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1、2 2直线的方程 2 2 1直线方程的概念与直线的斜率 1 理解直线的斜率和倾斜角的概念 了解斜率与倾斜角的关系 2 掌握过两点的直线斜率的计算公式 并能在实际问题中应用 3 能利用数形结合与分类讨论思想求直线的斜率和倾斜角 1 2 1 直线方程的概念由于函数y kx b k 0 或y b都是二元一次方程 因此 我们也可以说 方程y kx b的解与其图象上的点存在一一对应关系 如果以一个方程的解为坐标的点都在某条直线上 且这条直线上点的坐标都是这个方程的解 那么这个方程叫做这条直线的方程 这条直线叫做这个方程的直线 知识拓展直线的方程和方程的直线要同时满足两个条件 以一个方程的解为坐标的点都是
2、某条直线上的点 这条直线上点的坐标都是这个方程的解 两个条件只要缺少一个 命题就是错误的 1 2 做一做1 给出下列四个命题 一条直线必是某个一次函数的图象 一次函数y kx b k 0 的图象必是一条不过原点的直线 若一条直线上所有点的坐标都是某个方程的解 则此方程叫做这条直线的方程 以一个二元方程的解为坐标的点都在某条直线上 则这条直线叫做此方程的直线 其中正确命题的个数是 A 0B 1C 2D 3 1 2 解析 由直线方程的定义可知 均不正确 又因为y 5表示一条直线 但它却不是一次函数 原因是一次函数y kx b中的k 0 故 也不正确 当一次函数y kx b k 0 中的b 0时 其
3、图象经过原点 可知 也不正确 答案 A 1 2 2 直线的倾斜角和斜率 1 我们把直线y kx b中的系数k叫做这条直线的斜率 2 两点斜率公式 已知直线上两点P1 x1 y1 P2 x2 y2 则直线的斜 3 倾斜角 x轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角 记为 与x轴平行或重合的直线的倾斜角为零度角 故 的取值范围是0 180 1 2 4 斜率k与倾斜角 的关系如图 1 2 知识拓展当倾斜角为锐角时 倾斜角越大 斜率越大 且均为正 当倾斜角为钝角时 倾斜角越大 斜率越大 且均为负 但我们不能错误地认为倾斜角越大 斜率越大 1 2 做一做2 过点P 1 3 和Q 0 5 的直线
4、的斜率为 答案 B 对直线斜率的全方位剖析剖析 1 斜率公式的适用范围 经过两点P x1 y1 Q x2 y2 的直线的斜率公式 其适用范围是x1 x2 说明如下 斜率公式可通过直线上任意两点的坐标表示 斜率公式与两点的顺序无关 也就是说两点的纵坐标 横坐标在公式中的次序可以同时调换 要一致 如果y2 y1 x2 x1 则直线与x轴平行或重合 k 0 如果x1 x2 y1 y2 则直线与x轴垂直 倾斜角 90 斜率k不存在 又由图易知 y y 故kPM kPQ 显然直线PM相对于x轴正方向比直线PQ相对于x轴正方向倾斜程度要大 比如某人从点P沿直线PQ到达点Q 相对于从点P沿直线PM到达点M来
5、说 此人会感到沿直线PM走比沿直线PQ走更费劲 一般地 直线斜率为k k 越大 直线相对于x轴倾斜程度越大 反之 k 越小 直线相对于x轴倾斜程度越小 名师点拨若kAB kAC 此时直线AB与直线AC的倾斜角相同 即三点A B C共线 因此可以利用斜率解决三点共线问题 但kAB kCD只能说明直线AB与直线CD倾斜角相同 不能说明A B C D四点共线 因此要用斜率证明点共线问题 线段 或两条直线 必须有公共点才行 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 概念辨析题 例1 下列四个命题 一条直线向上的方向与x轴正向所成的角 是这条直线的倾斜角 直线l的倾斜角要么是锐角 要么是钝角 已知直线l经
6、过P1 x1 y1 P2 x2 y2 两点 则直线l的斜率其中正确命题的个数是 A 3B 2C 1D 0 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 解析 根据倾斜角定义知 正确 倾斜角 的范围为0 180 故 不正确 当x1 x2时 直线P1P2的斜率k不存在 不能用公式求解 故 不正确 当b 0时 直线斜率不存在 故 不正确 故选C 答案 C反思斜率与倾斜角是直线中最基本的概念 正确理解斜率与倾斜角的概念是解答本题的基础 要注意直线的斜率与倾斜角的对应关系 还有斜率公式是有使用范围的 直线与x轴垂直时斜率不存在 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 变式训练1 对于下列命题 若 是直线l的倾
7、斜角 则0 180 若k是直线l的斜率 则k R 任一条直线都有倾斜角 但不一定都有斜率 任一条直线都有斜率 但不一定有倾斜角 其中正确命题的个数是 A 1B 2C 3D 4解析 命题 正确 错误 答案 C 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 求直线的斜率 例2 1 已知A 3 2 B 4 1 C 0 1 求直线AB BC CA的斜率 2 求经过两点A 2 3 B m 4 的直线的斜率 分析 1 利用过两点的直线的斜率公式计算 2 对参数m进行分类讨论 分情况求解 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 反思运用斜率公式求两点连线的斜率时 要注意其前提条件是x1 x2 若x1 x2 则直线
8、斜率不存在 当所给两点的横坐标中含有字母参数时 先要讨论两点的横坐标是否相等 再确定直线的斜率 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 变式训练2 已知直线l经过两点A 2 1 B t 4 求直线l的斜率 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 直线的倾斜角与斜率之间的关系 例3 当a为何值时 过点A 2a 3 B 2 1 的直线的倾斜角是锐角 钝角 直角 分析 根据倾斜角与斜率的关系解决本题 若直线的倾斜角是锐角 则k 0 若为钝角 则k 0 若为直角 则斜率不存在 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 反思已知直线倾斜角范围求参数取值范围时 主要依据斜率与倾斜角的关系 通过倾斜角范围 确
9、定斜率的正 负 再求出参数的取值范围 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 变式训练3 已知直线l经过点P 5 10 Q m 12 若l的倾斜角 90 则实数m的取值范围是 解析 当 90 时 直线l的斜率不存在 故m 5 当 90 时 倾斜角为钝角 l的斜率k 0 即 0 解得m 5 综上 m的取值范围是m 5 答案 m 5 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 斜率公式的综合应用 例4 求证 A 1 5 B 0 2 C 1 1 三点共线 分析 根据过同一点的两条直线 若它们的斜率相等 则两直线必重合 从而证明三点共线 证明利用斜率公式计算出AB和AC两条直线的斜率 因为kAB kAC
10、且直线AB和AC过同一点A 所以A B C三点共线 反思通过本题可归纳出 若斜率kAB kAC存在 则kAB kAC A B C三点共线 当然也可以用 AB BC AC 来证 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 变式训练4 若三点A a 2 B 3 7 C 2 9a 在同一条直线上 求实数a的值 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 易错辨析 易错点 对直线倾斜角的范围理解不清致错 例5 设直线l过原点 其倾斜角为 将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转30 得到直线l1 则直线l1的倾斜角为 A 30 B 150 C 150 D 当0 150 时为 30 当150 180 时为 150 错
11、解 因为直线l按逆时针旋转 结合倾斜角的定义及旋转角的概念可知l1的倾斜角为 30 答案 A 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 错因分析 没有考虑到 30 会超过180 这样就不满足倾斜角的范围了 正解 要分类讨论 旋转30 后 看 30 是否满足0 30 180 若满足 则l1的倾斜角为 30 若不满足 则l1的倾斜角为 30 180 150 答案 D 1 2 3 4 5 6 1若直线l1的斜率大于0 直线l2的斜率小于0 直线l3的斜率不存在 并且l1 l2 l3的倾斜角分别为 1 2 3 则 1 2 3的大小关系是 A 1 2 3B 3 2 1C 1 3 2D 2 3 1解析 因为
12、直线l1的斜率大于0 直线l2的斜率小于0 所以0 1 90 90 2 180 又因为直线l3的斜率不存在 所以 3 90 所以 1 3 2 故选C 答案 C 1 2 3 4 5 6 2过点P 2 m 和点Q m 4 的直线的斜率为1 则m的值为 A 1B 4C 1或3D 1或4 解析 由斜率公式 有 得m 2 4 m 解得m 1 答案 A 1 2 3 4 5 6 3若两直线l1 l2的倾斜角分别为 1 2 则下列四个命题中正确的是 A 若 10 k20 则 1为钝角 2为锐角 必有 1 2 故C错 答案 D 1 2 3 4 5 6 4若直线l经过第二 四象限 则直线l倾斜角 的范围是 解析 如图 直线经过第二 四象限 可知直线l的倾斜角为钝角 其范围是90 180 答案 90 180 1 2 3 4 5 6 5若三点A 2 2 B a 0 C 0 4 共线 则a的值等于 1 2 3 4 5 6 6已知点A 3 4 在坐标轴上有一点B 使直线AB的斜率等于2 把直线方程写成一次函数形式 并求出点B的坐标 解设所求直线方程为y kx b 因为k 2 A 3 4 在直线上 所以4 2 3 b 解得b 2 所以直线方程为y 2x 2 若B在x轴上 则可设B x0 0 代入直线方程解得x0 1 即B 1 0 若B在y轴上 则可设B 0 y0 代入直线方程解得y0 2 即B 0 2
