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1、高考数学 浙江专用 4 4三角函数的最值与综合应用 考点三角函数的最值与综合应用1 2017课标全国 文 6 5分 函数f x sin cos的最大值为 A B 1C D 统一命题 省 区 市 卷题组 五年高考 答案A f x sin cos cosx sinx sinx cosx 2sin sin f x 的最大值为 故选A 一题多解 cos cos sin sin f x sin f x max 故选A 2 2016课标全国 12 5分 已知函数f x sin x x 为f x 的零点 x 为y f x 图象的对称轴 且f x 在单调 则 的最大值为 A 11B 9C 7D 5 答案B依题
2、意 有 m n Z 又 m n 0或m n 1 当m n 0时 4n 1 由f x 在上单调 得 12 取n 2 得 9 f x sin符合题意 当m n 1时 4n 3 取n 2 得 11 f x sin 此时 当x 时 11x f x 不单调 不合题意 故选B 3 2017课标全国 文 13 5分 函数f x 2cosx sinx的最大值为 答案 解析f x sin x sin x 其中tan 2 方法总结把函数化为y Asin x B的形式 再借助三角函数的有界性求解 4 2017课标全国 理 14 5分 函数f x sin2x cosx 的最大值是 答案1 解析本题主要考查三角函数的最
3、值 由题意可得f x cos2x cosx 1 x cosx 0 1 当cosx 时 f x max 1 5 2018北京文 16 13分 已知函数f x sin2x sinxcosx 1 求f x 的最小正周期 2 若f x 在区间上的最大值为 求m的最小值 所以2m 即m 所以m的最小值为 解析 1 f x cos2x sin2x sin 所以f x 的最小正周期为T 2 由 1 知f x sin 由题意知 x m 所以 2x 2m 要使得f x 在上的最大值为 即sin在上的最大值为1 6 2017山东理 16 12分 设函数f x sin sin 其中0 3 已知f 0 1 求 2 将
4、函数y f x 的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍 纵坐标不变 再将得到的图象向左平移个单位 得到函数y g x 的图象 求g x 在上的最小值 解析本题考查了y Asin x 的图象和性质及最值 1 因为f x sin sin 所以f x sin x cos x cos x sin x cos x sin 由题设知f 0 所以 k k Z 故 6k 2 k Z 又0 3 所以 2 2 由 1 得f x sin 所以g x sin sin 因为x 所以x 当x 即x 时 g x 取得最小值 方法技巧y Asin x A 0 0 的图象变换 由y sinx的图象变换得到y Asin x A 0
5、 0 的图象有两种方法 方法一 先平移后伸缩 y sinx的图象y sin x 的图象y sin x 的图象y Asin x 的图象 方法二 先伸缩后平移 y sinx的图象y sin x的图象y sin x 的图象y Asin x 的图象 7 2015天津 15 13分 已知函数f x sin2x sin2 x R 1 求f x 的最小正周期 2 求f x 在区间上的最大值和最小值 解析 1 由已知 有f x cos2x sin2x cos2x sin 所以 f x 的最小正周期T 2 因为f x 在区间上是减函数 在区间上是增函数 f f f 所以 f x 在区间上的最大值为 最小值为 评
6、析本题主要考查两角差的正弦公式和余弦公式 二倍角公式 三角函数的最小正周期 单调性等基础知识 考查基本运算能力 8 2014重庆 17 13分 已知函数f x sin x 的图象关于直线x 对称 且图象上相邻两个最高点的距离为 1 求 和 的值 2 若f 求cos的值 解析 1 因为f x 的图象上相邻两个最高点的距离为 所以f x 的最小正周期T 从而 2 又因为f x 的图象关于直线x 对称 所以2 k k 0 1 2 由 得k 0 所以 2 由 1 得f sin 所以sin 由 得0 所以cos 因此cos sin sin sincos cossin 9 2014四川 16 12分 已知
7、函数f x sin 1 求f x 的单调递增区间 2 若 是第二象限角 f coscos2 求cos sin 的值 解析 1 因为函数y sinx的单调递增区间为 k Z 由 2k 3x 2k k Z 得 x k Z 所以 函数f x 的单调递增区间为 k Z 2 由已知 有sin cos cos2 sin2 所以sin cos cos sin cos2 sin2 即sin cos cos sin 2 sin cos 当sin cos 0时 由 是第二象限角 知 2k k Z 此时 cos sin 当sin cos 0时 有 cos sin 2 由 是第二象限角 知cos sin 0 此时co
8、s sin 综上所述 cos sin 或 评析本题主要考查正弦型函数的性质 二倍角与和差角公式 简单的三角恒等变换等基础知识 考查运算求解能力 考查分类与整合 化归与转化等数学思想 考点三角函数的最值与综合应用1 2017北京文 16 13分 已知函数f x cos 2sinxcosx 1 求f x 的最小正周期 2 求证 当x 时 f x C组教师专用题组 解析本题考查三角恒等变换 三角函数的性质 1 f x cos2x sin2x sin2x sin2x cos2x sin 所以f x 的最小正周期T 2 证明 因为 x 所以 2x 所以sin sin 所以当x 时 f x 易错警示正确化
9、简y f x 是解题的关键 在 2 中 证明f x 时容易忽视x的取值范围 2 2014湖北 17 11分 某实验室一天的温度 单位 随时间t 单位 h 的变化近似满足函数关系 f t 10 cost sint t 0 24 1 求实验室这一天的最大温差 2 若要求实验室温度不高于11 则在哪段时间实验室需要降温 解析 1 因为f t 10 2 10 2sin 又0 t11时实验室需要降温 由 1 得f t 10 2sin 故有10 2sin 11 即sin 又0 t 24 因此 t 即10 t 18 在10时至18时实验室需要降温 评析考查了正弦函数的性质 考查了运算求解能力 正确利用正弦函
10、数的单调性是解题的关键 计算失误是造成失分的重要原因之一 应充分重视 考点三角函数的最值与综合应用1 2018浙江镇海中学阶段测试 4 有4个关于x的函数 y1 sinx cosx y2 sinx cosx y3 sinxcosx y4 这4个函数中 在上单调递增的函数的个数是 A 0B 1C 2D 3 三年模拟 A组2016 2018年高考模拟 基础题组 答案Cy1 sin y2 sin y3 sin2x y4 tanx 其中在上单调递增的函数是y2 y4 故选C 2 2017浙江 七彩阳光 新高考研究联盟测试 5 函数f x 2cosxsin的最大值为 A 1 B 1 C D 2 答案A
11、f x 2cosx sin2x 1 cos2x sin f x max 1 3 2018浙江镇海中学单元测试 12 函数f x sin2x e sinx cosx 的最大值与最小值之差等于 答案 1 解析因为f x sin2x 函数y sin2x和y 在区间 k Z 上都是增函数 且在区间 k Z 上都是减函数 则当x k k Z 时 f x 取到最小值 为f 1 e0 0 则当x k k Z 时 f x 取到最大值 为f 1 故函数f x 的最大值与最小值之差等于 1 4 2017浙江高考模拟训练冲刺卷四 11 若函数f x asinx bcosx ab 0 的最小值为f 且f 2 则 f
12、0 的值为 答案 2 解析依题意有asin bcos 即a b 可得b a 故 从而f x 2asin 所以f 2asin 2 解得a 故f 0 2 sin 2 5 2018浙江名校协作体 18 函数f x 2sin x 1的图象过点 且相邻的两个最高点与最低点的距离为 1 求函数f x 的解析式和单调增区间 2 若将函数f x 图象上所有点向左平移 个单位长度 再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的 得到函数g x 的图象 求g x 在上的值域 解析 1 由已知相邻的两个最高点和最低点的距离为 可得 42 解得 2 2分 f 2sin 1 1 sin 又 0 4分 f x 2sin 1 6分
13、 当f x 单调递增时 2k 2x 2k k Z k x k k Z f x 的单调增区间为 k Z 8分 2 由题意得g x 的解析式为g x 2sin4x 1 10分 当 x 时 4x sin4x 1 g x 1 1 14分 6 2018浙江宁波模拟 5月 18 已知函数f x 4cosx sin 1 1 求函数f x 的单调递增区间 2 在 ABC中 角A B C的对边分别为a b c 若满足f B 0 a 2 且D是BC的中点 P是直线AB上的动点 求 CP PD 的最小值 解析 1 f x 4cosx 1 sin2x cos2x 2 2sin 2 4分 由于 2k 2x 2k k Z
14、 所以 k x k k Z 所以f x 的单调递增区间为 k Z 6分 2 由f B 2sin 2 0得2B 所以B 8分 作C关于AB的对称点C 连接C D C P C B C D 2 BD2 BC 2 BD BC 7 12分 CP PD C P PD C D 所以当C P D共线时 CP PD 取得最小值 14分 7 2017浙江五校联考 5月 18 已知函数f x sinx cosx cosx sinx 1 求函数f x 的单调递增区间 2 若f x0 x0 求cos2x0的值 解析 1 f x sinx cosx cosx sinx 2sin 令2k 2x 2k k Z 得k x k
15、k Z 故函数f x 的单调递增区间为 k Z 2 f x0 2sin sin 又x0 cos cos2x0 cos 1 2018浙江绍兴高三3月适应性模拟 10 已知x y 且xtany 2 1 cosx 则 A yx B组2016 2018年高考模拟 综合题组 时间 45分钟分值 80分 一 选择题 答案C由题意知tany 由sinx 2tancosx 因为x 所以2cosx 2 1 从而tany tan 由正切函数的单调性知y 综上 y x 故选C 2 2017浙江杭州质检 9 在 ABC中 角A B C所对的边分别为a b c 且b 5 0 则a c A 6B 7C 8D 9 答案B由
16、 得 即5sinsin sin 又5sinsin sin cos coscos sin sin 即coscos 6sinsin 由b 5及正弦定理得a c sinA sinC 2sincos coscos 将 代入上式得a c 7sinsin 7 故选B 3 2018浙江 七彩阳光 联盟期初联考 15 已知函数f x sin x 的图象过点 若f x f对x R恒成立 则 的值为 当 最小时 函数g x f 在区间 0 22 上的零点个数为 二 填空题 答案 1 12k k Z 8 解析由题意得 且当x 时 函数f x 取到最大值 故 2k k Z 解得 1 12k k Z 又 0 所以 的最小值为1 因此 g x f sinx 又7 22 8 故g x 在区间 0 22 上的零点个数是8 4 2017浙江金华十校调研 17 若函数f x asinx bcosx 1 bsinx acosx a b R 的最大值为11 则a2 b2 答案50 解析f x asinx bcosx 1 bsinx acosx asinx bcosx bsinx acosx 1 2 1 1 令 1 11 所以
