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1、第2课时系统题型圆的方程、直线与圆及圆与圆的位置关系圆的方程求法典例(2018全国卷)设抛物线C：y24x的焦点为F，过F且斜率为k(k0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|8.(1)求l的方程；(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程解(1)由题意得F(1,0)，l的方程为yk(x1)(k0)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得k2x2(2k24)xk20.16k2160，故x1x2.所以|AB|AF|BF|(x11)(x21).由题设知8，解得k1或k1(舍去)因此l的方程为yx1.(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2)，所以AB的垂直平分线方程为y2(x3)，即yx5.设
2、所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则解得或因此所求圆的方程为(x3)2(y2)216或(x11)2(y6)2144.方法技巧1确定圆的方程必须有3个独立条件不论是圆的标准方程还是一般方程，都有三个字母(a，b，r或D，E，F)的值需要确定，因此需要三个独立的条件利用待定系数法得到关于a，b，r(或D，E，F)的三个方程组成的方程组，解之得到待定字母系数的值，从而确定圆的方程2几何法在圆中的应用在一些问题中借助平面几何中关于圆的知识可以简化计算，如已知一个圆经过两点时，其圆心一定在这两点连线的垂直平分线上，解题时要注意平面几何知识的应用针对训练1(2019湖北名校摸底)过点A(1，1)，B(1,
3、1)且圆心在直线xy20上的圆的方程是()A(x3)2(y1)24B(x3)2(y1)24C(x1)2(y1)24 D(x1)2(y1)24解析：选C由题知直线AB的垂直平分线为yx，直线yx与xy20的交点是(1,1)，所以圆的圆心为(1,1)，所以圆的半径为2，故圆的方程是(x1)2(y1)24.2(2019黑龙江伊春三校联考)已知圆C1：(x1)2(y1)21，圆C2与圆C1关于直线xy10对称，则圆C2的方程为()A(x2)2(y1)21 B(x2)2(y2)21C(x2)2(y2)21 D(x2)2(y2)21解析：选B圆C1：(x1)2(y1)21，圆心C1为(1,1)，半径为1.
4、易知点C1(1,1)关于直线xy10对称的点为C2，设C2(a，b)，则得所以C2(2，2)，所以圆C2的圆心为C2(2，2)，半径为1，所以圆C2的方程为(x2)2(y2)21.故选B.直线与圆位置关系的判断1(2019西安模拟)直线(a1)x(a1)y2a0(aR)与圆x2y22x2y70的位置关系是()A相切 B相交C相离 D不确定解析：选B法一：x2y22x2y70化为圆的标准方程为(x1)2(y1)29，故圆心坐标为(1，1)，半径r3，圆心到直线的距离d.再根据r2d29.而7a24a70的判别式161961800，故有r2d2，即dr，故直线与圆相交法二：由(a1)x(a1)y2
5、a0(aR)整理得xya(xy2)0，则由解得x1，y1，即直线(a1)x(a1)y2a0(aR)过定点(1，1)，又(1)2(1)22(1)2(1)750，则点(1，1)在圆x2y22x2y70的内部，故直线(a1)x(a1)y2a0(aR)与圆x2y22x2y70相交2(2019湖北六市联考)将直线xy10绕点(1,0)沿逆时针方向旋转15得到直线l，则直线l与圆(x3)2y24的位置关系是()A相交 B相切C相离 D相交或相切解析：选B依题意得，直线l的倾斜角为150，所以直线l的方程是ytan 150(x1)(x1)，即xy10，圆心(3,0)到直线l的距离d2，故直线l与圆相切3直线
6、yxm与圆x2y21在第一象限内有两个不同的交点，则m的取值范围是()A(，2)B(，3)C. D.解析：选D当直线经过点(0,1)时，直线与圆有两个不同的交点，此时m1；当直线与圆相切时有圆心到直线的距离d1，解得m(切点在第一象限)，所以要使直线与圆在第一象限内有两个不同的交点，则1m.直线与圆位置关系问题的求解策略(1)判断直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达式较繁琐，则用代数法能用几何法，尽量不用代数法(2)已知直线与圆的位置关系求参数的取值范围时，可根据数形结合思想利用直线与圆的位置关系的判断条件建立不等式
7、进行解决.切线问题典例已知点P(1,2)，点M(3,1)，圆C：(x1)2(y2)24.(1)求过点P的圆C的切线方程；(2)求过点M的圆C的切线方程，并求出切线长解(1)由题意得圆心C(1,2)，半径长r2.因为(11)2(22)24，所以点P在圆C上又kPC1，所以切线的斜率k1.所以过点P的圆C的切线方程是y(2)1x(1)，即xy120.(2)因为(31)2(12)254，所以点M在圆C外部当过点M的直线斜率不存在时，直线方程为x3，又点C(1,2)到直线x30的距离d312r，即此时满足题意，所以直线x3是圆的切线当切线的斜率存在时，设切线方程为y1k(x3)，即kxy13k0，则圆
8、心C到切线的距离dr2，解得k.所以切线方程为y1(x3)，即3x4y50.综上可得，过点M的圆C的切线方程为x3或3x4y50.因为|MC|，所以过点M的圆C的切线长为1.方法技巧求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程2方法几何法当斜率存在时，设为k，则切线方程为yy0k(xx0)，即kxyy0kx00.由圆心到直线的距离等于半径，即可求出k的值，进而写出切线方程代数法当斜率存在时，设为k，则切线方程为yy0k(xx0)，即ykxkx0y0，代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由0，求得k，切线方程即可求出提醒当点(x0，y0)在圆外时，一定要注意斜率不存在的情况针对训练1(201
9、9陕西高三质检)已知圆C：x2y24x6y30，点M(2,0)是圆C外一点，则过点M的圆的切线方程是()Ax20,7x24y140 By20,7x24y140Cx20,7x24y140 Dy20,7x24y140解析：选C将圆C的方程转化为(x2)2(y3)216，则其圆心为(2,3)，半径为4，显然x20是满足条件的一条切线，又圆心(2,3)到直线7x24y140的距离d4，所以选项C满足，故选C.2(2019沈阳市高三质量监测)已知直线l：yk(x)和圆C：x2(y1)21，若直线l与圆C相切，则k()A0 B.C.或0 D.或0解析：选D因为直线l与圆C相切，所以圆心C到直线l的距离d1
10、， |1k|，解得k0或k，故选D.弦长问题典例如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2y24x0及点A(1,0)，B(1，2)(1)若直线l平行于AB，与圆C相交于M，N两点，|MN|AB|，求直线l的方程；(2)在圆C上是否存在点P，使得|PA2|PB2|12？若存在，求出点P的个数；若不存在，说明理由解(1)圆C的标准方程为(x2)2y24，所以圆心C(2,0)，半径为2.因为lAB，A(1,0)，B(1,2)，所以直线l的斜率为1，设直线l的方程为xym0，则圆心C到直线l的距离d.因为|MN|AB|2，|CM2|d22，所以42，解得m0或m4，故直线l的方程为xy0或xy40
11、.(2)假设圆C上存在点P，设P(x，y)，则(x2)2y24，|PA|2|PB|2(x1)2(y0)2(x1)2(y2)212，即x2y22y30，即x2(y1)24，因为|22|22，所以圆(x2)2y24与圆x2(y1)24相交，所以存在点P，使得|PA|2|PB|212，点P的个数为2.方法技巧解决圆弦长问题的常用方法及结论几何法如图所示，设直线l被圆C截得的弦为AB，圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则有关系式：|AB|2代数法若斜率为k的直线与圆相交于A(xA，yA)，B(xB，yB)两点，则|AB| |yAyB|(其中k0)特别地，当k0时，|AB|xAxB|；当斜率不存在时，
12、|AB|yAyB|针对训练1(2019丽水模拟)若圆心在x轴上，半径为的圆C位于y轴左侧，且被直线x2y0截得的弦长为4，则圆C的方程是()A(x)2y25 B(x)2y25C(x5)2y25 D(x5)2y25解析：选B设圆心为(a,0)(a0)，因为截得的弦长为4，所以弦心距为1，即1，得a，所以所求圆的方程为(x)2y25.2(2016全国卷)设直线yx2a与圆C：x2y22ay20相交于A，B两点，若|AB|2，则圆C的面积为_解析：圆C：x2y22ay20化为标准方程为x2(ya)2a22，所以圆心C(0，a)，半径r，因为|AB|2，点C到直线yx2a，即xy2a0的距离d，由勾股定理得22a22，解得a22，所以r2，所以圆C的面积为224.答案：4圆与圆的位置关系1(2019内蒙古赤峰模拟)圆O1：x2y22x0和圆O2：x2y24y0的位置关系是()A相交 B外切C相离 D内切解析：选A圆O1圆心坐标为O1(1,0)，半径r11，圆O2圆心坐标为O2(0,2)，半径r22，两圆心距|O1O2|，因为2121，即r2r1|O1O2|r1r2，所以圆O1与圆O2相交，故选A.2若圆x2y24与圆x2y22ay60(a0)的公共弦长为2，则a_.解析：方程x2y22ay60与x2y24.两式相减得2ay2，则y.由题意知，解得a1.答案：13已知M，N是圆A
