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1、 2 7函数模型及综合应用 高考理数 课标专用 自主命题 省 区 市 卷题组 五年高考 考点一函数的实际应用1 2014湖南 8 5分 某市生产总值连续两年持续增加 第一年的增长率为p 第二年的增长率为q 则该市这两年生产总值的年平均增长率为 A B C D 1 答案D设两年前的年底该市的生产总值为a 则第二年年底的生产总值为a 1 p 1 q 设这两年生产总值的年平均增长率为x 则a 1 x 2 a 1 p 1 q 由于连续两年持续增加 所以x 0 因此x 1 故选D 2 2018浙江 11 6分 我国古代数学著作 张邱建算经 中记载百鸡问题 今有鸡翁一 值钱五 鸡母一 值钱三 鸡雏三 值钱
2、一 凡百钱 买鸡百只 问鸡翁 母 雏各几何 设鸡翁 鸡母 鸡雏个数分别为x y z 则当z 81时 x y 答案8 11 解析本小题考查二元一次方程组的实际应用 把z 81代入方程组 化简得解得x 8 y 11 3 2015四川 13 5分 某食品的保鲜时间y 单位 小时 与储藏温度x 单位 满足函数关系y ekx b e 2 718 为自然对数的底数 k b为常数 若该食品在0 的保鲜时间是192小时 在22 的保鲜时间是48小时 则该食品在33 的保鲜时间是小时 答案24 解析依题意有192 eb 48 e22k b e22k eb 所以e22k 所以e11k 或 舍去 于是该食品在33
3、的保鲜时间是e33k b e11k 3 eb 192 24 小时 考点二函数的综合应用1 2014湖南 10 5分 已知函数f x x2 ex x 0 与g x x2 ln x a 的图象上存在关于y轴对称的点 则a的取值范围是 A B C D 答案B设函数f x 图象上一点A x0 y0 x00 故 x 在 0 上为增函数 则 x 0 从而有a 故选B 2 2017山东 15 5分 若函数exf x e 2 71828 是自然对数的底数 在f x 的定义域上单调递增 则称函数f x 具有M性质 下列函数中所有具有M性质的函数的序号为 f x 2 x f x 3 x f x x3 f x x2
4、 2 答案 解析对于 f x 的定义域为 ex f x ex 2 x 函数y 在 上单调递增 符合题意 对于 f x 的定义域为 ex f x ex 3 x 函数y 在 上单调递减 不符合题意 对于 f x 的定义域为 ex f x ex x3 令y ex x3 则y ex x3 ex x2 x 3 当x 3 时 y 0 函数y ex x2 2 在 上单调递增 符合题意 符合题意的为 思路分析审清题意 逐项代入检验即可 方法总结判断函数单调性的一般方法 1 定义法 2 图象法 3 利用复合函数单调性的判断方法判断单调性 4 导数法 具体步骤 确定函数的定义域 当f x 0时 f x 为增函数
5、当f x 0时 f x 为减函数 注意写单调区间时不能用 连接 3 2017浙江 17 5分 已知a R 函数f x a在区间 1 4 上的最大值是5 则a的取值范围是 答案 解析本题考查函数的单调性 函数在闭区间上的最值的求法 考查分类讨论思想 设g x x a x 1 4 g x 1 易知g x 在 1 2 上为减函数 在 2 4 上为增函数 g 2 4 a g 1 g 4 5 a 1 当a 4时 g x max 5 a f x max g x max a 5 4 2014山东 15 5分 已知函数y f x x R 对函数y g x x I 定义g x 关于f x 的 对称函数 为函数y
6、 h x x I y h x 满足 对任意x I 两个点 x h x x g x 关于点 x f x 对称 若h x 是g x 关于f x 3x b的 对称函数 且h x g x 恒成立 则实数b的取值范围是 答案 2 5 2014湖北 14 5分 设f x 是定义在 0 上的函数 且f x 0 对任意a 0 b 0 若经过点 a f a b f b 的直线与x轴的交点为 c 0 则称c为a b关于函数f x 的平均数 记为Mf a b 例如 当f x 1 x 0 时 可得Mf a b c 即Mf a b 为a b的算术平均数 1 当f x x 0 时 Mf a b 为a b的几何平均数 2
7、当f x x 0 时 Mf a b 为a b的调和平均数 以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可 答案 1 2 x 解析答案不唯一 1 若Mf a b 是a b的几何平均数 则c 由题意知 a f a 0 b f b 共线 可取f x 2 若Mf a b 是a b的调和平均数 则c 由题意知 a f a b f b 共线 化简得 可取f x x 6 2014四川 15 5分 以A表示值域为R的函数组成的集合 B表示具有如下性质的函数 x 组成的集合 对于函数 x 存在一个正数M 使得函数 x 的值域包含于区间 M M 例如 当 1 x x3 2 x sinx时 1 x A 2 x B 现有如
8、下命题 设函数f x 的定义域为D 则 f x A 的充要条件是 b R a D f a b 函数f x B的充要条件是f x 有最大值和最小值 若函数f x g x 的定义域相同 且f x A g x B 则f x g x B 若函数f x aln x 2 x 2 a R 有最大值 则f x B 其中的真命题有 写出所有真命题的序号 答案 解析依题意可直接判定 正确 令f x 2x x 1 显然存在正数2 使得f x 的值域 0 2 2 2 但f x 无最小值 错误 对于 假设f x g x B 则存在正数M 使得当x在其公共定义域内取值时 有f x g x M 则f x M g x 又 g
9、 x B 则存在正数M1 使g x M1 M1 g x M1 即M g x M M1 f x M M1 与f x A矛盾 正确 对于 当a 0时 f x 即f x B 当a 0时 y aln x 2 的值域为 而 此时f x 无最大值 故a 0 正确 7 2016浙江 18 15分 已知a 3 函数F x min 2 x 1 x2 2ax 4a 2 其中min p q 1 求使得等式F x x2 2ax 4a 2成立的x的取值范围 2 i 求F x 的最小值m a ii 求F x 在区间 0 6 上的最大值M a 解析 1 由于a 3 故当x 1时 x2 2ax 4a 2 2 x 1 x2 2
10、 a 1 2 x 0 当x 1时 x2 2ax 4a 2 2 x 1 x 2 x 2a 所以 使得等式F x x2 2ax 4a 2成立的x的取值范围为 2 2a 2 i 设函数f x 2 x 1 g x x2 2ax 4a 2 则f x min f 1 0 g x min g a a2 4a 2 所以 由F x 的定义知m a min f 1 g a 即m a ii 当0 x 2时 F x f x max f 0 f 2 2 F 2 当2 x 6时 F x g x max g 2 g 6 max 2 34 8a max F 2 F 6 所以 M a 8 2016江苏 19 16分 已知函数f
11、 x ax bx a 0 b 0 a 1 b 1 1 设a 2 b 求方程f x 2的根 若对于任意x R 不等式f 2x mf x 6恒成立 求实数m的最大值 2 若01 函数g x f x 2有且只有1个零点 求ab的值 解析 1 因为a 2 b 所以f x 2x 2 x 方程f x 2 即2x 2 x 2 亦即 2x 2 2 2x 1 0 所以 2x 1 2 0 于是2x 1 解得x 0 由条件知f 2x 22x 2 2x 2x 2 x 2 2 f x 2 2 因为f 2x mf x 6对于x R恒成立 且f x 0 所以m 对于x R恒成立 而 f x 2 4 且 4 所以m 4 故实
12、数m的最大值为4 2 因为函数g x f x 2只有1个零点 而g 0 f 0 2 a0 b0 2 0 所以0是函数g x 的唯一零点 因为g x axlna bxlnb 又由01知lna0 所以g x 0有唯一解x0 lo 令h x g x 则h x axlna bxlnb ax lna 2 bx lnb 2 从而对任意x R h x 0 所以g x h x 是 上的单调增函数 于是当x x0 时 g x g x0 0 因而函数g x 在 x0 上是单调减函数 在 x0 上是单调增函数 下证x0 0 若x0 2 0 且函数g x 在以和loga2为端点的闭区间上的图象不间断 所以在和loga
13、2之间存在g x 的零点 记为x1 因为00 同理可得 在和logb2之间存在g x 的非0的零点 矛盾 因此 x0 0 于是 1 故lna lnb 0 所以ab 1 教师专用题组 答案D对于A选项 由题图可知 当乙车速度大于40km h时 乙车每消耗1升汽油 行驶里程都超过5km 则A错 对于B选项 由题意可知 以相同速度行驶相同路程 燃油效率越高 耗油越少 故三辆车中甲车耗油最少 则B错 对于C选项 甲车以80千米 小时的速度行驶时 燃油效率为10km L 则行驶1小时 消耗了汽油80 1 10 8 升 则C错 对于D选项 当行驶速度小于80km h时 在相同条件下 丙车的燃油效率高于乙车
14、 则在该市用丙车比用乙车更省油 则D对 综上 选D 2 2014浙江 17 4分 如图 某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练 已知点A到墙面的距离为AB 某目标点P沿墙面上的射线CM移动 此人为了准确瞄准目标点P 需计算由点A观察点P的仰角 的大小 若AB 15m AC 25m BCM 30 则tan 的最大值是 仰角 为直线AP与平面ABC所成角 答案 3 2015江苏 17 14分 某山区外围有两条相互垂直的直线型公路 为进一步改善山区的交通现状 计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路 记两条相互垂直的公路为l1 l2 山区边界曲线为C 计划修建的公路为l 如图所
15、示 M N为C的两个端点 测得点M到l1 l2的距离分别为5千米和40千米 点N到l1 l2的距离分别为20千米和2 5千米 以l2 l1所在的直线分别为x y轴 建立平面直角坐标系xOy 假设曲线C符合函数y 其中a b为常数 模型 1 求a b的值 2 设公路l与曲线C相切于P点 P的横坐标为t 请写出公路l长度的函数解析式f t 并写出其定义域 当t为何值时 公路l的长度最短 求出最短长度 解析 1 由题意知 点M N的坐标分别为 5 40 20 2 5 将其分别代入y 得解得 2 由 1 知 y 5 x 20 则点P的坐标为 设在点P处的切线l交x轴 y轴分别于A B点 易知y 则l的
16、方程为y x t 由此得A B 故f t t 5 20 设g t t2 则g t 2t 令g t 0 解得t 10 当t 5 10 时 g t 0 g t 是增函数 从而 当t 10时 函数g t 有极小值 也是最小值 所以g t min 300 则f t min 15 答 当t 10时 公路l的长度最短 最短长度为15千米 考点二函数的综合应用1 2014辽宁 12 5分 已知定义在 0 1 上的函数f x 满足 f 0 f 1 0 对所有x y 0 1 且x y 有 f x f y x y 若对所有x y 0 1 f x f y k恒成立 则k的最小值为 A B C D 答案B当x y时 f x f y 0 当x y时 若 x y 依题意有 f x f y 不妨设x f x f y 综上所述 对所有x y 0 1 都有 f x f y 因此 k 即k的最小值为 故选B 2 2013天津 8 5分 已知函数f x x 1 a x 设关于x的不等式f x a f x 的解集为A 若 A 则实数a的取值范围是 A B C D 答案A显然a 0时 A 不满足条件 a 0时 易知f 0 0
