《三角函数【概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结】,超级有用》由会员分享，可在线阅读，更多相关《三角函数【概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结】,超级有用（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 概念 方法 题型 易误点及应试技巧总结 三角函数 1 角的概念的推广 平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图 形 按逆时针方向旋转所形成的角叫正角 按顺时针方向旋转所形成的角叫负角 一条 射线没有作任何旋转时 称它形成一个零角 射线的起始位置称为始边 终止位置称为 终边 2 象限角的概念 在直角坐标系中 使角的顶点与原点重合 角的始边与x轴的非 负半轴重合 角的终边在第几象限 就说这个角是第几象限的角 如果角的终边在坐标 轴上 就认为这个角不属于任何象限 3 终边相同的角的表示 1 终边与终边相同 的终边在终边所在射线上 2 kkZ 注意 相等的角的终边一定相同 终边相同的角
2、不一定相等 如与角 1825的终边相同 且绝对 值最小的角的度数是 合 弧度 答 25 5 36 2 终边与终边共线 的终边在终边所在直线上 kkZ 3 终边与终边关于x轴对称2 kkZ 4 终边与终边关于y轴对称2 kkZ 5 终边与终边关于原点对称2 kkZ 6 终边在x轴上的角可表示为 kkZ 终边在y轴上的角可表示为 2 kkZ 终边在坐标轴上的角可表示为 2 k kZ 如 的终边与 6 的 终边关于直线xy对称 则 答 Zkk 3 2 4 与 2 的终边关系 由 两等分各象限 一二三四 确定 如若是第二象限角 则 2 是第 象限角 答 一 三 5 弧长公式 lR 扇形面积公式 2 1
3、1 22 SlRR 1 弧度 1rad 57 3 如 已知扇形 AOB 的周长是 6cm 该扇形的中心角是1 弧度 求该扇形的面积 答 2 2 cm 6 任意角的三角函数的定义 设是任意一个角 P xy是的终边上的任意一点 异 于 原 点 它 与 原 点 的 距 离 是 22 0rxy 那 么s i n c o s yx rr tan 0 y x x cot x y 0 y sec r x 0 x csc0 r y y 三角函数值只 与角的大小有关 而与终边上点P的位置无关 如 1 已知角的终边经过点 P 5 12 则 cossin 的值为 答 7 13 2 设是第三 四象限角 m m 4 3
4、2 sin 则m的取值范围是 答 1 2 3 3 若0 cos cos sin sin 试判断 tan cos cot sin的符号 答 负 7 三角函数线的特征 是 正弦线 MP 站在x轴上 起点在x轴上 余弦线 OM 躺在 x轴上 起点是原点 正切线 AT 站在点 1 0 A处 起点是 A 三角函数线的重要应用是比较三角函数值的大小和解 三角不等式 如 1 若0 8 则sin cos tan的大小关系为 答 tan sincos 2 若为 锐角 则 s i n t a n的大小 关 系为 答 sin tan 3 函数 3sin2lg cos21xxy的定义域是 答 2 2 2 33 kkk
5、Z 8 特殊角的三角函数值 30 45 60 0 90 180 270 15 75 sin 2 1 2 2 2 3 0 1 0 1 62 4 62 4 cos 2 3 2 2 2 1 1 0 1 0 62 4 62 4 tan 3 3 1 3 0 0 2 32 3 cot 31 3 3 0 0 2 32 3 9 同角三角函数的基本关系式 1 平方关系 222222 sincos1 1tansec 1cotcsc 2 倒数关系 sincsc 1 cossec 1 tancot 1 3 商数关系 sincos tan cot cossin 同角三角函数的基本关系式的主要应用是 已知一个角的三角函数
6、值 求此角的其 它三角函数值 在运用平方关系解题时 要根据已知角的范围和三角函数的取值 尽可 能地压缩角的范围 以便进行定号 在具体求三角函数值时 一般不需用同角三角函数 的基本关系式 而是先根据角的范围确定三角函数值的符号 再利用解直角三角形求出 此三角函数值的绝对值 如 y T Ax BS OM P 1 函数 sintan coscot y的值的符号为 答 大于 0 2 若220 x 则使xx2cos2sin1 2 成立的x的取值范围是 答 0 4 4 3 3 已知 5 3 sin m m 2 5 24 cos m m 则tan 答 12 5 4 已知1 1tan tan 则 cossin
7、 cos3sin 2cossinsin 2 答 3 5 5 13 5 已知a 200sin 则160tan等于 A 2 1a a B 2 1a a C a a 2 1 D a a 2 1 答 B 6 已知xxf3cos cos 则 30 sinf的值为 答 1 10 三角函数诱导公式 2 k 的本质是 奇变偶不变 对k而言 指k取奇数或 偶数 符号看象限 看原函数 同时可把看成是锐角 诱导公式的应用是求任意角 的三角函数值 其一般步骤 1 负角变正角 再写成2k 0 2 2 转化为锐 角三角函数 如 1 97 costan sin 21 46 的值为 答 23 23 2 已知 5 4 540s
8、in 则 270cos 若为第二象限角 则 180tan 360cos 180 sin 2 答 5 4 100 3 11 两角和与差的正弦 余弦 正切公式及倍角公式 sinsincoscossinsin 22 sincos 令 22 22 2 2 2 coscoscossinsincos 2cossin 2 cos112sin tantan1 cos2 tancos 1tantan2 1cos2 sin 2 2 tan tan 2 1tan 令 如 1 下列各式中 值为 1 2 的是 A 1515sincosB 22 1212 cossin C 2 22 5 122 5 tan tan D 1
9、30 2 cos 答 C 2 命题 P 0tan AB 命题 Q 0tan Atan B 则 P 是 Q 的 A 充要条件B 充分不必要条件 C 必要不充分条件D 既不充分也不必要条件 答 C 3 已知 3 5 sin coscos sin 那么 2cos的值为 答 7 25 4 13 1080sinsin 的值是 答 4 5 已知 0 tan 110a 求 0 tan 50的值 用 a 表示 甲求得的结果是 3 13 a a 乙求得 的结果是 2 1 2 a a 对甲 乙求得的结果的正确性你的判断是 答 甲 乙都对 12 三角函数的化简 计算 证明的恒等变形的基本思路是 一角二名三结构 即
10、首先观察角与角之间的关系 注意角的一些常用变式 角的变换是三角函数变换的核心 第二看函数名称之间的关系 通常 切化弦 第三观察代数式的结构特点 基本的技巧 有 1 巧变角 已知角与特殊角的变换 已知角与目标角的变换 角与其倍角的变换 两角与其和差角的变换 如 2 2 2 2 222 等 如 1 已知 2 tan 5 1 tan 44 那么tan 4 的值是 答 3 22 2 已知0 2 且 1 29 cos 2 23 sin 求cos 的 值 答 490 729 3 已知 为锐角 sin cosxy 3 cos 5 则y与x的函数关系 为 答 2 343 1 1 555 yxxx 2 三角函数
11、名互化 切割化弦 如 1 求值sin 50 13 tan 10 答 1 2 已知 sincos2 1 tan 1cos 23 求tan 2 的值 答 1 8 3 公式变形使用 tantantan1tantan 如 1 已知 A B 为锐角 且满足tantantantan1ABAB 则cos AB 答 2 2 2 设 ABC中 33tan Atan Btan A tan B 3 4 sin A cos A 则此三角形是 三角形 答 等边 4 三角函数次数的降升 降幂公式 2 1cos 2 cos 2 2 1cos 2 sin 2 与升幂公 式 2 1cos 22 cos 2 1cos 22 si
12、n 如 1 若 3 2 化简 1111 2 2222 cos为 答 sin 2 2 函数 2 553f x sin x cos xcosx 5 3 2 xR 的单调递增区间为 答 5 1212 k k kZ 5 式子结构的转化 对角 函数名 式子结构化同 如 1 tan cossin sintan cotcsc 答 sin 2 求证 2 1tan 1sin 2 12sin1tan 22 3 化简 42 2 1 2 cos2cos 2 2 tan sin 44 xx xx 答 1 cos 2 2 x 6 常值变换主要指 1 的变换 22 1sincosxx 22 sectantancotxxxx
13、 tansin 42 等 如已知tan 2 求 22 sinsincos3 cos 答 3 5 7 正余弦 三兄妹 sin cossincosxxxx 的内存联系 知一求二 如 1 若sincosxxt 则sincosxx 答 2 1 2 t 特别提醒 这里 2 2 t 2 若 1 0 sincos 2 求tan的值 答 47 3 3 已知 2 sin 22 sin 1tan k 42 试用k表示sin cos 的值 答 1k 13 辅助角公式中辅助角的确定 22 sincossinaxbxabx 其中角所在 的象限由 a b 的符号确定 角的值由tan b a 确定 在求最值 化简时起着重要
14、作用 如 1 若方程sin 3 cosxxc有实数解 则c的取值范围是 答 2 2 2 当函数23ycos xsin x取得最大值时 tan x的值是 答 3 2 3 如果sin2 cos fxxx是奇函数 则tan 答 2 4 求值 20sin64 20cos 1 20sin 3 2 22 答 32 14 正弦函数和余弦函数的图象 正弦函数sinyx和余弦函数cosyx图象的作图 方法 五点法 先取横坐标分别为0 3 2 22 的五点 再用光滑的曲线把这五点连 接起来 就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象 15 正弦函数sin yx xR 余弦函数cos yx xR的性质 1 定义域
15、都是 R 2 值域 都是 1 1 对sinyx 当 2 2 xkkZ 时 y取最大值1 当 3 2 2 xkkZ 时 y取最小值 1 对cosyx 当2xkkZ时 y取最大值 1 当2xkkZ时 y取最小值 1 如 1 若函数sin 3 6 yabx的最大值为 2 3 最小值为 2 1 则a b 答 1 1 2 ab或1b 2 函数xxxfcos3sin 2 2 x 的值域是 答 1 2 3 若2 则6ycossin的最大值和最小值分别是 答 7 5 4 函数 2 2 cossin 3 sin 3 fxxxxsincosxx的最小值是 此时x 答 2 12 kkZ 5 己知 2 1 cossi
16、n 求 cossint的变化范围 答 1 0 2 6 若cos2sin2sin 22 求 22 sinsiny的最大 最小值 答 1 max y 222 min y 特别提醒 在解含有正余弦函数的问题时 你深入挖掘正余弦函数的有界性了吗 3 周期性 sinyx cosyx的最小正周期都是2 sin fxAx和 cos fxAx的最小正周期都是 2 T 如 1 若 3 sin x xf 则 1 2 3 2003 ffff 答 0 2 函数 4 cosfxx 2 sincosxx 4 sinx的最小正周期为 答 3 设函数 52 sin 2 xxf 若对任意 Rx 都有 21 xfxfxf成立 则 21 xx的最小值为 答 2 4 奇偶性与对称性 正弦函数sin yx xR是奇函数 对称中心是 0kkZ 对称 轴是 直线 2 xkkZ 余弦 函 数c o s yxxR是偶函 数 对 称 中心 是 0 2 kkZ 对称轴是直线 xkkZ 正 余 弦型函数的对称轴为过最高点或 最低点且垂直于 x轴的直线 对称中心为图象与x轴的交点 如 1 函数 5 2 2 ysinx的奇偶性是 答 偶函数 2
