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1、 4 3三角函数的图象和性质 高考文数 课标专用 考点一三角函数的图象及其变换1 2016课标全国 6 5分 将函数y 2sin的图象向右平移个周期后 所得图象对应的函数为 A y 2sinB y 2sinC y 2sinD y 2sin A组统一命题 课标卷题组 五年高考 答案D函数y 2sin的周期为 将其图象向右平移个单位后 得到的图象对应的函数为y 2sin 2sin 故选D 易错警示在三角函数图象的平移变换中 左加右减 是对x而言的 将x变为x 而不是将2x变为2x 2 2016课标全国 14 5分 函数y sinx cosx的图象可由函数y 2sinx的图象至少向右平移个单位长度得
2、到 考点二三角函数的性质及其应用1 2018课标全国 8 5分 已知函数f x 2cos2x sin2x 2 则 A f x 的最小正周期为 最大值为3B f x 的最小正周期为 最大值为4C f x 的最小正周期为2 最大值为3D f x 的最小正周期为2 最大值为4 答案B本题主要考查三角恒等变换及三角函数的性质 f x 2cos2x sin2x 2 2 1 sin2x sin2x 2 4 3sin2x 4 3 f x 的最小正周期T 当cos2x 1时 f x 取最大值 为4 故选B 解题关键解题关键是通过三角恒等变换化简函数解析式 2 2018课标全国 10 5分 若f x cosx
3、sinx在 0 a 是减函数 则a的最大值是 A B C D 答案C本题主要考查三角函数的图象及性质 f x cosx sinx cos 因为f x 在 0 a 上是减函数 所以解得0 a 故a的最大值是 故选C 3 2018课标全国 6 5分 函数f x 的最小正周期为 A B C D 2 答案C本题考查三角函数的周期 解法一 f x 的定义域为 f x sinx cosx sin2x f x 的最小正周期T 解法二 f x f x 是f x 的周期 f 而tan f f x 不是f x 的周期 也不是f x 的周期 故选C 方法总结函数周期的求法 1 定义法 若f x T f x T 0
4、则T是f x 的一个周期 2 若T是函数y f x 的周期 则kT k Z且k 0 也是y f x 的周期 3 若定义域内都有f x a f x 或f x a f x 0 或f x a a是常数且a 0 f x 0 则f x 是以2 a 为周期的周期函数 4 若f x 的图象关于直线x a和x b对称 则2 a b 是f x 的一个周期 若f x 的图象关于点 a 0 b 0 对称 则2 a b 是f x 的一个周期 若f x 关于点 a 0 和直线x b对称 则4 a b 是f x 的一个周期 4 2017课标全国 3 5分 函数f x sin的最小正周期为 A 4 B 2 C D 答案C函
5、数f x sin的最小正周期T 故选C 5 2016课标全国 11 5分 函数f x cos2x 6cos的最大值为 A 4B 5C 6D 7 答案Bf x 1 2sin2x 6sinx 2 当sinx 1时 f x 取得最大值5 故选B 思路分析利用二倍角的余弦公式及诱导公式将f x cos2x 6cos转化为关于sinx的二次函数 通过配方来求最值 注意不要忘记sinx 1 1 6 2017课标全国 6 5分 函数f x sin cos的最大值为 A B 1C D 答案A f x sin cos cosx sinx sinx cosx 2sin sin f x 的最大值为 故选A 一题多解
6、 cos cos sin sin f x sin f x max 故选A 7 2015课标 8 5分 0 435 函数f x cos x 的部分图象如图所示 则f x 的单调递减区间为 A k ZB k ZC k ZD k Z 答案D由题图可知 1 所以T 2 又由题图知f 0 即 2k k Z 得 2k k Z 此时f x cos cos k Z 由2k x 2k k Z 得2k x 2k k Z 所以f x 的单调递减区间为 k Z 故选D 8 2014课标 7 5分 0 396 在函数 y cos 2x y cosx y cos y tan中 最小正周期为 的所有函数为 A B C D
7、答案A y cos 2x cos2x 最小正周期为 由图象知y cosx 的最小正周期为 y cos的最小正周期T y tan的最小正周期T 因此选A 9 2017课标全国 13 5分 函数f x 2cosx sinx的最大值为 10 2014课标 14 5分 0 509 函数f x sin x 2sin cosx的最大值为 B组自主命题 省 区 市 卷题组考点一三角函数的图象及其变换1 2018天津 6 5分 将函数y sin的图象向右平移个单位长度 所得图象对应的函数 A 在区间上单调递增B 在区间上单调递减C 在区间上单调递增D 在区间上单调递减 答案A本题主要考查三角函数图象的变换及三
8、角函数的性质 将y sin的图象向右平移个单位长度 所得图象对应的函数为y sin sin2x 当2k 2x 2k k Z 即k x k k Z 时 y sin2x单调递增 令k 0 则x 所以y sin2x在上单调递增 故选A 易错警示在进行三角函数的图象变换时 要注意无论进行怎样的变换都是对自变量本身而言的 另外 要注意变换前后两个函数的函数名称是否一致 若不一致 应先利用诱导公式化为同名函数 2 2016四川 4 5分 为了得到函数y sin的图象 只需把函数y sinx的图象上所有的点 A 向左平行移动个单位长度B 向右平行移动个单位长度C 向上平行移动个单位长度D 向下平行移动个单位
9、长度 答案A根据 左加右减 的原则可知 把函数y sinx的图象上所有的点向左平行移动个单位长度可得y sin的图象 故选A 评析本题考查三角函数图象的平移变换 3 2015山东 4 5分 要得到函数y sin的图象 只需将函数y sin4x的图象 A 向左平移个单位B 向右平移个单位C 向左平移个单位D 向右平移个单位 答案B因为y sin sin 易知只需将y sin4x的图象向右平移个单位 即得y sin的图象 故选B 4 2014重庆 13 5分 将函数f x sin x 图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半 纵坐标不变 再向右平移个单位长度得到y sinx的图象 则f 5 2015陕
10、西 14 5分 如图 某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y 3sin k 据此函数可知 这段时间水深 单位 m 的最大值为 6 2015湖南 15 5分 已知 0 在函数y 2sin x与y 2cos x的图象的交点中 距离最短的两个交点的距离为2 则 7 2016山东 17 12分 设f x 2sin x sinx sinx cosx 2 1 求f x 的单调递增区间 2 把y f x 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍 纵坐标不变 再把得到的图象向左平移个单位 得到函数y g x 的图象 求g的值 解析 1 f x 2sin x sinx sinx cosx 2 2sin
11、2x 1 2sinxcosx 1 cos2x sin2x 1 sin2x cos2x 1 2sin 1 由2k 2x 2k k Z 得k x k k Z 所以f x 的单调递增区间是 k Z 2 由 1 知f x 2sin 1 把y f x 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍 纵坐标不变 得到y 2sin 1的图象 再把得到的图象向左平移个单位 得到y 2sinx 1的图象 即g x 2sinx 1 所以g 2sin 1 方法总结研究三角函数的单调性 首先将函数化为y Asin x h 或y Acos x h 的形式 要视 x 为一个整体 另外注意A的正负 8 2015湖北 18 12分
12、某同学用 五点法 画函数f x Asin x 在某一个周期内的图象时 列表并填入了部分数据 如下表 1 请将上表数据补充完整 并直接写出函数f x 的解析式 2 将y f x 图象上所有点向左平行移动个单位长度 得到y g x 图象 求y g x 的图象离原点O最近的对称中心 解析 1 根据表中已知数据 解得A 5 2 数据补全如下表 且函数表达式为f x 5sin 2 由 1 知f x 5sin 因此 g x 5sin 5sin 令2x k k Z 解得x k Z 即y g x 图象的对称中心为 k Z 其中离原点O最近的对称中心为 考点二三角函数的性质及其应用1 2015四川 5 5分 下
13、列函数中 最小正周期为 的奇函数是 A y sinB y cosC y sin2x cos2xD y sinx cosx 答案By cos sin2x y cos是最小正周期为 的奇函数 故选B 2 2017山东 7 5分 函数y sin2x cos2x的最小正周期为 A B C D 2 答案C本题考查三角函数辅助角公式及三角函数的性质 y sin2x cos2x 2sin 从而最小正周期T 3 2017天津 7 5分 设函数f x 2sin x x R 其中 0 若f 2 f 0 且f x 的最小正周期大于2 则 A B C D 答案A f 2 f 0 f x 的最小正周期大于2 得T 3
14、则 又f 2sin 2 sin 1 2k k Z 2k k Z 故选A 思路分析由三角函数的图象 图略 可知 得T 3 然后将代入y f x 中解出 的值即可 易错警示根据f x 的最小正周期T 2 可知T 得T 3 若不注意已知条件 则容易出现T 得T 从而造成错误 4 2016天津 8 5分 已知函数f x sin2 sin x 0 x R 若f x 在区间 2 内没有零点 则 的取值范围是 A B C D 答案Df x sin x sin x cos x sin x 2 0 x f x 在区间 2 内没有零点 有以下两种情况 2k 2k k Z 则有k Z 得 k Z 当k 0时 2k
15、2k 2 k Z 则有k Z 得 k Z 当k 1时 又 0 综上 故选D 疑难突破将函数化简为f x sin 将 x 看作一个整体 借助函数y sinx的图象得出f x 在 2 内没有零点时需满足的条件 建立不等式组求解 5 2018江苏 7 5分 已知函数y sin 2x 的图象关于直线x 对称 则 的值是 6 2015浙江 11 6分 函数f x sin2x sinxcosx 1的最小正周期是 最小值是 7 2018北京 16 13分 已知函数f x sin2x sinxcosx 1 求f x 的最小正周期 2 若f x 在区间上的最大值为 求m的最小值 8 2017北京 16 13分
16、已知函数f x cos 2sinxcosx 1 求f x 的最小正周期 2 求证 当x 时 f x 解析本题考查三角恒等变换 三角函数的性质 1 f x cos2x sin2x sin2x sin2x cos2x sin 所以f x 的最小正周期T 2 证明 因为 x 所以 2x 所以sin sin 所以当x 时 f x 易错警示正确化简y f x 是解题的关键 在 2 中 证明f x 时容易忽视x的取值范围 9 2017浙江 18 14分 已知函数f x sin2x cos2x 2sinxcosx x R 1 求f的值 2 求f x 的最小正周期及单调递增区间 解析本题主要考查三角函数的性质及其变换等基础知识 同时考查运算求解能力 1 由sin cos f 2 得f 2 2 由cos2x cos2x sin2x与sin2x 2sinxcosx得f x cos2x sin2x 2sin 所以f x 的最小正周期是 由 2k 2x 2k k Z 解得 k x k k Z 所以 f x 的单调递增区间是 k Z C组教师专用题组考点一三角函数的图象及其变换1 2014浙江 4 5分 为了得
