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1、高三数学总复习 三角函数 高中数学第四章 三角函数 考试内容 角的概念的推广 弧度制 任意角的三角函数 单位圆中的三角函数线 同角三角函数的基本关系式 正弦 余弦的诱 导公式 两角和与差的正弦 余弦 正切 二倍角的正弦 余弦 正切 正弦函数 余弦函数的图像和性质 周期函数 函数y Asin x 的图像 正切函数的图 像和性质 已知三角函数值求角 正弦定理 余弦定理 斜三角形解法 考试要求 1 理解任意角的概念 弧度的意义能正确地进行弧度与角度的换算 2 掌握任意角的正弦 余弦 正切的定义 了解余切 正割 余割的定义 掌握同角三 角函数的基本关系式 掌握正弦 余弦的诱导公式 了解周期函数与最小正
2、周期的意义 3 掌握两角和与两角差的正弦 余弦 正切公式 掌握二倍角的正弦 余弦 正切公式 4 能正确运用三角公式 进行简单三角函数式的化简 求值和恒等式证明 5 理解正弦函数 余弦函数 正切函数的图像和性质 会用 五点法 画正弦函数 余 弦函数和函数y Asin x 的简图 理解A 的物理意义 6 会由已知三角函数值求角 并会用符号arcsinx arc cosx arctanx 表示 7 掌握正弦定理 余弦定理 并能初步运用它们解斜三角形 8 同角三角函数基本关系式 sin2 cos2 1 sin cos tan tan cos 1 04 三角函数知识要点 1 与 0 360 终 边 相
3、同 的 角 的 集 合 角与 角的 终 边 重 合 Zkk 360 终边在 x 轴上的角的集合 Zkk 180 终边在 y 轴上的角的集合 Zkk 90180 终边在坐标轴上的角的集合 Zkk 90 终边在 y x 轴上的角的集合 Zkk 45180 终边在xy轴上的角的集合 Zkk 45180 若角与角的终边关于x 轴对称 则角与角的关系 k360 若角与角的终边关于y 轴对称 则角与角的关系 180360k 若角与角的终边在一条直线上 则角与角的关系 k180 角与角的终边互相垂直 则角与角的关系 90360k y x SINC OS三 角 函 数 值 大 小 关 系 图 sinx cos
4、x 1 2 3 4表 示 第 一 二 三 四 象 限 一 半 所 在 区 域 1 2 3 4 1 2 3 4 sinx sinx sinx cosxcosx cosx 高三数学总复习 三角函数 2 角度与弧度的互换关系 360 2180 1 0 01745 1 57 30 57 18 注意 正角的弧度数为正数 负角的弧度数为负数 零角的弧度数为零 弧度与角度互换公式 1rad 180 57 30 57 18 1 180 0 01745 rad 3 弧长公式 rl 扇形面积公式 2 11 22 slrr 扇 形 4 三角函数 设是一个任意角 在的终边上任取 异于 原点的 一点P x y P与原点
5、的距离为r 则 r y sin r x cos x y tan y x cot x r sec y r csc 5 三角函数在各象限的符号 一全二正弦 三切四余弦 正切 余切余弦 正割 正弦 余割 oo o x y x y x y 6 三角函数线 正弦线 MP 余弦线 OM 正切线 AT 7 三角函数的定义域 三角函数定义域 xfsinxRxx xfcosxRxx xftanx ZkkxRxx 2 1 且 xfcotxZkkxRxx 且 xfsecx ZkkxRxx 2 1 且 xfcscxZkkxRxx 且 8 同角三角函数的基本关系式 tan cos sin c o t s i n c o
6、 s 1cottan 1sincsc1c o ss ec 1cossin 22 1tansec 22 1cotcsc 22 9 诱导公式 2 k 把的 三 角 函 数 化 为的 三 角 函 数 概 括 为 r o x y a的终边 P x y T M AO P x y 3 若 o x 2 则sinx x cosx cosx sinx cosx sinx sinx cosx sinx cosx cosx sinx 16 几个重要结论 OO x y x y 高三数学总复习 三角函数 奇变偶不变 符号看象限 三角函数的公式 一 基本关系 公式组二公式组三 xxk xxk xxk xxk c o t
7、2c o t t a n 2t a n c o s 2c o s s i n 2s i n xx xx xx xx c o t c o t t a n t an c o s c o s s i n s i n 公式组四公式组五公式组六 xx xx xx xx cot cot tan tan cos cos sin sin xx xx xx xx c o t 2c o t t a n 2t a n c o s 2c o s s i n 2s i n xx xx xx xx c o t c o t t a n t an c o s c o s s i n s i n 二 角与角之间的互换 公式组一
8、公式组二 sinsincoscos cos c o ss i n22s i n sinsincoscos cos 2222 s i n211c o s2s i nc o s2c o s sincoscossin sin 2 tan1 tan2 2tan sincoscossin sin 2 c o s1 2 s i n tantan1 tantan tan 2 c o s1 2 c o s tantan1 tantan tan 公式组三公式组四公式组五 2 tan1 2 tan2 sin 2 2 tan1 2 tan1 cos 2 2 2 tan1 2 tan2 tan 2 4 26 75co
9、s15sin 4 26 15cos75sin 3275cot15tan 3215cot75tan 公 式 组 一 sin x cscx 1tan x x x cos sin sin 2x cos2x 1 cosx secx x x x sin cos 1 tan 2 x sec 2 x tanx cot x 1 1 cot 2x csc2x 1 coscos 2 1 sinsin coscos 2 1 coscos sinsin 2 1 sincos sinsin 2 1 cossin 2 cos 2 sin2sinsin 2 sin 2 cos2sinsin 2 cos 2 cos2cosc
10、os 2 sin 2 sin2coscos sin cos1 cos1 sin cos1 cos1 2 tan sin 2 1 cos cos 2 1 sin cot 2 1 tan sin 2 1 cos cos 2 1 sin cot 2 1 tan 高三数学总复习 三角函数 10 正弦 余弦 正切 余切函数的图象的性质 xAysin A 0 定义域R R R 值域 1 1 1 1 R R AA 周期性 22 2 奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数 当 0非奇非偶 当 0奇函数 单调性 2 2 2 2 k k 上 为 增 函 数 2 2 3 2 2 k k 上 为 减 函 数 Zk 2 12
11、k k 上 为 增 函 数 12 2 k k 上 为 减 函 数 Zk kk 2 2 上为增函数 Zk 1 kk上为减函 数 Zk 2 1 2 2 2 A k A k 上为增函数 2 3 2 2 2 A k A k 上为减函数 Zk 注意 xysin与xysin的单调性正好相反 xycos与xycos的单调性也同样相 反 一般地 若 xfy在 ba上递增 减 则 xfy在 ba上递减 增 xysin 与xycos的周期是 sin xy或 cos xy 0 的周期 2 T 2 tan x y 的周期为2 2TT 如图 翻折无效 sin xy的对称轴方程是 2 kx Zk 对称中心 0 k c o
12、 s xy的 对称轴方程是kx Zk 对称中心 0 2 1 k t a n xy的对称中心 0 2 k xxyxy2cos 2cos 2cos 原点对称 当tan 1tan 2 Zkk tan 1tan 2 Zkk xycos与 kxy2 2 sin 是同一函数 而 xy是偶函数 则 cos 2 1 sin xkxxy ZkkxRxx 2 1 且 ZkkxRxx 且 xycotxytan xycos xysin O y x 高三数学总复习 三角函数 函数 xytan 在R上为增函数 只能在某个单调区间单调递增 若在整个定义域 xytan为增函数 同样也是错误的 定义域关于原点对称是 xf 具有
13、奇偶性的必要不充分条件 奇偶性的两个条件 一是定 义域关于原点对称 奇偶都要 二是满足奇偶性条件 偶函数 xfxf 奇函数 xfxf 奇偶性的单调性 奇同偶反 例如 xytan 是奇函数 3 1 tan xy 是非奇非偶 定 义域不关于原点对称 奇函数特有性质 若x0的定义域 则 xf 一定有 0 0 f x0的定义域 则无此性 质 xysin 不是周期函数 xysin 为周期函数 T xycos 是周期函数 如图 xycos 为周期函数 T 2 1 2cosxy 的周期为 如图 并非所有周期函数都有最小正周期 例如 Rkkxfxfy 5 a b babaycos sin sincos 22
14、有yba 22 11 三角函数图象的作法 几何法 描点法及其特例 五点作图法 正 余弦曲线 三点二线作图法 正 余切曲 线 利用图象变换作三角函数图象 三角函数的图象变换有振幅变换 周期变换和相位变换等 函数 y Asin x 的振幅 A 周期 2 T 频率 1 2 f T 相位 x初相 即当 x 0 时的相位 当 A 0 0 时以上公式可去绝对值符号 由 y sinx 的图象上的点的横坐标保持不变 纵坐标伸长 当 A 1 或缩短 当 0 A 1 到原来的 A 倍 得到 y Asinx 的图象 叫做 振幅变换 或叫沿 y 轴的伸缩变换 用 y A 替换 y 由 y sinx 的图象上的点的纵坐
15、标保持不变 横坐标伸长 0 1 或缩短 1 到原来的 1 倍 得到 y sin x 的图象 叫做 周期变换 或叫做沿x 轴的伸缩变换 用 x 替换 x 由 y sinx 的图象上所有的点向左 当 0 或向右 当 0 平行移动 个单位 得到 y sin x 的图象 叫做相位变换 或叫做沿x 轴方向的平移 用 x 替换 x 由 y sinx 的图象上所有的点向上 当 b 0 或向下 当 b 0 平行移动 b 个单位 得到 y sinx b 的图象叫做沿y 轴方向的平移 用 y b 替换 y y x y cos x 图 象 1 2 y x y cos2 x 1 2 图 象 高三数学总复习 三角函数
16、由 y sinx 的图象利用图象变换作函数y Asin x A 0 0 x R 的 图象 要特别注意 当周期变换和相位变换的先后顺序不同时 原图象延x 轴量伸缩量的区 别 4 反三角函数 函数 y sinx 22 x 的反函数叫做反正弦函数 记作 y arcsinx 它的定义域是 1 1 值域是 22 函数 y cosx x 0 的反应函数叫做反余弦函数 记作y arccosx 它的定 义域是 1 1 值域是 0 函数 y tanx 22 x 的反函数叫做反正切函数 记作 y arctanx 它的定义域是 值域是 22 函数 y ctgx x 0 的反函数叫做 反余切函数 记作 y arcctgx 它的定义域 是 值域是 0 II 竞赛知识要点 一 反三角函数 1 反三角函数 反正弦函数 xyarcsin 是奇函数 故xxarcsin arcsin 1 1x 一 定要注明定义域 若 x 没有 x与y一一对应 故xysin 无反函数 注 xx sin arcsin 1 1x 2 2 arcsinx 反余弦函数xyarccos非奇非偶 但有kxx2 arccos arccos 1 1x 注
