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1、 3 7 函数的图象 第三章 函数概念与基本初等函数 NEIRONGSUOYIN 内容索引 基础知识 自主学习 题型分类 深度剖析 课时作业 1基础知识 自主学习 PART ONE 1 描点法作图 方法步骤 1 确定函数的定义域 2 化简函数的解析式 3 讨论函数的性质 即奇偶性 周期性 单调性 最值 甚至变化趋势 4 描点连线 画出函数 的图象 知识梳理 ZHISHISHULI 2 图象变换 1 平移变换 f x k f x h f x h f x k 2 对称变换 f x f x f x logax a 0且a 1 3 伸缩变换 f ax af x f x f x 4 翻折变换 1 函数f
2、 x 的图象关于直线x a对称 你能得到f x 解析式满足什么条件 提示 f a x f a x 或f x f 2a x 2 若函数y f x 和y g x 的图象关于点 a b 对称 则f x g x 的关系是 提示 g x 2b f 2a x 概念方法微思考 题组一 思考辨析 1 判断下列结论是否正确 请在括号中打 或 1 函数y f 1 x 的图象 可由y f x 的图象向左平移1个单位长度得到 2 函数y f x 的图象关于y轴对称 即函数y f x 与y f x 的图象关于y轴 对称 3 当x 0 时 函数y f x 与y f x 的图象相同 4 函数y af x 与y f ax a
3、 0且a 1 的图象相同 基础自测 JICHUZICE 1234567 5 函数y f x 与y f x 的图象关于原点对称 6 若函数y f x 满足f 1 x f 1 x 则函数f x 的图象关于直线x 1对称 1234567 题组二 教材改编 2 P35例5 3 函数f x x 的图象关于 A y轴对称 B x轴对称 C 原点对称 D 直线y x对称 123456 解析 函数f x 的定义域为 0 0 且f x f x 即函数f x 为奇函数 故选C 7 3 P23T2 小明骑车上学 开始时匀速行驶 途中因交通堵塞停留了一段时间 后 为了赶时间加快速度行驶 与以上事件吻合得最好的图象是
4、1234567 解析 小明匀速运动时 所得图象为一条直线 且距离学校越来越近 故排 除A 因交通堵塞停留了一段时间 与学校的距离不变 故排除D 后来为了赶时间加快速度行驶 故排除B 故选C 4 P75A组T10 如图 函数f x 的图象为折线ACB 则不 等式f x log2 x 1 的解集是 解析 在同一坐标系内作出y f x 和y log2 x 1 的图象 如图 123456 1 1 7 由图象知不等式的解集是 1 1 5 下列图象是函数y 的图象的是 123456 题组三 易错自纠 7 6 将函数y f x 的图象向右平移1个单位长度得到函数 的 图象 y f x 1 解析 图象向右平移
5、1个单位长度 是将f x 中的x变成x 1 1234567 7 设f x lg x 1 若0 a b且f a f b 则ab的取值范围是 4 解析 画出函数f x lg x 1 的图象如图所示 1234567 2题型分类 深度剖析 PART TWO 题型一 作函数的图象 作出下列函数的图象 自主演练 2 y log2 x 1 解 将函数y log2x的图象向左平移1个单位 再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去 即可得到函数y log2 x 1 的图象 如图 实线部分 先用描点法作出 0 上的图象 再根据对称性作出 0 上的图象 如图 实线部分 4 y x2 2 x 1 图象变换法作函数的图象 1
6、熟练掌握几种基本函数的图象 如二次函数 反比例函数 指数函数 对数函数 幂函数 形如y x 的函数 2 若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移 翻折 对称和伸缩得到 可利用图象变换作出 但要注意变换顺序 思维升华 题型二 函数图象的辨识 师生共研 易得两函数图象有3个不同的交点 在y轴左侧有2个交点 分别为 4 16 2 4 2 已知定义在区间 0 2 上的函数y f x 的图象如图所示 则y f 2 x 的图 象为 当x 0 2 时 2 x 0 2 方法二 当x 0时 f 2 x f 2 1 当x 1时 f 2 x f 1 1 观察各选项 可知应选B 函数图象的辨识可从以下方面入手 1 从
7、函数的定义域 判断图象的左右位置 从函数的值域 判断图象的上 下位置 2 从函数的单调性 判断图象的变化趋势 3 从函数的奇偶性 判断图象的对称性 4 从函数的周期性 判断图象的循环往复 5 从函数的特征点 排除不合要求的图象 思维升华 跟踪训练1 1 2018 浙江嘉兴一中测试 已知函数f x ln x g x x2 3 则 f x g x 的图象为 解析 由f x g x 为偶函数 排除A D 当x e时 f x g x e2 3 0 排除B 2 已知函数f x ln exn 其中e为自然对数的底数 n Z 则下列图象中不可 能为函数f x 图象的是 解析 当n 0时 f x 1 x 0
8、故A正确 当n 1时 f x 1 ln x 故B正确 当n 2时 f x 1 2ln x f x 为偶函数 且f 1 1 故D正确 易知y f x 不可能为奇函数 所以不可能为C选项的图象 故选C 题型三 函数图象的应用 命题点1 研究函数的性质 例2 1 设函数f x x a x a b a b R 则下列叙述中 正确的序 号是 对任意实数a b 函数y f x 在R上是单调函数 对任意实数a b 函数y f x 在R上都不是单调函数 对任意实数a b 函数y f x 的图象都是中心对称图象 存在实数a b 使得函数y f x 的图象不是中心对称图象 A B C D 多维探究 解析 函数y
9、x x 为R上的奇函数且为增函数 函数f x x a x a b的图象是由函数y x x 的图象平移得到的 因此 其单调性和对称性不变 故 正确 故选A 2 已知函数f x log3x 实数m n满足0 m n 且f m f n 若f x 在 m2 n 上 的最大值为2 则 9 解析 作出函数f x log3x 的图象 观察可知0 m 1 n 且mn 1 若f x 在 m2 n 上的最大值为2 命题点2 解不等式 例3 函数f x 是定义在 4 4 上的偶函数 其在 0 4 上的图象如图所示 那么 不等式 f x 2x的解集是 解析 由图象可知 函数f x 为奇函数 故原不等式可等价转化为f
10、x x 2 已知函数f x x 2 1 g x kx 若方程f x g x 有两个不相等的实根 则实数k的取值范围是 解析 先作出函数f x x 2 1的图象 如图所示 当直线g x kx与直线 AB平行时斜率为1 高考中考查函数图象问题主要有函数图象的识别 函数图象的变换及函 数图象的应用等 多以小题形式考查 难度不大 常利用特殊点法 排除 法 数形结合法等解决 熟练掌握高中涉及的几种基本初等函数是解决前提 高频小考点 GAOPINXIAOKAODIAN 高考中的函数图象及应用问题 一 函数的图象和解析式问题 例1 1 如图 长方形ABCD的边AB 2 BC 1 O是AB 的中点 点P沿着边
11、BC CD与DA运动 记 BOP x 将动 点P到A B两点距离之和表示为x的函数f x 则y f x 的图 象大致为 2 已知函数f x 的图象如图所示 则f x 的解析式可以是 解析 由函数图象可知 函数f x 为奇函数 应排除B C 解析 y ex e x是奇函数 y x2是偶函数 故选B 二 函数图象的变换问题 例2 已知定义在区间 0 4 上的函数y f x 的图象如图所 示 则y f 2 x 的图象为 解析 方法一 先作出函数y f x 的图象关于y轴的对称图象 得到y f x 的图象 然后将y f x 的图象向右平移2个单位 得到y f 2 x 的图象 再作y f 2 x 的图象
12、关于x轴的对称图象 得到y f 2 x 的图象 故选D 方法二 先作出函数y f x 的图象关于原点的对称图象 得到y f x 的 图象 然后将y f x 的图象向右平移2个单位 得到y f 2 x 的图象 故选D 方法三 当x 0时 y f 2 0 f 2 4 故选D 三 函数图象的应用 例3 1 已知函数f x 其中m 0 若存在实数b 使得 关于x的方程f x b有三个不同的根 则m的取值范围是 3 解析 在同一坐标系中 作y f x 与y b的图象 当x m时 x2 2mx 4m x m 2 4m m2 所以要使方程f x b有三个不同的根 则有4m m20 又m 0 解得m 3 2
13、不等式3sin x 0的整数解的个数为 2 在同一坐标系中分别作出函数f x 与g x 的图象 由图象可知 当x为整数3或7时 有f x g x 由正弦曲线的对称性可知a b 1 而1 c 2 020 所以2 a b c 2 021 2 2 021 3课时作业 PART THREE 1 2018 浙江 函数y 2 x sin 2x的图象可能是 基础保分练 12345678910111213141516 解析 由y 2 x sin 2x知函数的定义域为R 令f x 2 x sin 2x 则f x 2 x sin 2x 2 x sin 2x f x f x f x 为奇函数 f x 的图象关于原点
14、对称 故排除A B 令f x 2 x sin 2x 0 12345678910111213141516 故选D 2 如图 不规则四边形ABCD中 AB和CD是线段 AD和 BC是圆弧 直线l AB交AB于E 当l从左至右移动 与线段 AB有公共点 时 把四边形ABCD分成两部分 设AE x 左侧部分的面积为y 则y关于x的图象大致是 12345678910111213141516 解析 当l从左至右移动时 一开始面积的增加速度越来越快 过了D点后面积保持匀速增加 图象呈直线变化 过了C点后面积的增加速度又逐渐减慢 故选C 3 已知函数f x logax 0 a 1 则函数y f x 1 的图象
15、大致为 12345678910111213141516 12345678910111213141516 解析 方法一 先作出函数f x logax 0 a0时 y f x 1 f x 1 其图象由函数f x 的图象向左平移1个单位 得到 又函数y f x 1 为偶函数 所以再将函数y f x 1 x 0 的图象关于y轴对称翻折到y轴左边 得到x 0时的图象 故选A 方法二 x 1 1 0 a 1 f x 1 loga x 1 0 故选A 4 若函数f x 的图象如图所示 则f 3 等于 解析 由图象可得 a b 3 ln 1 a 0 得a 2 b 5 123456789101112131415
16、16 5 2018 宁波模拟 已知函数f x 的定义域为R 且f x 若方程f x x a有两个不同实根 则a的取值范围为 A 1 B 1 C 0 1 D 12345678910111213141516 12345678910111213141516 解析 当x 0时 f x 2 x 1 当0 x 1时 10的部分是将 x 1 0 的部分周期性向右平移1个单位得到的 其部分图象如图所示 若方程f x x a有两个不同的实数根 则函数f x 的图象与直线y x a有 两个不同交点 故a0时的图象即可 12345678910111213141516 12345678910111213141516 7 函数f x 则f 1 若方程f x m有两个不同的实 数根 则m的取值范围为 12345678910111213141516 0 2 则0 m 2 即实数m的取值范围是 0 2 12345678910111213141516 当x 0时 f x 2 ex 1 2 当x 1时 f x 0 2 当x 1时 f x 0 若方程f x m有两个不同的实数根 8 设函数y f x 1 是定义在 0 0
