《高考数学（文科）大一轮精准复习课件：§9.2 直线、圆的位置关系 .pptx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学（文科）大一轮精准复习课件：§9.2 直线、圆的位置关系 .pptx（31页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、考点一点与直线 直线与直线的位置关系考向基础1 两直线的位置关系 考点清单 2 点 直线间的距离 1 已知点P的坐标为 x0 y0 直线l的方程是Ax By C 0 则点P到l的距离d 2 设两条平行直线l1 Ax By C 0 l2 Ax By D 0 且D C 则l1与l2间的距离d 常见直线系方程1 过定点 x1 y1 的直线系方程为A x x1 B y y1 0 A2 B2 0 还可以表示为y y1 k x x1 和x x1 2 平行于直线Ax By C 0的直线系方程为Ax By 0 C 3 垂直于直线Ax By C 0的直线系方程为Bx Ay 0 4 过两条已知直线A1x B1y
2、C1 0 A2x B2y C2 0交点的直线系方程为A1x B1y C1 A2x B2y C2 0 其中不包括直线A2x B2y C2 0 知识拓展 例1 2018豫南九校联考 4 已知直线l1 2ax a 1 y 1 0 l2 a 1 x a 1 y 0 若l1 l2 则a A 2或B 或 1C D 1 考向突破考向一两条直线垂直 平行 的关系 解析 l1 l2 2a a 1 a 1 a 1 0 即3a2 2a 1 0 解得a 1或 故选B 答案B 例2两直线3x y 3 0和6x my 1 0平行 则它们之间的距离为 考向二距离公式的应用 解析因为两直线平行 所以m 2 解法一 在直线3x
3、 y 3 0上取点 0 3 代入点到直线的距离公式 得d 解法二 将6x 2y 1 0化为3x y 0 由两条平行线间的距离公式得d 答案 例3 2019届河南安阳9月调研 14 方程 a 1 x y 2a 1 0 a R 所表示的直线恒过一定点 该定点坐标为 考向三定点直线系 解析由方程 a 1 x y 2a 1 0可得a x 2 x y 1 0 又知该方程对一切实数a恒成立 解得 定点坐标为 2 3 答案 2 3 考点二直线 圆的位置关系考向基础1 点与圆的位置关系设点P到圆心的距离为d 圆的半径为r 点P在圆外 d r 点P在圆上 d r 点P在圆内 d0 d为圆心 a b 到直线l的距
4、离 联立直线和圆的方程 消元后得到的一元二次方程根的判别式为 3 两圆的位置关系的判定设圆O1的方程为 x a1 2 y b1 2 R2 R 0 圆O2的方程为 x a2 2 y b2 2 r2 r 0 其中R r 知识拓展 1 常见的圆系方程 1 同心圆系方程 x a 2 y b 2 r2 r 0 其中a b是定值 r是参数 2 半径相等的圆系方程 x a 2 y b 2 r2 r 0 其中r是定值 a b是参数 3 过直线Ax By C 0与圆x2 y2 Dx Ey F 0的交点的圆系方程 x2 y2 Dx Ey F Ax By C 0 R 4 过圆C1 x2 y2 D1x E1y F1
5、0和圆C2 x2 y2 D2x E2y F2 0的交点的圆系方程 x2 y2 D1x E1y F1 x2 y2 D2x E2y F2 0 1 其中不含圆C2 因此注意检验圆C2是否满足题意 以防丢解 2 与圆的切线有关的结论 1 过圆x2 y2 r2上一点P x0 y0 的切线方程为x0 x y0y r2 2 过圆 x a 2 y b 2 r2上一点P x0 y0 的切线方程为 x0 a x a y0 b y b r2 3 过圆x2 y2 r2外一点P x0 y0 作圆的两条切线 切点为A B 则过A B两点的直线方程为x0 x y0y r2 4 过圆x2 y2 Dx Ey F 0 D2 E2
6、 4F 0 外一点P x0 y0 引圆的切线 切点为T 则切线长为 PT 3 求两圆公共弦所在直线的方程的方法 1 联立两圆方程 通过解方程组求出两交点坐标 再利用两点式求出直线方程 2 将两圆的方程相减得到的方程就是所求的直线的方程 注意应用上述两种方法的前提是两圆必须相交 例4 2019届山西晋中9月质检 5 直线x ky 1 0与圆x2 y2 1的位置关系是 A 相交B 相切C 相交或相切D 相离 考向一直线与圆的位置关系 考向突破 解析解法一 圆x2 y2 1的圆心为 0 0 半径r 1 则圆心 0 0 到直线x ky 1 0的距离d 而 1 d 1 r 因此直线与圆相切或相交 故选C
7、 解法二 由得 ky 1 2 y2 1 即 k2 1 y2 2ky 0 2k 2 4k2 0 方程 有两相同实数解或两不同实数解 故直线与圆相切或相交 故选C 解法三 直线x ky 1 0过定点M 1 0 而定点M 1 0 在圆x2 y2 1上 所以直线x ky 1 0与圆x2 y2 1相切或相交 故选C 答案C 例5两圆C1 x2 y2 2x 3 0 C2 x2 y2 4x 2y 3 0的位置关系是 A 相离B 相切C 相交D 内含 考向二圆与圆的位置关系 解析解法一 几何法 把两圆的方程分别配方 化为标准方程是C1 x 1 2 y2 4 C2 x 2 2 y 1 2 2 所以两圆圆心分别为
8、C1 1 0 C2 2 1 半径r1 2 r2 则圆心距 C1C2 r1 r2 2 r1 r2 2 故r1 r2 C1C2 r1 r2 所以两圆相交 解法二 代数法 联立方程解得即方程组有2组解 也就是说 两圆的交点个数为2 故可判断两圆相交 故选C 答案C 例6 2018豫北 豫南联考 13 过点M 1 的圆O x2 y2 4的切线方程是 考向三与圆有关的切线问题 解析由题意知kOM 且点M在圆O上 切线的斜率k 过点M的圆O的切线方程为y x 1 即x y 4 0 答案x y 4 0 例7 2018广西南宁调研 14 已知圆 x a 2 y2 4截直线x y 4 0所得的弦的长度为2 则a
9、 考向四与圆有关的弦长问题 解析由题意知 圆心为 a 0 半径为2 圆心到直线y x 4的距离为 因为弦长为2 所以 解得a 2或a 6 答案2或6 方法1直线与圆 圆与圆位置关系的判断方法1 判断直线与圆的位置关系的方法 代数法 将直线方程与圆的方程联立得方程组 再将方程组转化为一元二次方程 由该方程解的情况判断直线与圆的位置关系 这种方法具有一般性 适合判断直线与圆锥曲线的位置关系 但是计算量较大 几何法 圆心到直线的距离与圆的半径比较大小 即可判断直线与圆的位置关系 这种方法计算量较小 但只能用于圆的问题中 2 圆与圆的位置关系 由交点个数 也就是利用方程组解的个数来判断 有时得不到确切
10、的结论 通常还是从两圆的圆心距d与两圆的半径和 差的关系入手进行判断 方法技巧 例1 2016山东 7 5分 已知圆M x2 y2 2ay 0 a 0 截直线x y 0所得线段的长度是2 则圆M与圆N x 1 2 y 1 2 1的位置关系是 A 内切B 相交C 外切D 相离 解题导引 解析由题意知圆M的圆心为 0 a 半径R a 因为圆M截直线x y 0所得线段的长度为2 所以圆心M到直线x y 0的距离d a 0 解得a 2 又知圆N的圆心为 1 1 半径r 1 所以 MN 则R r R r 所以两圆的位置关系为相交 故选B 答案B 例2 2018广东深圳二模 7 已知点P 1 m 在椭圆
11、y2 1的外部 则直线y 2mx 与圆x2 y2 1的位置关系为 A 相离B 相交C 相切D 相交或相切 解题导引 解析由点P 1 m 在椭圆 y2 1的外部 得m2 则圆x2 y2 1的圆心 0 0 到直线y 2mx 0的距离d 1 直线y 2mx 与圆x2 y2 1相交 故选B 答案B 一题多解由点P 1 m 在椭圆 y2 1的外部 得m2 由消去y得 4m2 1 x2 4mx 2 0 4m 2 8 4m2 1 16m2 8 又知m2 16m2 8 4 0 该方程有两个不同的实数解 即直线与圆的位置关系为相交 故选B 方法2求解与圆有关的切线和弦长问题的方法1 求过圆上一点 x0 y0 的
12、切线方程的方法 先求切点和圆心连线的斜率k 假设斜率存在 且不为零 由垂直关系知切线斜率为 由点斜式方程可求切线方程 若切线斜率不存在 此时k 0 则切线的方程为x x0 若切点和圆心连线的斜率不存在 则切线方程为y y0 2 求过圆外一点 x0 y0 的圆的切线方程的方法 几何法 当斜率存在时 设斜率为k 切线方程为y y0 k x x0 即kx y y0 kx0 0 由圆心到直线的距离等于半径 即可得到k的值 从而可得切线方程 当切线斜率不存在时 切线的方程为x x0 代数法 当斜率存在时 设斜率为k 切线方程为y y0 k x x0 即y kx kx0 y0 代入圆的方程 得到一个关于x
13、的一元二次方程 由 0 求得k值 从而得到切线方程 当切线斜率不存在时 切线的方程为x x0 3 圆的弦长的求法 几何法 设圆的半径为r 弦心距为d 弦长为L 则 r2 d2 代数法 设直线与圆相交于A x1 y1 B x2 y2 两点 方程组消去y后得到一个关于x的一元二次方程 从而求得x1 x2 x1x2 则弦长 AB k为直线的斜率 例3 2019届湖南长沙一中11月周考 20 已知圆C x 3 2 y 4 2 4 直线l1过定点A 1 0 1 若l1与圆C相切 求l1的方程 2 若l1与圆C相交于P Q两点 求三角形CPQ面积的最大值 并求此时直线l1的方程 解题导引 解析 1 若直线
14、l1的斜率不存在 则直线l1 x 1 符合题意 若直线l1的斜率存在 设直线l1的方程为y k x 1 即kx y k 0 由题意知 圆心 3 4 到直线l1的距离等于半径2 即 2 解得k 此时l1的方程为3x 4y 3 0 故所求直线l1的方程是x 1或3x 4y 3 0 2 直线l1与圆C相交 斜率必定存在 且不为0 设直线l1的方程为kx y k 0 则圆心C到直线l1的距离d 又 CPQ的面积S d 2 d 当d 时 S取得最大值2 d 解得k 1或k 7 故所求直线l1的方程为x y 1 0或7x y 7 0 方法3解决对称问题的方法1 中心对称 1 点关于点对称 设点P x0 y
15、0 对称中心为A a b 则点P关于点A的对称点为 2a x0 2b y0 2 直线关于点对称问题的主要解法 在已知直线上取两点 再利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标 再由两点式求出直线方程 或者求出一个对称点 再利用两直线平行 由点斜式得到所求的直线方程 2 轴对称 1 点关于直线对称 由轴对称定义知 对称轴即为两对称点连线的 垂直平分线 利用 垂直 平分 这两个条件建立方程组 就可求出 对称点的坐标 一般情形如下 设点P x0 y0 关于直线y kx b k 0 的对称点为P x y 则有可求出x y 2 直线关于直线的对称问题直线关于直线的对称问题一般转化为点关于直线的对称
16、来解决 有两种情况 一是已知直线与对称轴相交 二是已知直线与对称轴平行 特殊地 点P x0 y0 关于直线x a的对称点为P 2a x0 y0 点P x0 y0 关于直线y b的对称点为P x0 2b y0 例4一条光线经过点P 2 3 射在直线l x y 1 0上 反射后经过点Q 1 1 求 1 入射光线所在直线的方程 2 这条光线从P到Q所经路线的长度 解析 1 设点Q x y 为Q关于直线l的对称点 QQ 交l于M点 kl 1 kQQ 1 QQ 所在直线的方程为y 1 1 x 1 即x y 0 由解得 交点M 解得 Q 2 2 设入射光线与l交于点N 则P N Q 三点共线 又P 2 3 Q 2 2 故入射光线所在直线的方程为 即5x 4y 2 0 2 PN NQ PN NQ PQ 即这条光线从P到Q所经路线的长度为
