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1、第一节函数及其表示一、基础知识批注理解深一点1函数与映射的概念2函数的有关概念(1)函数的定义域、值域:在函数yf(x),xA中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合f(x)|xA叫做函数的值域求函数定义域的策略(1)确定函数的定义域常从解析式本身有意义,或从实际出发(2)如果函数yf(x)是用表格给出,则表格中x的集合即为定义域(3)如果函数yf(x)是用图象给出,则图象在x轴上的投影所覆盖的x的集合即为定义域(2)函数的三要素:定义域、值域和对应关系(3)相等函数:如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,则这两个函数相等,这是判断两函数
2、相等的依据. 两函数值域与对应关系相同时,两函数不一定相同(4)函数的表示法:表示函数的常用方法有:解析法、图象法、列表法3分段函数若函数在其定义域内,对于定义域内的不同取值区间,有着不同的对应关系,这样的函数通常叫做分段函数关于分段函数的3个注意(1)分段函数虽然由几个部分构成,但它表示同一个函数(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集(3)各段函数的定义域不可以相交二、基础小题强化功底牢一点(1)对于函数f:AB,其值域是集合B.()(2)若两个函数的定义域与值域相同,则这两个函数是相等函数()(3)函数是一种特殊的映射()(4)若AR,B(0,),f:xy|x|,则
3、对应f可看作从A到B的映射()(5)分段函数是由两个或几个函数组成的()答案:(1)(2)(3)(4)(5)(二)选一选1函数ylog2(2x4)的定义域是()A(2,3)B(2,)C(3,) D(2,3)(3,)解析:选D由题意,得解得x2且x3,所以函数ylog2(2x4)的定义域为(2,3)(3,)2下列函数中,与函数yx1是相等函数的是()Ay()2 By1Cy1 Dy1解析:选B对于A,函数y()2的定义域为x|x1,与函数yx1的定义域不同,不是相等函数;对于B,定义域和对应关系都相同,是相等函数;对于C,函数y1的定义域为x|x0,与函数yx1的定义域不同,不是相等函数;对于D,
4、定义域相同,但对应关系不同,不是相等函数,故选B.3函数y1的值域为()A(0,) B(1,)C0,) D1,)解析:选D函数y1的定义域为1,),且在1,)上为增函数,所以当x1时,y取得最小值1.故函数的值域为1,)(三)填一填4设函数f(x)若f(a)f(1)2,则a_.解析:若a0,则12,得a1;若a0,则12,得a1.故a1.答案:15已知fx25x,则f(x)_.解析:令t,则x(t0),即f(t),f(x)(x0)答案:(x0) 典例(1)(2019长春质检)函数y的定义域是()A1,0)(0,1)B1,0)(0,1C(1,0)(0,1 D(1,0)(0,1)(2)已知函数f(
5、x)的定义域为(1,0),则函数f(2x1)的定义域为()A(1,1) B.C(1,0) D.解析(1)由题意得解得1x0或0x1.所以原函数的定义域为(1,0)(0,1)(2)令u2x1,由f(x)的定义域为(1,0),可知1u0,即12x10,得1x.答案(1)D(2)B解题技法1使函数解析式有意义的一般准则(1)分式中的分母不为0;(2)偶次根式的被开方数非负;(3)yx0要求x0;(4)对数式中的真数大于0,底数大于0且不等于1;(5)正切函数ytan x,xk(kZ);(6)实际问题中除考虑函数解析式有意义外,还应考虑实际问题本身的要求2抽象函数的定义域问题(1)若已知函数f(x)的
6、定义域为a,b,其复合函数f(g(x)的定义域由不等式ag(x)b求出;(2)若已知函数f(g(x)的定义域为a,b,则f(x)的定义域为g(x)在xa,b上的值域定义域,是何意,自变量,有意义;分式分母不为零,对数真数只取正;偶次根式要非负,三者结合生万物;和差积商定义域,不等式组求交集;抽象函数定义域,对应法则内相同题组训练1.函数f(x)的定义域为()A2,0)(0,2 B(1,0)(0,2C2,2 D(1,2解析:选B由得10,所以t1,故f(x)的解析式是f(x)lg(x1)答案:lg(x1)3.已知f(x)满足2f(x)f3x,则f(x)_.解析:2f(x)f3x,把中的x换成,得
7、2ff(x).联立可得解此方程组可得f(x)2x(x0)答案:2x(x0) 考法(一)求函数值典例(2019石家庄模拟)已知f(x)(0a1),且f(2)5,f(1)3,则f(f(3)()A2B2C3 D3解析由题意得,f(2)a2b5,f(1)a1b3,联立,结合0a1,得a,b1,所以f(x)则f(3)319,f(f(3)f(9)log392.答案B解题技法求分段函数的函数值的策略(1)求分段函数的函数值时,要先确定要求值的自变量属于哪一区间,然后代入该区间对应的解析式求值;(2)当出现f(f(a)的形式时,应从内到外依次求值;(3)当自变量的值所在区间不确定时,要分类讨论,分类标准应参照
8、分段函数不同段的端点考法(二)求参数或自变量的值(或范围)典例(2018全国卷)设函数f(x)则满足f(x1)f(2x)的x的取值范围是()A(,1 B(0,)C(1,0) D(,0)解析法一:分类讨论法当即x1时,f(x1)f(2x),即为2(x1)22x,即(x1)2x,解得x1.因此不等式的解集为(,1当时,不等式组无解当即1x0时,f(x1)f(2x),即为122x,解得x0时,f(x1)1,f(2x)1,不合题意综上,不等式f(x1)f(2x)的解集为(,0)法二:数形结合法f(x)函数f(x)的图象如图所示结合图象知,要使f(x1)f(2x),则需或x0,故选D.答案D解题技法已知函数值(或范围)求自变量的值(或范围)的方法(1)根据每一段的解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值(或范围)是否符合相应段的自变量的取值范围,最后将各段的结果合起来(求并集)即可;(2)如果分段函数的图象易得,也可以画出函数图象后结合图象求解题组训练1设f(x)若f(a)f(a1),则f()A2 B4C6 D8解析:选C当0a1时,a11,f(a),f(a1)2(a11)2a,f(a)f(a1),2a,解得a或a0(舍去)ff(4)2(41)6.当a1时,