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1、高等数学（一）课程期末复习资料 高等数学（一）课程（PPT）讲稿章节目录：第1章 函数1.1 函数概念1.2 初等函数第2章 极限与连续2.1 数列的极限习题课12.2 函数的极限2.3 极限的运算法则2.4 极限的存在准则 两个重要极限2.5 无穷小的比较2.6 函数的连续性习题课2第3章 导数与微分3.1导数的概念3.2函数的微分法3.3高阶导数3.4隐函数及参量函数的导数3.5函数的微分习题课3第4章 微分中值定理及导数的应用4.1微分中值定理4.2洛必达法则4.3函数的单调性与极值4.4函数的最大值与最小值4.5曲线的凹凸性与拐点4.6函数图形的描绘习题课4 （PPT讲稿文件共有10个
2、。）一、客观部分：（单项选择）（一）、单项选择部分考核知识点: 函数的性质，附1.1.1（考核知识点解释及答案）：函数的基本特性：有界性：设函数f(x)的定义域为D，如果有，使得对，都有，则称f(x)在D上有界。如果对，使得 ，则称 f (x) 在上有上界。奇偶性：设f(x)的定义域为D，对，如果 ( i) ，则称该函数为偶函数； (ii) ，则称该函数为奇函数周期性：设函数f(x)的定义域为D，如果存在T0， 使得对，总有则称 f(x)为D上的周期函数， T为 f(x)的一个周期通常周期函数有无穷多个周期习惯上，我们把最小的正周期叫做该函数的周期考核知识点: 函数的性质，附1.1.2（考核知
3、识点解释及答案）：函数的基本特性：有界性：设函数f(x)的定义域为D，如果有，使得对，都有，则称f(x)在D上有界。如果对，使得 ，则称 f (x) 在上有上界。奇偶性：设f(x)的定义域为D，对，如果 ( i) ，则称该函数为奇函数； (ii) ，则称该函数为偶函数周期性：设函数f(x)的定义域为D，如果存在T0， 使得对，总有则称 f(x)为D上的周期函数， T为 f(x)的一个周期通常周期函数有无穷多个周期习惯上，我们把最小的正周期叫做该函数的周期考核知识点: 函数的性质，附1.1.3（考核知识点解释及答案）：函数的基本特性：有界性：设函数f(x)的定义域为D，如果有，使得对，都有，则称
4、f(x)在D上有界。如果对，使得 ，则称 f (x) 在上有上界。奇偶性：设f(x)的定义域为D，对，如果 ( i) ，则称该函数为奇函数； (ii) ，则称该函数为偶函数周期性：设函数f(x)的定义域为D，如果存在T0， 使得对，总有则称 f(x)为D上的周期函数， T为 f(x)的一个周期通常周期函数有无穷多个周期习惯上，我们把最小的正周期叫做该函数的周期考核知识点: 函数的性质，附1.1.4（考核知识点解释及答案）：函数的基本特性：奇偶性：设f(x)的定义域为D，对，如果 ( i) ，则称该函数为奇函数； (ii) ，则称该函数为偶函数周期性：设函数f(x)的定义域为D，如果存在T0，
5、使得对，总有则称 f(x)为D上的周期函数， T为 f(x)的一个周期通常周期函数有无穷多个周期习惯上，我们把最小的正周期叫做该函数的周期考核知识点: 无穷小与无穷大，附1.1.5（考核知识点解释及答案）：当时，如果函数的绝对值大于任意预先给定的正数 M ，则我们称函数为当时的无穷大量，记为。若，则称函数在该极限过程中为无穷小量简称无穷小。考核知识点: 连续与可导性，附1.1.6（考核知识点解释及答案】）：函数在某点处连续是函数在该点处可导的必要条件，但不是充分条件.若函数在某点处不连续，则它在该点处一定不可导.考核知识点: 复合函数微分法，附1.1.7（考核知识点解释及答案）：下述“基本的求
6、导公式”是各种导数与微分计算的基础，要求熟练掌握。在这里作为复习我们全部给出，提供多处习题计算时使用，可以反复查找使用。基本的求导公式基本初等函数求导公式 复合函数的求导法则： 若函数在点x处可导, 而在点处可导, 则复合函数在点x处可导, 且其导数为 或 本题计算用到复合函数的求导法则和导数的四则运算法则。导数的四则运算法则： 如果函数及都在点具有导数，那么它们的和、差、积、商（除分母为零的点外）都在点具有导数，且（1） ；（2） ；（3） 考核知识点: 二阶导数计算，附1.1.8（考核知识点解释及答案）：求高阶导数的方法：求函数的高阶导数时，除直接按定义逐阶求出指定的高阶导数外（直接法），
7、还常常利用已知的高阶导数公式, 通过导数的四则运算, 变量代换等方法, 间接求出指定的高阶导数（间接法）.复合函数的求导法则 若函数在点x处可导, 而在点处可导, 则复合函数在点x处可导, 且其导数为 或 复合函数的求导法则可叙述为：复合函数的导数，等于函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数. 这一法则又称为链式法则.复合函数求导既是重点又是难点. 在求复合函数的导数时, 首先要分清函数的复合层次，然后从外向里, 逐层推进求导， 不要遗漏, 也不要重复. 在求导的过程中，始终要明确所求的导数是哪个函数对哪个变量(不管是自变量还是中间变量)的导数. 在开始时可以先设中间变量, 一步一步去
8、做. 熟练之后，中间变量可以省略不写，只把中间变量看在眼里，记在心上，直接把表示中间变量的部分写出来，整个过程一气呵成. 考核知识点: 函数的性质，附1.1.9（考核知识点解释及答案）：奇偶性：设f(x)的定义域为D，对，如果 ( i) ，则称该函数为奇函数； (ii) ，则称该函数为偶函数周期性：设函数f(x)的定义域为D，如果存在T0， 使得对，总有则称 f(x)为D上的周期函数， T为 f(x)的一个周期通常周期函数有无穷多个周期习惯上，我们把最小的正周期叫做该函数的周期考核知识点: 无穷小与无穷大，附1.1.10（考核知识点解释及答案）： 当时，如果函数的绝对值大于任意预先给定的正数
9、M ，则我们称函数为当时的无穷大量，记为。若，则称函数在该极限过程中为无穷小量简称无穷小。考核知识点: 连续与可导性，附1.1.11（考核知识点解释及答案）：函数在某点处连续是函数在该点处可导的必要条件，但不是充分条件.若函数在某点处不连续，则它在该点处一定不可导.考核知识点: 复合函数微分法，附1.1.12（考核知识点解释及答案）：初等函数的求导法则：函数的和、差、积、商的求导法则 反函数的求导法则 复合函数的求导法则。若函数在点x处可导, 而在点处可导, 则复合函数在点x处可导, 且其导数为 或 复合函数的求导法则可叙述为：复合函数的导数，等于函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数
10、.在求复合函数的导数时, 首先要分清函数的复合层次，然后从外向里, 逐层推进求导， 不要遗漏, 也不要重复. 在求导的过程中，始终要明确所求的导数是哪个函数对哪个变量(不管是自变量还是中间变量)的导数. 在开始时可以先设中间变量, 一步一步去做. 熟练之后，中间变量可以省略不写，只把中间变量看在眼里，记在心上，直接把表示中间变量的部分写出来. 考核知识点: 二阶导数计算，附1.1.13（考核知识点解释及答案）：求高阶导数的方法：求函数的高阶导数时，除直接按定义逐阶求出指定的高阶导数外（直接法），还常常利用已知的高阶导数公式, 通过导数的四则运算, 变量代换等方法, 间接求出指定的高阶导数（间接
11、法）.考核知识点: 函数的性质，附1.1.14（考核知识点解释及答案）：函数的奇偶性：设f(x)的定义域为D，对，如果 ( i) ，则称该函数为奇函数； (ii) ，则称该函数为偶函数函数的周期性：设函数f(x)的定义域为D，如果存在T0， 使得对，总有则称 f(x)为D上的周期函数， T为 f(x)的一个周期通常周期函数有无穷多个周期习惯上，我们把最小的正周期叫做该函数的周期考核知识点: 无穷小与无穷大，附1.1.15（考核知识点解释及答案）：当时，如果函数的绝对值大于任意预先给定的正数 M ，则我们称函数为当时的无穷大量，记为。若，则称函数在该极限过程中为无穷小量简称无穷小。考核知识点:
12、连续与可导性，附1.1.16（考核知识点解释及答案）：函数在某点处连续是函数在该点处可导的必要条件，但不是充分条件.若函数在某点处不连续，则它在该点处一定不可导.考核知识点: 复合函数微分法，附1.1.17（考核知识点解释及答案）：基本初等函数的导数公式为常数）； 但不为零）； ； ； 若函数在点x处可导, 而在点处可导, 则复合函数在点x处可导, 且其导数为 或 复合函数的求导法则可叙述为：复合函数的导数，等于函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数.考核知识点: 二阶导数计算，附1.1.18（考核知识点解释及答案）：求高阶导数的方法：求函数的高阶导数时，除直接按定义逐阶求出指定的高阶
13、导数外（直接法），还常常利用已知的高阶导数公式, 通过导数的四则运算, 变量代换等方法, 间接求出指定的高阶导数（间接法）.导数的四则运算法则：如果函数及都在点具有导数，那么它们的和、差、积、商（除分母为零的点外）都在点具有导数，且（1） ；（2） ；（3） 二、主观部分：（一）、填空部分考核知识点: 函数的极值附2.1.1（考核知识点解释及答案【解答过程】）：确定驻点的步骤: (1)求出函数的定义域和导数; (2)求出的全部驻点，即 的点。考核知识点: 求拐点，附2.1.2（考核知识点解释及答案【解答过程】）：如果的二阶导数在的左右两侧变号，则就是拐点。考核知识点: 求拐点，附2.1.3（考
14、核知识点解释及答案【解答过程】）：如果的二阶导数在的左右两侧变号，则就是拐点。考核知识点: 函数的概念，附2.1.4（考核知识点解释及答案【解答过程】）：函数是最重要的数学概念之一。下面给出函数的概念：设是一个非空的实数集合，如果存在某种对应规则，使得对，都有唯一的实数与之对应，就称确定了一个一元函数，通常记为，称为自变量，为函数（因变量），为定义域，函数值的集合称为值域函数表示的通常方式为公式法，自变量与因变量的关系用数学式子表示出来的方法称为公式法考核知识点: 洛必达法则求极限，附2.1.5（考核知识点解释及答案【解答过程】）：如果函数和满足以下三个条件:(1), ;(2) 和在点的某去心邻域内可导,且;(3) 存
