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1、第8讲讲 与三角函数有关的应应用题题 考试要求 1 了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型 会用三角函 数解决一些简单实际问题 B级要求 2 掌握三角函数模型的应用 会运用三角 函数知识解决实际中的优化问题 知 识 梳 理 1 解三角函数模型应用问题的一般步骤是 1 分析 理解题意 分清已知与未知 画出示意图 2 建模 根据已知条件与求解目标 建立数学模型 3 求解 利用三角形 求得数学模型的解 4 检验 检验上述所求的解是否符合实际意义 从而得出实际问题 的解 2 在建立三角函数模型求解与实际生活有关的优化问题时 常以三角函数的定义 图象与性质 三角恒等变换以及正余弦定理等知识为载 体
2、 以不等式 导数为工 具进行求解 但结果要符合实际意义 1 某人的血压满足函数关系式f t 24sin 160 t 110 其中 f t 为血压 t为时间 则此人每分钟心跳的次数是 诊 断 自 测 答案 80 解 1 设 OPQ 在Rt OAQ中 OA 3 因为 为锐角 所以cos 0 所以当 0时 f 最大 即tan OPQ最大 当 0 0 时 f 0 f 单调递 增 考点一 三角函数在物理中的应用 1 作出函数的图象 2 当单摆开始摆动 t 0 时 离开平衡位置的距离是多少 3 当单摆摆动 到最右边时 离开平衡位置的距离是多少 4 单摆来回摆动一次需多长时间 解 1 利用 五点法 可作出其
3、图象 列表略 3 离开平衡位置6 cm 所以单摆来回摆动一次所需的时间为 1 s 规律方法 三角函数模型在物理中的应用主要体现在简谐运动中 其中对弹簧振 子和单摆的运动等有关问题考查最多 尤其要弄清振幅 频率 周期 平衡位置 等物理概念的意义和表示方法 1 开始时电压 2 电压值 重复出现一次的时间间 隔 3 电压的最大值和第一次获得最大值的时间 考点二 三角函数在实际生活中的应用 角度1 以三角函数定义为载 体的三角问题 例2 1 如图为一个缆车示意图 该缆车 半径为4 8 m 圆上最低点与地面距离 为0 8 m 且60 s转动一圈 图中OA与地面垂直 以OA为始边 逆时针转动 角 到OB
4、设B点与地面间的距离为h 1 求h与 间关系的函数解析式 2 设从OA开始转动 经过t s后到达OB 求h与t之间的函数关系式 并求缆车到达 最高点时用的最少时间是多少 解 1 以圆心O为原点 建立如图所示的平面直角坐标系 答 缆车到达最高点时 用的最少时间为 30 s 到达最高点时 h 10 4 m 角度2 以三角函数图象与性质为载 体的三角问题 例2 2 海水受日月的引力 在一定的时候发生涨落的现象叫潮 一般地 早潮 叫潮 晚潮叫汐 在通常情况下 船在涨潮时驶进 航道 靠近船坞 卸货后 在落 潮时返回海洋 下面是某港口在某季节每天的时间与水深的关系表 时刻水深 米 时刻水深 米 时刻水深
5、米 0 005 09 002 518 005 0 3 007 512 005 021 002 5 6 005 015 007 524 005 0 1 选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系 并给出整点时的 水深的近似数值 精确到0 001 2 一条货船的吃水深度 船底与水面的距离 为4米 安全条例规定至少要有1 5米的 安全间隙 船底与洋底的距离 该船何时能进入港口 在港口能呆多久 3 若某船的吃水深度为4米 安全间隙为1 5米 该船在2 00开始卸货 吃水深度 以每小时0 3米的速度减少 那么该船在什么时间必须停止卸货 将船驶向较深的 水域 解 1 以时间为 横坐标 水深为纵坐
6、标 在直角坐标系中画出散点图 根据图象 可以考虑用函数y Asin x h来刻画水深与时间之间的对应关系 从数据和图象 可以得出 由上述关系式易得港口在整点时水深的近似值 时刻0 001 002 003 004 005 006 007 008 009 00 10 00 11 00 水深5 0006 2507 1657 57 1656 2505 0003 7542 8352 5002 8353 754 时刻 12 00 13 00 14 00 15 00 16 00 17 00 18 00 19 00 20 00 21 00 22 00 23 00 水深5 0006 2507 1657 57 1
7、656 2505 0003 7542 8352 5002 8353 754 2 货船需要的安全水深为4 1 5 5 5 米 所以y 5 5时就可以进港 解得xA 0 384 8 xB 5 615 2 因为x 0 24 所以有函数周期性易得 xC 12 0 384 8 12 384 8 xD 12 5 615 2 17 615 2 因此 货船可以在凌晨零时30分左右进港 早晨5时30分左右出港 或在中午12时30 分左右进港 下午17时30分左右出港 每次可以在港口停留5小时左右 3 设在时刻x船舶的安全水深为y 那么y 5 5 0 3 x 2 x 2 在同一坐标系内作 出这两个函数的图象 可以
8、看到在6时到7时之间两个函数图象有一个交点 通过计算可得在6时的水深约为5米 此时船舶的安全水深约为4 3米 6 5时的 水深约为4 2米 此时船舶的安全水深约为4 1米 7时的水深约为3 8米 而船 舶的安全水深约为4米 因此为了安全 船舶最好在6时30分之前停止卸货 将 船舶驶向较深的水域 角度3 以三角恒等变换为载 体的三角问题 1 试用 表示BD的长 2 试确定点E的位置 使两条栈道长度之和最大 解 1 连接DC 且BF 4cos2 所以DE AF 4 4cos2 所以当E与C重合时 两条栈道长度之和最大 角度4 以解三角形为载体的三角问题 1 将三条船PO PA PB的长度之和表示为
9、 的函数f 并写出此函数的定义域 2 试确定 的值 使得f 最小 列表如下 规律方法 解三角函数应用问题的基本步骤 训练2 2018 江苏卷 某农场有一块农田 如图所示 它的边界由圆O的一段圆 弧MPN P为此圆弧的中点 和线段MN构成 已知圆O的半径为40米 点P到MN的距 离为50米 现规划在此农田上修建两个温室大棚 大棚 内的地块形状为矩形 ABCD 大棚 内的地块形状为 CDP 要求A B均在线段MN上 C D均在圆 弧上 设OC与MN所成的角为 1 用 分别表示矩形ABCD和 CDP的面积 并确定sin 的取值范围 2 若大棚 内种植甲种蔬菜 大棚 内种植乙种蔬菜 且甲 乙两种蔬菜的
10、单位面 积年产值之比为4 3 求当 为何值时 能使甲 乙两种蔬菜的年总产值 最大 解 1 设PO的延长线交MN于H 则PH MN 所以OH 10 过O作OE BC于E 则OE MN 所以 COE 故OE 40cos EC 40sin 则矩形ABCD的面积为2 40cos 40sin 10 800 4sin cos cos 过N作GN MN 分别交圆弧和OE的延长线于G和K 则GK KN 10 2 因为甲 乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4 3 故设甲的单位面积的年产值为 4k 乙的单位面积的年产值为 3k k 0 f cos2 sin2 sin 2sin2 sin 1 2sin 1 sin 1
