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1、. . . . .幂、指、对函数综合复习一、指数与指数函数（1）根式的概念如果，且，那么叫做的次方根当是奇数时，的次方根用符号表示；当是偶数时，正数的正的次方根用符号表示，负的次方根用符号表示；0的次方根是0；负数没有次方根式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数当为奇数时，为任意实数；当为偶数时，根式的性质：；当为奇数时，；当为偶数时， （2）分数指数幂的概念正数的正分数指数幂的意义是：且0的正分数指数幂等于0正数的负分数指数幂的意义是：且0的负分数指数幂没有意义 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数（3）分数指数幂的运算性质 （4）指数函数图像与性质函数名称指数函数定义0101函数且叫做指
2、数函数图象定义域值域过定点图象过定点，即当时，奇偶性非奇非偶单调性在上是增函数在上是减函数函数值的变化情况变化对图象的影响在第一象限内，越大图象越高；在第二象限内，越大图象越低二、对数与对数函数（1）对数的定义 若，则叫做以为底的对数，记作，其中叫做底数，叫做真数负数和零没有对数对数式与指数式的互化：（2）几个重要的对数恒等式，（3）常用对数与自然对数常用对数：，即；自然对数：，即（其中）（4）对数的运算性质 如果，那么加法： 减法：数乘： 换底公式：（5）对数函数及其性质函数名称对数函数定义函数且叫做对数函数图象0101定义域值域过定点图象过定点，即当时，奇偶性非奇非偶单调性在上是增函数在上
3、是减函数函数值的变化情况变化对图象的影响在第一象限内，越大图象越靠低；在第四象限内，越大图象越靠高(6)反函数的概念设函数的定义域为，值域为，从式子中解出，得式子如果对于在中的任何一个值，通过式子，在中都有唯一确定的值和它对应，那么式子表示是的函数，函数叫做函数的反函数，记作，习惯上改写成说明：反函数的求法确定反函数的定义域，即原函数的值域；从原函数式中反解出；将改写成，并注明反函数的定义域（7）反函数的性质 原函数与反函数的图象关于直线对称函数的定义域、值域分别是其反函数的值域、定义域若在原函数的图象上，则在反函数的图象上一般地，函数要有反函数则它必须为单调函数三、幂函数（1）幂函数的定义：
4、 一般地，函数叫做幂函数，其中为自变量，是常数（2）幂函数的图象（3）幂函数的性质图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限 过定点：所有的幂函数在都有定义，并且图象都通过点 单调性：如果，则幂函数的图象过原点，并且在上为增函数如果，则幂函数的图象在上为减函数，在第一象限内，图象无限接近轴与轴奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数当（其中互质，和），若为奇数为奇数时，则是奇函数，若为奇数为偶数时，则是偶
5、函数，若为偶数为奇数时，则是非奇非偶函数图象特征：幂函数，当时，若，其图象在直线下方，若，其图象在直线上方，当时，若，其图象在直线上方，若，其图象在直线下方四、例题分析例1已知函数的图象与两坐标轴都无公共点，且其图象关于y轴对称，求n的值，并画出函数的图象解：因为图象与y轴无公共点，故，又图象关于y轴对称，则为偶数，由，得，又因为，所以当时，不是偶数；当时，为偶数；当时，为偶数； 当时，不是偶数；当时，为偶数； 所以n为，1或3此时，幂函数的解析为或，其图象如图所示例2已知点在幂函数的图象上，点，在幂函数的图象上问当x为何值时有：（）；（）；（）解：设，则由题意，得，即再令，则由题意，得，即在
6、同一坐标系中作出与的图象，如图2所示由图象可知：（1）当或时，；（2）当时，；（3）当且时，例3、已知函数为偶函数，且，求m的值，并确定的解析式分析：函数为偶函数，已限定了必为偶数，且，只要根据条件分类讨论便可求得m的值，从而确定的解析式解：是偶函数，应为偶数又，即，整理，得，又，或1当m=0时，为奇数（舍去）；当时，为偶数故m的值为1，评注：利用分类讨论思想解题时，要充分挖掘已知条件中的每一个信息，做到不重不漏，才可为正确解题奠定坚实的基础练习、若，试求实数m的取值范围正解（分类讨论）：（1）解得；（2）此时无解；（3）， 解得综上可得现在把例1中的指数换成3看看结果如何练习、若，试求实数m
7、的取值范围解：由图3，解得例4、关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是 。解：由而，当且仅当时，等号成立，的取值范围是：。例5、函数的定义域为，若满足：（1）在内是单调函数；（2）存在，使得在上的值域也是，则称为闭函数；若是闭函数，则实数的取值范围是 （ ）A） B） C） D）解：由是闭函数，在上是增函数，且在上的值域也是，是方程的两根；由，；C）正确。例6、已知函数（常数）；（1）若，且，求的值； （2）若，求证函数在上是增函数； （3）若存在，使得成立，求实数的取值范围。解：（1）由，且，； （2），且， ，在上是增函数； （3）由； 令：，由；存在，使得成立存在，使得；令，；实数的
8、取值范围是：。例7、对于函数定义域中任意的，有如下结论：（1）；（2）；（3）； （4）。 当时，上述结论中正确结论的序号是 。解：（1）由，（1）错； （2）由，正确； （3）由是增函数，正确； （4）由是凸函数，错；（2）（3）正确。例8、已知函数，若的定义域为，求实数的取值范围。解：（1）当时；时，的定义域是，不符合题意，舍去；时，显然符合题意；（2）当时，； 由（1）（2）知实数的取值范围是：。课后练兵1、的值为_。解：原式。2、已知，则的值为_。解：由 。3、如果方程的两根是，则_。解：令，则原方程化为，即。4、函数的反函数为_ _。解：由；由， 。5、函数的单调递增区间是 。解：由
9、，作图；单调递增区间是：。6、对于幂函数，若，则，大小关系是_ _。解：由，作图；由右图可知， 。7、下列命题中错误的命题序号是_。（1）当时，函数的图象是一条直线；（2）幂函数的图象都经过和点；（3）若幂函数是奇函数，则是定义域上的增函数；（4）幂函数的图象不可能出现在第四象限。解：（1）当时，函数的图象是一条直线上去掉原点，错； （2）幂函数的图象当时，都经过和点，错； （3）若幂函数是奇函数，则是定义域上的增函数或减函数，错；（4）幂函数的图象不可能出现在第四象限，正确； （1）（2）（3）错。8、函数是幂函数，且在上是减函数，则实数_。解：由条件知：；由在上是减函数， ，。9、若直线与
10、函数的图象有两个公共点，则的取值范围是_。解：作图；（1）当（2）当； 的取值范围是：。10、已知函数的定义域为，则实数的值为_。解：由的解集是的解集是，与相交于点，。11、若在区间上是增函数，则的取值范围是_。解：由在上是增函数，；令：；的取值范围是：。12、函数在恒为正，则实数的取值范围是_。解：令：； （1）当时，由，即；（2）当时，由 ；由（1）（2）知，实数的取值范围是：。13、函数在区间上是增函数，则实数的取值范围为_。解：令，对称轴为：； （1）当时，由，即；（2）当时，由；由（1）（2）知，实数的取值范围是：。14、已知，则的值为（ ） A） B） C）或 D） 或 解：显然，
11、且；由 ；由；B）正确。15、已知函数，；若有，则的取值范围为 （ ）A） B） C） D）解：由，且，；B）正确。16、已知函数的值域为，则实数的取值范围是 （ ） A） B） C） D） 解：（1）当时，的值域为，成立；（2）当时，； 由（1）（2）知实数的取值范围是：；D）正确。17、若函数在上存在反函数，则实数的取值范围为 （ ） A） B） C） D）解：由，作图；由在上存在反函数， ，B）正确。18、函数的图象具有的特征：（1）原点是它的对称中心；（2）最低点是；（3）轴是它的一条渐近线；其中正确的是 （ ）A）（1）（2） B）（1）（3） C）（2）（3） D）（1）（2）（3）解：（1）由是奇函数，原点是它的对称中心，（1）正确；（2）当时，最低点是；当时，最高点是，（2）不正确；（3）及轴都是它的一条渐近线；（3）正确。 B）正确。19、已知函数的定义域为，值域为，求的值。解：由，即；（1）当，即时，；由；（2）当，即时，由，即；由；由根与系数的关系得，解得。20、已知函数，其中常数满足；（1）若，判断函数的单调性；（2）若，求时的取值范围。解：（1）当，时，且，； ，；，； ，函数在上是增函数；同理，当，时，函数在上
