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1、 2019届江苏省南京市中华中学等四校高三第一次联考数学试题（文）数 学 （满分160分，考试时间120分钟）一、填空题：(本大题共14小题，每小题5分，共70分 请将答案写在答题卡相应位置. )1已知全集，则 2.复数的虚部是 3一个社会调查机构就某地居民的月收入情况调查了1000人，并根据所得数据绘制了样本频率分布直方图（如图所示），则月收入在2000，3500）范围内的人数为_ 4如图是某算法的流程图，其输出值a是_5在数字1、2、3、4中随机选两个数字，则选中的数字中至少有一个是偶数的概率为 . 6 已知实数x，y满足则z2xy的最小值是_7在平面直角坐标系xOy中，双曲线中心在原点，
2、焦点在x轴上，一条渐近线方程为x2y0，则它的离心率为_ 8在等差数列中，若，则 9函数的部分图像如图所示，则将的图象向右平移个单位后，得到的图像解析式为_ _ 10已知正三棱锥的底面边长为6，侧棱长为5，则此三棱锥的体积为_11过点P（4，0）的直线l与半圆C：(x1)2y24（y0）交于A，B两点，当ACB面积最大时，直线l的斜率为_ 12已知ABC为等边三角形，设点P，Q满足，若，则 13已知正实数满足，则的最小值为 14. 若不等式对恒成立,则实数的取值范围是_. 二、解答题：(本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)15（本小题满分14分）已知函数.（1）
3、求的最小正周期；（2）在中，分别是A、B、C的对边，若，的面积为，求的值.16（本小题满分14分）如图，四边形ABCD为矩形，平面ABCD平面ABE，BEBC，F为CE上的一点，且BF平面ACE （1）求证：AEBE； （2）求证：AE平面BFD17（本小题满分14分）如图所示，某市政府决定在以政府大楼为中心，正北方向和正东方向的马路为边界的扇形地域内建造一个图书馆.为了充分利用这块土地，并考虑与周边环境协调，设计要求该图书馆底面矩形的四个顶点都要在边界上，图书馆的正面要朝市政府大楼.设扇形的半径 ，与之间的夹角为.（1）将图书馆底面矩形的面积表示成的函数.（2）求当为何值时，矩形的面积有最大
4、值？其最大值是多少？(用含R的式子表示)18. (本小题满分16分)已知椭圆E：y21的左、右顶点分别为A、B，圆x2y24上有一动点P，P在x轴上方，C(1，0)，直线PA交椭圆E于点D，连结DC、PB.(1) 若ADC90，求ADC的面积S；(2) 设直线PB、DC的斜率存在且分别为k1、k2，若k1k2，求的取值范围19. (本小题满分16分)已知数列中,其前项和满足,其中,. (1)求证;数列为等差数列,并求其通项公式;(2)设, 为数列的前n项和,求使2的n的取值范围.20(本小题满分16分)设函数f (x)exax2，其中e是自然对数的底数（1）若ae，求f (x)的极小值；（2）
5、求f (x)的单调区间；（3）已知a1，若对所有的x(0，)，都有(xk)f (x)x10成立，求正整数k的取值集合2019届高三年级四校联考试题答案一、填空题1. 3,5 2. 3. 700 4. 31 5. 6. 1 7. 8. 4 9. 10. 3 11. 12.13. 14. 二、解答题15.解：（1） 4分 6分（2）由，又的内角， 8分， 11分，14分16（1）证明：平面ABCD平面ABE，平面ABCD平面ABE=AB，ADAB，AD平面ABE，AE平面ABE， ADAEADBC，则BCAE 3分又BF平面ACE，AE平面ACE, BFAEBCBF=B，AE平面BCE，又BE平面
6、BCEAEBE 7分（2）设ACBD=G，连接FG，易知G是AC的中点，BF平面ACE，CE平面ACE,则BFCE而BC=BE，F是EC中点 10分在ACE中，FGAE，AE平面BFD，FG平面BFD， AE平面BFD 14分 17.解（）由题意可知，点M为的中点，所以.设OM于BC的交点为F，则，. 所以，. 8分（表达式6分，定义域2分）（）因为，则.所以当 ，即 时，S有最大值. .故当时，矩形ABCD的面积S有最大值. 14分 .18. 解：(1) 设D(x，y)， ADC90， AD2DC2AC2.则(x2)2y2(x1)2y29.即x2y2x20.(2分) 点D在椭圆E上， y21
7、.联立，消去y，得3x24x40，(4分) 2x2， x.代入椭圆方程，得y. ADC的面积S3. 6分(2) 设P(x0，y0)，直线PA方程为y(x2)，代入椭圆方程y21，即x24y240，得x240(x2)240. xy4， x24(x2)240.整理得(103x0)x2(3216x0)x2420x00. 8分(注：消去x，可得方程(x4x044y)y24(x02)y0，也得8分)此方程有一根为2，设D(x1，y1)，则x1.代入直线PA方程，得y1.10分则k1，k2.12分 k1k2， .14分 2x00，所以f(x)的单调增区间为(-,+)；6分若a0，则当xlna时f (x)0
8、；当xlna时f (x)0所以f(x)的单调增区间为(lna, +)，单调减区间为(-,lna)8分因为a=1，所以(x-k)f (x)+x+1=(x-k)(ex-1)+x+1x0，(x-k)(ex-1)+x+10等价于，令g(x)= ，则g(x)= = ，10分由知函数h(x)=ex-x-2在(0, +)上单调递增,又h(1)=e -30,故h(x)在(0, +)上存在唯一零点，记为，且(1,2)，h()=e-2=0当x(0, )时，g(x)0所以g(x)在(0, )递减，在(,+)递增，g(x)min=g()= =+1所以k+114分因为(1,2)，kN*，则k=1或2所以，正整数k的取值集合为1，216分
