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1、 3 弧度制 一二三四 一 弧度 在单位圆 半径为1的圆 中 长度为1的弧所对的圆心角称为1弧 度角 它的单位符号是rad 读作弧度 做一做1 下列各说法中 正确的是 A 1弧度就是1 的圆心角所对的弧 B 1弧度是长度为半径的弧 C 1弧度是1 的弧与1 的角之和 D 1弧度角是长度等于半径长的弧所对的圆心角 答案 D 一二三四 二 角度与弧度的互化 因为周角在角度制下是360 在弧度制下是2 rad 所以 360 2 rad 180 rad 1 rad 0 017 45 rad 应熟记以下一些特殊角的度数与弧度数的对应值 一二三四 做一做2 225 化为弧度为 答案 C A 75 B 10
2、5 C 135 D 175 答案 A 一二三四 三 弧度制 1 一般地 正角的弧度数是一个正数 负角的弧度数是一个负数 零角的弧度数是0 这种以弧度作为单 位来度量角的单位制 叫作弧 度制 2 在弧度制下 角的集合与实数集R之间建立起一一对应 的关系 每一个角都有唯一的一个实数 即这个角的弧度数 与它对应 反 过来 每一个实数也都有唯一的一个角 即弧度数等于这个实数的 角 与它对应 一二三四 四 弧度制下的三个公式 1 弧度数公式 即圆心角的弧度数的绝对值等于该圆心 角所对弧长与所在圆的半径的比值 2 弧长公式 l r 即弧长等于所对圆心角弧度数的绝对值与半 径的积 采用角度制时的相应公式为l
3、 做一做4 已知扇形的半径r 30 圆心角 则该扇形的弧长 等于 面积等于 周长等于 扇形的周长为30 30 5 60 5 答案 5 75 60 5 一二三四 思考辨析 判断下列说法是否正确 正确的在后面的括号内画 错误的画 1 1弧度就是在圆中圆心角为1 时对应的弧长 2 相同的角在角度制与弧度制下的数值一定不相等 3 扇形的面积公式S R2中 可以是角度数 也可以是弧度数 答案 1 2 3 探究一探究二探究三探究四 弧度制的概念 例1 下列说法错误 的是 A 弧度角与实数之间建立了一一对应 的关系 C 根据弧度的定义 180 一定等于 弧度 D 无论是用角度制还是用弧度制度量角 角的大小均
4、与圆的半径 的大小有关 解析 无论是用角度制还是用弧度制度量角 角的大小均与圆的 半径的大小无关 而是与弧长和半径的比值有关 故D项错误 答案 D 探究一探究二探究三探究四 反思感悟1 不管是以 弧度 还是以 度 为单位的角的大小都是 一个与圆的半径的大小无关的定值 2 用角度制和弧度制度量零角 单位不同 但量数相同 都是0 用 角度制和弧度制度量任一非零角 单位不同 量数也不同 3 以弧度为单位表示角的大小时 弧度 或 rad 通常省略不写 但 以度为单位表示角的大小时 度 或 不能省去 4 以弧度为单位度量角时 常把弧度数写成n n R 的形式 若无 特别要求 不必把 写成小数 如 45
5、rad 不必写成 45 0 785 rad 探究一探究二探究三探究四 角度与弧度的互化 例2 1 把112 30 化为弧度 3 将 1 485 表示成2k k Z 的形式 且0 2 度数 3 先把任意角表示为终边与其终边相同的角 再用弧度制表 示 探究一探究二探究三探究四 探究一探究二探究三探究四 反思感悟角度制与弧度制互化的关键与方法 1 关键 抓住互化公式 rad 180 是关键 3 角度化弧度时 应先将分 秒化成度 再化成弧度 4 角度化为弧度时 其结果写成 的形式 没特殊要求 切不可进行 近似计算 也不必将 化为小数 探究一探究二探究三探究四 变式训练1 1 下列各角中 与240 角终
6、边 相同的角为 2 已知角 1 480 将 改写成 2k k Z 0 2 的形式 并指出 是第几象限 的角 在区间 4 0 上找出与 终边相同的角 答案 C 探究一探究二探究三探究四 探究一探究二探究三探究四 用弧度制表示角及其范围围 例3 如图所示 用弧度制表示顶点在原点 始边与x轴的非负 半轴重合 终边 落在阴影部分内的角的集合 思路分析 先确定区域的边界角 化为弧度制 再用集合表示 探究一探究二探究三探究四 探究一探究二探究三探究四 反思感悟 用弧度制表示象限角 轴线角 终边相同的角的方法 1 用弧度制表示象限角如下 探究一探究二探究三探究四 2 用弧度制表示轴线角如下 终边落在x轴上的
7、角为 k k Z 终边落在y轴上的角为 k k Z 3 用弧度制表示终边相同的角的集合为 2k k Z 探究一探究二探究三探究四 变式训练2下面表述不正确的是 A 终边 在x轴上角的集合是 k k Z 探究一探究二探究三探究四 解析 对于A 终边在x轴上角的集合是 k k Z 故A正确 答案 D 探究一探究二探究三探究四 例4 1 已知扇形的周长为8 cm 圆心角为2 求该扇形的面积 2 已知扇形的周长为10 cm 面积等于4 cm2 求其圆心角的弧度数 思路分析 1 先求出扇形的半径 再求面积 2 设出圆心角 建立方 程组求解 探究一探究二探究三探究四 探究一探究二探究三探究四 反思感悟弧度
8、制下有关弧长 扇形面积问题的解题策略 1 扇形的弧长公式和面积公式涉及四个量 面积S 弧长l 圆心角 半径r 已知其中的三个量一定能求得第四个量 通过方程求得 已 知其中的两个量能求得剩余的两个 量 通过方程组求得 2 在研究有关扇形的相关量的最值时 往往转化为二次函数的最 值问题 3 注意扇形圆心角弧度数的取值范围是0 2 实际问题中注 意根据这一范围进行取舍 探究一探究二探究三探究四 变式训练3本例 1 中 将条件 圆心角为2 去掉 求扇形面积的最 大值 解 设扇形的弧长为l cm 半径为r cm 则有2r l 8 于是l 8 2r 123456 1 220 角化为弧度是 答案 D 123
9、456 2 弧度化为角度是 A 278 B 280 C 288 D 318 故选C 答案 C 123456 3 若扇形的半径变为 原来的2倍 弧长也变为 原来的2倍 则 A 扇形的面积不变 B 扇形的圆心角不变 C 扇形的面积变为原来的2倍 D 扇形的圆心角变为原来的2倍 解析 根据弧度的定义可知 圆心角的大小是一个比值 与弧长 半 径有关 答案 B 123456 答案 C 123456 5 已知半径为10 cm的圆上有一条长为 40 cm的弧 则该 弧所对的 圆心角的弧度数是 答案 4 123456 6 一个扇形的面积为 1 周长为 4 求圆心角的弧度数 解 设扇形的半径为R 弧长为l 则2R l 4 ZIZHUYUXI 自主预习 DANGTANG JIANCE 当堂检测 HEZUOXUEXI 合作学习 首页
