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1、全国各地数学模拟试卷（新课标）分章精编导数及其应用（二）55.已知函数在处取得极值2.（1）求函数的表达式；（2）当满足什么条件时，函数在区间上单调递增？（3）若为图象上任意一点，直线与的图象切于点，求直线的斜率的取值范围。解：（1）因 而函数在处取得极值2 所以 所以 为所求 负正负（2）由（1）知可知，的单调增区间是所以， 所以当时，函数在区间上单调递增 （3）由条件知，过的图形上一点的切线的斜率为： 令，则, 此时 ，根据二次函数的图象性质知：当时， 当时，所以，直线的斜率的取值范围是56.已知定义在正实数集上的函数，其中设两曲线，有公共点，且在该点处的切线相同（1）用表示，并求的最大值
2、；（2）求证：（）解：（）设与在公共点处的切线相同，由题意，即由得：，或（舍去）即有令，则于是当，即时，；当，即时，故在为增函数，在为减函数，于是在的最大值为 （）设则故在为减函数，在为增函数，于是函数在上的最小值是故当时，有，即当时，57.已知函数（且，）恰有一个极大值点和一个极小值点，其中一个是（1）求函数的另一个极值点；（2）求函数的极大值和极小值，并求时的取值范围解：（），由题意知，即得，（*），由得，由韦达定理知另一个极值点为（或）（）由（*）式得，即当时，；当时，（i）当时，在和内是减函数，在内是增函数，由及，解得（ii）当时，在和内是增函数，在内是减函数，恒成立综上可知，所求的取
3、值范围为58.设函数 （1）令，判断并证明在（-1，+）上的单调性，求；（2）求在定义域上的最小值；（3）是否存在实数、满足，使得在区间上的值域也为？解：（1）当时，所以在（-1，+）上是单调递增，。（2）的定义域是（-1，+），当时，0, ，在（-1，0）上单调递减，在（0,+）上，单调递增。 （3）由（2）知在上是单调增函数。若存在满足条件的实数、，则必有，。也即方程在上有两个不等的实数根、，但方程即为只有一个实数根，不存在满足条件的实数、。59.设函数,(是实数, 为自然对数的底数)（）若在其定义域内为单调函数，求的取值范围；（）若直线与函数,的图象都相切,且与函数的图象相切于点,求的值
4、；（）若在上至少存在一点，使得成立，求的取值范围解：（）， 要使为单调增函数，须恒成立，即恒成立，即恒成立，又，所以当时，在为单调增函数要使为单调减函数，须恒成立，即恒成立，即恒成立，又，所以当时，在为单调减函数 综上所述，在为单调函数，的取值范围为或（），设直线,与图象相切, 得,即， 当时，方程无解；当时由 ， 得综上，（）因在上为减函数 ，所以 当时，由（）知在上递减，不合题意当时，由（）知在上递增，又在上为减函数，故只需，即：当时，因，1，所以不合题意综上，的取值范围为 60.已知函数 （I）若当的表达式； （II）求上是单调函数。解：（I） 单调递减，所以取最大值 （1） 解得符合题
5、意 （2） 解得舍去 （3） 解得舍去综上 （II） （1） 所以上单调递减 （2） 上不单调， 综上61.已知函数，点.（）若，函数在上既能取到极大值，又能取到极小值，求的取值范围；（）当时，对任意的恒成立，求的取值范围；（）若，函数在和处取得极值，且，是坐标原点，证明：直线与直线不可能垂直.解：（）当时，在上递增，在上递减，所以在0和2处分别达到极大和极小，由已知有且，因而的取值范围是.（）当时，即可化为，记则记则，在上递减，在上递增.从而上递增，因此故 （）假设，即=故，由，为(x)=0的两根可得，从而有即 2，这与2矛盾. 故直线与直线不可能垂直.62.已知定义在R上的函数，当时，取得
6、极大值3，. （）求的解析式； （）已知实数能使函数上既能取到极大值，又能取到极小值，记所有的实数组成的集合为M.请判断函数的零点个数.解：（1）由得c=1， ，得（2）得，时取得极值.由， 得，当时， 在上递减. 又函数的零点有且仅有1个63.已知函数的图象过点，且在点处的切线与直线垂直.（）若，试求函数的单调区间；（）若，且函数在上单调递增，试求的范围.解：（）因为的图象过点，所以 又，且在点处的切线与直线垂直. 所以，且，所以所以 令显然当或时，；当时，.则函数的单调增区间是，函数的单调减区间是. （）令，得. 因为，所以当或时， 即函数的单调增区间是.所以 又由（）知： ，所以 所以6
7、4.已知函数(1)若在处取得极值，求的值；(2)讨论的单调性；(3)证明：为自然对数的底数）解：（1）一个极值点，则 ，验证知a=0符合条件.3分 （2） 1）若a=0时， 单调递增，在单调递减； 2）若 上单调递减6分 3）若 再令 在 综上所述，若上单调递减，若 。若(3)由（2）知，当当65.已知函数。（I）求的值域；（II）设，函数。若对任意，总存在，使，求实数a的取值范围。解：（I），令而 当（II）设函数g(x)在0，2上的值域是A，若对任意 当，函数上单调递减。 ；当令（舍去）（i）当时，的变化如下表：（ii）当函数g(x)在（0，2）上单调递减。综上可知，实数a的取值范围是66
8、.已知函数，其中为实数 (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)是否存在实数，使得对任意，恒成立?若不存在，请说明理由，若存在，求出的值并加以证明（1）时，又 所以切线方程为（2）1当时，则令，再令，当时，在上递减，当时，所以在上递增， 所以2时，则由1知当时，在上递增当时，所以在上递增， ；由1及2得：67.已知函数 （1）求曲线处的切线方程； （2）当a0时，若不等式恒成立，求a的取值范围。解：（1） 曲线处的切线方程为即（2）令当 令上为减函数，在上增函数。当在R上恒成立。上为减函数。当 令 在上为增函数。综上，当时，单调递减区间为。当当 单调递减区间为（），（）（3）a0时，列表得
9、：1（1，+）+00+极大值极小值又从而，当由题意，不等式恒成立，所以得 从而a的取值范围为68.已知函数 （I）求曲线处的切线方程； （）求证函数在区间0，1上存在唯一的极值点，并用二分法求函数取得极值时相应x的近似值（误差不超过0.2）；（参考数据e2.7，1.6，e0.31.3） （III）当试求实数的取值范围。解：（），又， 处的切线方程为（），令，则上单调递增，上存在唯一零点，上存在唯一的极值点取区间作为起始区间，用二分法逐次计算如下区间中点坐标中点对应导数值取区间10.60.3由上表可知区间的长度为0.3，所以该区间的中点，到区间端点距离小于0.2，因此可作为误差不超过0.2的一个
10、极值点的相应x的值。取得极值时，相应（）由，即， ，令令上单调递增，因此上单调递增，则，的取值范围是 69.某汽车厂有一条价值为a万元的汽车生产线，现要通过技术改造来提高该生产线的生产能力，提高产品的增加值，经过市场调查，产品的增加值y万元与技术改造投入x万元之间满足：y与(ax)和x2的乘积成正比；当时，y=a3；，其中t是常数，且t（1）设y=f(x)，求f(x)的表达式及定义域，其中定义域用a和t表示；（2）求出产品增加值y的最大值及相应的x的值。解：（1）设y=f(x)=k(ax)x2 当时，y=a3，即 k=8f(x)=8(ax)x2 函数的定义域是（】（2）f(x)=24x2+16
11、ax，令f(x)=0，则x=0（舍），x=当0x0，f(x)在上是增函数当x时，f(x)0，f(x)在上是减函数所以x=为极大值点当时，即1t2，当时，即0t1，综上：当1t2时，投入万元，最大增加值 当0t1时，投入万元，最大增加值70.已知函数且对于任意实数，恒有求函数的解析式；已知函数在区间上单调，求的取值范围；函数有几个零点。（1）由题设得， ，则， 所以 所以对于任意实数恒成立 .故（2）由，求导数得，在上恒单调，只需或在上恒成立，即或恒成立，所以或在上恒成立 记，可知：，或（3）令，则. 令，则，列表如下.01+00+0递增极大值递减极小值1递增极大值递减时，无零点；或时，有两个零
12、点；时有三个零点；时，有四个零点71.设函数（1）判断并证明函数的奇偶性。（2）若，求函数的单调区间。（3）求函数在区间上的最小值与最大值。解：（1）当时，对定义域内任一都有，是偶函数。当时，由知。此时为非奇非偶函数。.（2）当时 ，是单调递增。当或时，是单调递减的单调递增区间为， 单调递减区间为,。（3）（1）若时，对有恒成立，单调递增。此时，。（2）若时，对有恒成立，单调递减。此时，。（3）若时，即，且当时，当时，当时，当时，。（4）若时，即，且当时，当时，当时，当时，。函数的最大值是，函数的最小值是.72.已知函数，（1）当时，判断在定义域上的单调性；（2）若在上的最小值为，求的值； （3）若在上恒成立，求的取值范围解：（1）由题意：的定义域为，且，故在上是单调递增函数 （2）由（1）可知： 若，则，即在上恒成立，此时在上为增函数，（舍去） 若，则，即在上恒成立，此时在上为减函数，（舍去） 若，令得， 当时，在上为减函数， 当时，在上为增函数，综上可知：（3）又 令，
