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1、1 曲线运动 考点梳理 一 曲线运动 1 运动性质 变速运动 具有加速度 2 速度方向 沿曲线一点的切线方向 3 质点做曲线运动的条件 1 从动力学看 物体所受合力方向跟物体的速度不再同一直线上 合力指向轨迹的凹侧 2 从运动学看 物体加速度方向跟物体的速度方向不共线 例题 如图 5 1 5 在恒力 F 作用下沿曲线从A 运动到 B 这时突然使它受的力反向 而大小不变 即由F 变为 F 在此力作用下 关于物体以后的运动情况的下列说法中 正确的是 A 物体不可能沿曲线Ba 运动 B 物体不可能沿直线Bb 运动 C 物体不可能沿曲线Bc 运动 D 物体不可能沿原曲线由B 返回 A 2 图 5 1
2、6 簇未标明方向的由点电荷产生的电场线 虚线是某一带电粒子通过该电场 区域时的运动轨迹 a b 是轨迹上的两点 若带电粒子在运动中只受 电场力作用 根据此图可作出正确判断的是 A 带电粒子所带电荷的符号 B 带电粒子在a b 两点的受力方向 C 带电粒子在a b 两点的速度何处较大 D 带电粒子在a b 两点的电势能何处较大 二 运动的合成与分解 1 合运动和分运动 当物体同时参与几个运动时 其实际运动就叫做这几个运动的合运 动 这几个运动叫做实际运动的分运动 2 运动的合成与分解 1 已知分运动 速度 v 加速度a 位移 s 求合运动 速度 v 加速度a 位移 s 叫做 运动的合成 2 已知
3、合运动 速度 v 加速度a 位移 s 求分运动 速度 v 加速度a 位移 s 叫做 运动的分解 3 运动的合成与分解遵循平行四边形定则 3 合运动与分运动的关系 1 等时性 合运动和分运动进行的时间相等 2 独立性 一个物体同时参与几个分运动 各分运动独立进行 各自产生效果 3 等效性 整体的合运动是各分运动决定的总效果 它替代所有的分运动 三 平抛运动 1 定义 水平抛出的物体只在重力作用下的运动 2 性质 是加速度为重力加速度g的匀变速曲线运动 轨迹是抛物线 3 平抛运动的研究方法 1 平抛运动的两个分运动 水平方向是匀速直线运动 竖直方 向是自由落体运动 2 平抛运动的速度 图 5 1
4、5 a b 图 5 1 6 0 sys y x v v0 vy sx 图 5 2 2 2 水平方向 0 vv x 竖直方向 gtv y 合速度 22 yx vvv 方向 x y v v tg 3 平抛运动的位移 水平方向水平位移 sx v0t 竖直位移 sy 2 1 gt 2 合位移 22 yx sss 方向 tg x y s s 4 平抛运动的轨迹 抛物线 轨迹方程 2 2 0 2 x v g y 5 几个有用的结论 1 运行时间和水平射程 水平方向和竖直方向的两个分运动既有独立性 又有等时性 所以运动时间为 g h t 2 即运行时间由高度h 决定 与初速度v0无关 水平射程 g h vx
5、 2 0 即由 v0和 h 共同决定 2 相同时间内速度改变量相等 即 v g t v 的方向竖直向下 例题 1 证明 一个有用的推论 平抛物体任意时刻瞬时速度方向的反向延长线与初速度 延长线的交点到抛出点的距离都等于水平位移的一半 2 一水平抛出的小球落到一倾角为的斜面上时 其速度方向与斜面垂直 运动轨迹 如右图中虚线所示 小球在竖直方向下落的距离与在水平方向通过的距离之比为 A 1 tan B 1 2tan C tanD 2tan 四 匀速圆周运动 1 匀速圆周运动 1 定义 做圆周运动的质点 若在相等的时间内通过的圆 弧长度相等 叫做匀速圆周运动 2 运动学特征 v 大小不变 T 不变
6、不变 a向大小不变 v和 a向的方向时刻在变 匀速 圆周运动是变加速运动 3 动力学特征 合外力大小恒定 方向始终指向圆心 v0 v1 v2 v1y v2y v 图 5 2 3 v0 vt vx vy h s s 图 5 2 4 3 2 描述圆周运动的物理量 1 线速度 物理意义 描述质点沿圆周运动的快慢 方向 质点在圆弧某点的线速度方向沿圆弧该点的切线方向 大小 t s v s 是 t 时间内通过的弧长 2 角速度 物理意义 描述质点绕圆心转动快慢 大小 t 单位 rad s 其中 是连结质点和圆心的半径在t 时间内转过的角度 3 周期T 频率f 做圆周运动的物体运动一周所用的时间叫做周期
7、单位 s 做圆周运动的物体在单位时间内沿圆周绕圆心转过的圈数 叫做频率 也叫转速 单 位 Hz 4 v T f的关系 f T 1 f T 2 2 r v r v 2 5 向心加速度 物理意义 描述线速度方向改变的快慢 大小 22 22222 2 4 44 v aw rrf rn r rT 方向 总是指向圆心 所以不论a 的大小是否变化 它都是个变化的量 3 向心力 F向 作用效果 产生向心加速度 不断改变质点的速度方向 维持质点做圆周运动 不改变 速度的大小 大小 22 22222 2 4 44 v Fmmw rmrmf rmn r rT 来源 向心力是按效果命名的力 可以由某个力提供 也可由
8、几个力的合力提供 或由 某个力的分力提供 如同步卫星的向心力由万有引力提供 圆锥摆摆球的向心力由重力和绳 上拉力提供 或由绳上拉力的水平分力提供 匀速圆周运动的向心力就是合外力 而在非匀速圆周运动中 向心力是合外力沿半径 方向的分力 而合外力沿切线方向的分力改变线速度的大小 4 质点做匀速圆周运动的条件 1 质点具有初速度 2 质点受到的合外力始终与速度方向垂直 3 合外力 F 的大小保持不变 且rm r v mF 2 2 若rm r v mF 2 2 质点做离心运动 若rm r v mF 2 2 质点做 F 0 Fmr 2 图 5 3 1 4 向心运动 若F 0 质点沿切线做直线运动 问题与
9、方法 一 绳子与杆末端速度的分解方法 绳与杆问题的要点 物体运动为合运动 分解为沿绳或杆方向和垂直于绳或杆方向的分 运动 例题 1 如图 5 1 7 岸上用绳拉船 拉绳的速度是v 当绳与水平方向夹角为 时 船的 速度为多大 2 如图 5 1 3 车甲以速度v1拉汽车乙前进 乙的速度为 v2 甲 乙都在水平面上运动 求v1 v2 二 小船过河问题 1 渡河时间最少 在河宽 船速一定时 在一般情况下 渡河时间 sin 1船 dd t 显然 当90时 即船头的指向与河岸垂直 渡河时间最小为 v d 合运动沿 v的方 向进行 2 位移最小 若 水船 结论船头偏向上游 使得合速度垂直于河岸 位移为河宽
10、偏离上游的角度为 船 水 cos 若 水船 vv 则不论船的航向如何 总是被水冲向下游 怎样才能使漂下的距离最短呢 如图所示 v 水 v船 v 图 5 1 7 v 甲 乙 v1 v2 图 5 1 3 5 设船头 v船与河岸成 角 合速度v 与河岸成 角 可以看出 角越大 船漂下的距离 x 越短 那么 在什么条件下 角最大呢 以v 水的矢尖为圆心 v 船为半径画圆 当 v 与圆 相切时 角最大 根据 水 船 v v cos船头与河岸的夹角应为 水 船 v v arccos 船沿河漂下的最短距离为 sin cos min 船 船水 v d vvx 此时渡河的最短位移 船 水 v dv d s co
11、s 问题 有没有船速等于水速时 渡河最短位移的情况 例题 河宽d 60m 水流速度v1 6m s 小船在静水中的速度v2 3m s 问 1 要使它渡河的时间最短 则小船应如何渡河 最短时间是多少 2 要使它渡河的航程最短 则小船应如何渡河 最短的航程是多少 解析 1 要使小船渡河时间最短 则小船船头应垂直河岸渡河 渡河的最短时间 ss d t20 30 60 2 2 渡河航程最短有两种情况 船速 v2大于水流速度v1时 即 v2 v1时 合速度 v 与河岸垂直时 最短航程就是河宽 船速 v2小于水流速度vl时 即 v2 v1时 合速度v 不可能与河岸垂直 只有当合速度 v 方向越接近垂直河岸方
12、向 航程越短 可由几何方法求得 即以v1的末端为圆心 以 v2 的长度为半径作圆 从v1的始端作此圆的切线 该切线方向即为最短航程的方向 如图所 示 v 水 v A B E v船 6 设航程最短时 船头应偏向上游河岸与河岸成 角 则 2 1 6 3 cos 1 2 60 最短行程 mm d s120 2 6 60 cos 小船的船头与上游河岸成60 0 角时 渡河的最短航程为120m 问题三 绳杆模型 竖直平面内的圆周运动 1 绳子模型 没有物体支持的小球 在竖直平面内做圆周运动过最高点 临界条件 小球在最高点时绳子的拉力 或轨道的弹力 刚好等于零 小球的重力充当 圆周运动所需的向心力 设 v
13、临是小球能通过最高点 的最小速度 则 mg r v m 2 v临 gr 能过最高点的条件 v v临 不能通过最高点的条件 v v临 实际上物体在到达最高点之前就脱离了圆轨道 2 轻杆模型 有物体支持的小球在竖直平面内做圆周运动情况 临界条件 由于硬杆或管壁的支撑作用 小球能到达最高点的临界速度v临 0 轻杆或轨 道对小球的支持力 N mg 当最高点的速度v gr时 杆对小球的弹力为零 当 0 vgr时 杆对小球有拉力 或管的外壁对小球有竖直向下的压力 F r v m 2 mg 而且 v N 例题 如下图所示 光滑管形圆轨道半径为R 管径远小于R 小球 a b 大小相同质量均为m 其直径略 小于
14、管径 能在管中无摩擦运动 两球先后以相同的速度 通过轨道的最低点 且当小球a 在最低点时 小球 b 在最高点 以下说法正确的是 v m v 图 5 3 4 v m v m 图 5 3 5 7 A 速度 至少为 才能使小球在管内做圆运动 B 当 小球 b 在轨道最高点对轨道无压力 C 当小球 b 在轨道最高点对轨道无压力时 小球a 比小球 b 所需向心力大4mg D 只要 小球 a 对轨道最低点的压力比小球b 对轨道最高点压力都大6mg 问题四 水平面内做圆周运动的临界问题 在水平面上做圆周运动的物体 当角速度w变化时 物体有远离或向着圆心运动的趋势 这 时 要根据物体的受力情况 判断物体受某个
15、力是否存在以及这个力存在时方向朝哪 特别 是一些静摩擦力 绳子的拉力等 例题 1 如图所示 细绳一端系着质量为M 0 6kg 的物体 静止在水平面上 另一端通 过光滑小孔吊着质量为m 0 3kg 的物体 M的中点与圆孔距离 为 0 2m 并知 M和水平面的最大静摩擦力为2N 现使此平面 绕中心轴转动 问角速度 在什么范围内m处于静止状态 取 g 10m s 2 2 水平转台上放有质量均为m的两个小物块A B A 离转台的距离为L A B间用长为L 的 细线相连 开始时 A B与轴心在同一直线上 线被拉直 A B与水平转台间的动摩擦因数均 为 当转台的角速度达到多大时线上出现张力 当转台的角速度
16、达到多大时A物块开始滑 动 m M r O 图 5 3 11 A B 图 5 3 12 8 问题五 生活中的一些圆周运动 1 水流星问题 用一根绳子系着盛水的杯子 演员抡起绳子 杯子在竖直平面内做圆周运动 此即为水流星 参照绳子模型 2 火车转弯问题 3 汽车过拱形问题 4 航天器中的失重现象 1 如图 图甲所示 在杂技表演中 猴子沿竖直杆向上运动 其v t 图象如图乙所示 人 顶杆沿水平地面运动的s t 图象如图丙所示 若以地面为参考系 下列说法中正确的是 A 猴子的运动轨迹为直线 B 猴子在2s 内做匀变速曲线运动 C t 0 时猴子的速度大小为8m s D t 2s 时猴子的加速度为4m s 2 答案 BD 解析 竖直方向为初速度vy 8m s 加速度 a 4m s 2 的匀减速直线运动 水平方向为速 度 vx 4m s 的匀速直线运动 初速度大小为 方向与合外力方向不在同 一条直线上 故做匀变速曲线运动 故选项B正确 选项A错误 t 2s 时 ax 4m s 2 a y 0m s 则合加速度为 4m s 2 选项 C错误 选项 D正确 2 一探照灯照射在云层底面上 云层底面是与
