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1、第十六章二 次 根 式 1.二次根式的相关概念 (1)正确理解二次根式的概念要把握以下几点: 二次根式是从形式上定义的,必须含有二次根号; 在二次根式中,被开方数可以是数,也可以是单项式、多项式、分式等代数式,但必须注意:因为负数没有平方根,都必须满足被开方数(式)是非负数; 根指数是2; 形如ba(a0)的式子也是二次根式.【例1】要使二次根式x-2有意义,x必须满足()A.x2B.x2C.x2【标准解答】选B.根据题意,得x-20,解得x2.(2)正确理解最简二次根式:被开方数中不含分母,也就是被开方数必须是整数或整式;被开方数中每个因数或因式的指数都是1.【例2】下列二次根式中的最简二次
2、根式是()A.30B.12C.8D.12【标准解答】选A.12=23,8=22,12=22,而30是最简二次根式.1.要使代数式2-3x有意义,则x的()A.最大值是23B.最小值是23C.最大值是32D.最小值是322.下列属于最简二次根式的是()A.a2+b2B.1bC.0.1D.18 2.非负数性质的应用 在实数范围内,正数和零统称非负数.我们已学过的非负数有如下形式: (1)任何一个数a的绝对值是非负数,即|a|0. (2)任何一个数a的平方是非负数,即a20. (3)任何非负数的算术平方根是非负数,即a0(a0). 即若a为实数,则a2,|a|,a(a0)均为非负数. 非负数具有以下
3、性质: (1)非负数的最小值为零. (2)有限个非负数的和仍是非负数. (3)若几个非负数的和等于零,则每个非负数都等于零.【例】若x,y为实数,且|x+2|+y-3=0,则(x+y)2 016的值为.【标准解答】根据绝对值和算术平方根的意义可知,|x+2|0,y-30,又因为|x+2|+y-3=0,因此|x+2|=0,y-3=0,x+2=0,y-3=0,x=-2,y=3,(x+y)2 016=1.答案:11.已知实数x,y满足x-1-1+|y+3|=0,则x+y的值为()A.-2B.2C.4D.-42.若x-1+(y+2)2=0,则(x+y)2 014等于()A.-1B.1C.32 014D
4、.-32 0143.化简二次根式的技巧 (1)被开方数是带分数 先把带分数化成假分数,再把分子、分母乘以适当的数,把分母变成平方数,应用商的算术平方根的性质把分母中的数开出来.【例1】化简:212.【标准解答】原式=52=5222=1022=102. (2)被开方数为单项式 先把单项式写成数或字母积的平方与另一因式积的形式,再把能开出来的数或字母开出来.【例2】化简:12a3b5.【标准解答】12a3b5=22a2(b2)23ab=2ab23ab. (3)被开方数为多项式 先把多项式分解因式成数或字母积的平方与另一因式积的形式,再把能开出来的数或字母开出来.【例3】化简:4x5y2+12x4y
5、3.【标准解答】原式=4x4y2(x+3y)=2x2yx+3y.(4)被开方数是分式 把分式的分母和分子乘以适当的数或字母,把分母变成平方数(式),应用商的算术平方根的性质把分母中的数或字母开出来.【例4】化简:5z12x2y.【标准解答】原式=5z3y12x2y3y=15yz(6xy)2=16xy15yz.1.化简12的结果是()A.43 B.23 C.32 D.262.化简:82=.3.若(x-3)2=3-x,则x的取值范围是. 4.二次根式的有关运算 (1)二次根式的乘除运算有两种策略:一是先把它们都化成最简二次根式,再乘除;二是先乘除,再逆用法则化简.要根据题目的特点灵活选择,单纯的乘
6、除混合运算,一般采用第二种方法.【例1】计算82的结果是()A.10 B.4 C.6 D.2【标准解答】选B.82=16=4. (2)二次根式的加减运算,可以简记为“一化,二找,三合并”,即把二次根式化成最简二次根式;找出被开方数相同的根式;合并被开方数相同的二次根式.(被开方数不同的不能合并)【例2】计算24-323= .【标准解答】原式=26-363=26-6=6.答案:6 (3)二次根式的混合运算,首先要搞清楚运算的顺序,其次是认真观察式子的结构特点,能利用运算律或公式的,要优先考虑使用运算律或公式(或公式的逆用),简化运算.在有理数范围内成立的运算律、运算法则、公式及因式分解、约分、通
7、分等方法对二次根式同样适用.【例3】计算:27-133=.【标准解答】原式=273-133=9-1=8.答案:81.计算:18-212等于.2.计算5153的结果是.3.计算:(2+3)2-24=.5.数学思想在解答二次根式题目中的应用 (1)转化思想 转化思想是将不易解决的问题变成我们容易解决的问题,从而达到将抽象转化为具体,复杂转化为简单的一种数学思想.如例1中,将复杂的形式转化成积的乘方的形式,再利用平方差公式知识求解.【例1】计算(1+2)2 012(1-2)2 013.【标准解答】原式=(1+2)2 012(1-2)2 012(1-2)=(1+2)(1-2)2 012(1-2)=(-
8、1)2 012(1-2)=1-2. (2)分类讨论思想 有的数学问题可能有几种情况,在未具体指明哪种情况时,需要对各种情况进行讨论,确保“不重不漏”.【例2】已知|a|=2,b2=4,且ab0,则a+b的值为.【标准解答】|a|=2,则a=2, b2=4,则|b|=4,b=4.又ab0,则当a=2时,b=-4.当a=-2时,b=4.于是a+b=-2或2. (3)整体思想 整体思想就是化零为整,化分散为集中的一种思想方法.有的题目直接代入计算比较繁琐,且比较容易出错.仔细观察所求的代数式发现可以变形,整体代入计算可起到化繁为简的目的.【例3】当x=2-3,y=2+3时,求x2+xy+y2的值.【
9、标准解答】x2+xy+y2=(x+y)2-xy,又x+y=22,xy=-1.于是x2+xy+y2=(22)2-(-1)=9. (4)数形结合思想 我国著名数学家华罗庚说过:“数缺形时少直观,形少数时难入微;数形结合百般好,隔离分家万事休.” 本例利用数形结合思想,通过观察和分析可从数轴上获取一些信息,然后结合二次根式的性质解决问题.【例4】实数a,b在数轴上的位置如图所示,化简 a2-b2-(a-b)2.【标准解答】通过观察数轴可以看到a0.于是a-b0,所以原式=|a|-|b|-|a-b|=-a-b+(a-b)=-2b.1.实数a在数轴上的位置如图所示,则(a-4)2+(a-11)2 化简后
10、为()A.7B.-7C.2a-15D.无法确定2.已知x=1-2,y=1+2,求x2+y2-xy-2x+2y的值.答案解析：1.二次根式的相关概念【跟踪训练】1.【解析】选A.由二次根式有意义的条件得2-3x0,x23,故选A.2.【解析】选A.因为B.1b,被开方数中含有分母,C.0.1=110=1010,D.18=32.2.非负数性质的应用【跟踪训练】1.【解析】选A.x-1+|y+3|=0,x-1=0,y+3=0;x=1,y=-3,原式=1+(-3)=-2.2.【解析】选B.x-1+(y+2)2=0,x-1=0,y+2=0.解得x=1,y=-2.(x+y)2 014=(1-2)2 014
11、=1.3.化简二次根式的技巧【跟踪训练】1.【解析】选B.12=23.2.【解析】82=4=2.答案:2 3.【解析】(x-3)20,3-x0,即x3.答案:x34.二次根式的有关运算【跟踪训练】1.【解析】原式=32-222=32-2=22.答案:222.【解析】原式=55=5.答案:53.【解析】(2+3)2-24=5+26-26=5.答案:55.数学思想在解答二次根式题目中的应用【跟踪训练】1.【解析】选A.由数轴可知5a10,(a-4)2+(a-11)2=a-4+11-a=7.2.【解析】x=1-2,y=1+2,x-y=(1-2)-(1+2)=-22,xy=(1-2)(1+2)=-1.x2+y2-xy-2x+2y=(x-y)2-2(x-y)+xy=(-22)2-2(-22)+(-1)=7+42.10
