阶微分方程 例5求解微分方程 解令则原方程为 消去得 即 故 原方程的通解为 例6求解微分方程 解令则原方程变形为 此方程为齐次方程 再变形为 令则有 所以 由条件得即 方程的解为 再由条件得所以方程的解为 例8悬链线及张力分析设有一均匀 柔软的绳索 两端固定 绳索仅受重力的作用而下垂 试分析该绳索在平衡状态时所呈曲线的方程及绳索在各点处的张力 解设绳索的最低点为取轴通过点铅直向上 并在绳索所在的平面内再取轴 使与构成直角坐标系 并使为某定值 设绳索曲线的方程为考察绳索上点与另一点 间的一段弧的受力情况 设这
3、段弧的长度为是的函数 假定单位长度绳索的重量为 则弧的重量为由于绳索是柔软的 因而在点处的的张力沿水平的切线方向 其大小设为在点处的张力沿该点处的切线方向 其大小为因为作用于弧段的外力相互平衡 把作用于弧的力沿铅直及水平方向分解 得 将此两式相除 得 因上式即 对此式两端关于求导 并由得 此即为应满足的微分方程 取原点到点的距离为则相应的初值条件为 现求解方程 设从而代入方程 并分离变量 得 由条件得 即 即该绳索的形状可用曲线方程来表达 这曲线称为悬链线 例9目标的跟踪问题设位于坐标原点的甲舰向位于轴上点处的乙舰发射制导导弹 导弹头始终对准敌舰 如果乙舰以最大的速度 是常数沿平行于轴的直线行驶 导弹的速度是5求导弹的运行曲线方程 又问乙舰行驶多运时 它被导弹击中 解设导弹的轨迹曲线为并经过时间导弹位于点乙舰位于点由于导弹始终对准敌舰 故此时直线 就是导弹的轨迹曲线在点处的切线 即有 又有条件 弧的长度为的5倍 即 由 和 消去得 将 式两端对求导并整理 得 此为不显含的二阶微分方程 并有初值条件 令方程 化为 即 由初值条件在上式两端作变上限积分 得 即 上式取倒数并分母有理化 得 由上两式解得 又由初值条件在上式两端作积分 有 此即为导弹运行的轨迹曲线方程 当时 即在点敌舰被击中 知识回顾KnowledgeReview
