《高考数学（理）（全国通用）一轮复习课件：7.7.2利用向量求空间角和距离 .ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学（理）（全国通用）一轮复习课件：7.7.2利用向量求空间角和距离 .ppt（101页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第二课时 利用向量求空间角和距离 教材基础回顾 1 异面直线所成角的求法 设a b分别是两异面直线l1 l2的方向向量 则 a与b的夹夹角为为 l1与l2所成的角 范围围 0 求法 cos cos cos 2 直线和平面所成角的求法 如图所示 设直线l的方向向量为e 平面 的法向量为n 直线l与平面 所成的角为 两向量e与n的夹角为 则有sin cos 3 二面角的求法 1 如图 AB CD是二面角 l 两个半平面内与棱l 垂直的直线 则二面角的大小为 2 如图 n1 n2分别是二面角 l 的两个半平 面 的法向量 则二面角的大小 满足cos cos或 cos 金榜状元笔记 1 利用空间向量如
2、何求线段长度 利用 可以求空间中有向线段的长度 2 点到平面的距离 作一证一求 法 作出点P到平面的垂线后求出垂线段的长 转移法 如果平面 的 斜线上两点A B到斜足C的距离AC BC的比为m n 则点A B到平面 的距离比也为m n 体积法 通常借助三棱锥 通过转换底面与顶点求点到平面的距离 教材母题变式 1 在正方体ABCD A1B1C1D1中 E是C1D1的中点 则异面直线DE与AC夹角的余弦值为 解析 选D 如图建立空间直角坐标系D xyz 设DA 1 A 1 0 0 C 0 1 0 E 则 1 1 0 设异面直线DE与AC所成的角为 则cos cos 2 正三棱柱 底面是正三角形的直
3、棱柱 ABC A1B1C1的底 面边长为2 侧棱长为2 则AC1与侧面ABB1A1所成的角 为 解析 以C为原点建立坐标系 得下列坐标 A 2 0 0 C1 0 0 2 点C1在侧面ABB1A1内的射影为点 C2 2 所以 2 0 2 设直线AC1与平面ABB1A1所成的角为 则cos 又 所 以 答案 3 在四棱锥P ABCD中 底面ABCD是正方形 PD 底面ABCD PD DC 则二面角C PB D的大 小为 解析 以点D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系 设PD DC 1 则 D 0 0 0 P 0 0 1 C 0 1 0 B 1 1 0 所以 0 0 1 0 1 1 1 1 0
4、1 0 0 设平面PBD的一个法向量为n1 x1 y1 z1 由n1 0 n1 0得 令x1 1 得n1 1 1 0 设平面PBC的一个法向量为n2 x2 y2 z2 由n2 0 n2 0得 令y2 1得n2 0 1 1 设二面角C PB D的大小为 则cos 所以 60 答案 60 母题变式溯源 题题号知识识点源自教材 1 向量法求异面直线线所成 角 P112 A组组T6 2向量法求线线面角 P117 A组组T4 3 用空间间向量求解与二面 角有关的问题问题 P109 例4 考向一 向量法求异面直线所成角 典例1 直三棱柱ABC A1B1C1中 BCA 90 M N分别是A1B1 A1C1的
5、 中点 BC CA CC1 则BM与AN所成的角的余弦值为世纪金榜导学号12560244 解析 选C 以C点为原点 直线CA为x轴 直线CB为y轴 直线CC1为z轴建立空间直角坐标系 如图 设CA 1 则 B 0 1 0 M A 1 0 0 故 所以 巧思妙解 不妨设三棱柱的侧棱为2 将三棱柱补成如图所示的正 方体 取BC的中点G 连接NG MN 由N为中点 则NG BM 所以 ANG为BM与AN所成的角 可知AN AG NG 则cos ANG 一题多变 将题目中的条件 BC CA CC1 改为 BC CA 2CC1 其余条件不变 则BM与AN所成的角 为 解析 选A 建系方式和原题相同 设B
6、C CA 2CC1 2 则A 2 0 0 B 0 2 0 M 1 1 1 N 1 0 1 1 0 1 1 1 1 记BM与AN所成的角为 cos 0 BM与AN所成的角为90 技法点拨 利用向量求线线角的解题策略 1 向量法求异面直线所成的角的方法有两种 基向量法 利用线性运算 坐标法 利用坐标运算 2 注意向量的夹角与异面直线所成的角的区别 当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时 就是此异面直线所成的角 当异面直线 的方向向量的夹角为钝角时 其补角才是异面直线所成的角 同源异考 金榜原创 在正方体ABCD A B C D 中 点P在线段AD 上运动 则异面直线CP与BA 所成的角 的取值范
7、围 是 世纪金榜导学号12560245 A 0 B 0 C 0 D 0 解析 选D 连接CD 则异面直线CP与BA 所成的角 等于 D CP 由图可知 当P点与A点重合时 当P点无限接近D 点时 趋近于0 由于是异面直线 故 0 变式备选 如图所示 在棱长为2的正方体ABCD A1B1C1D1中 E F分别是CC1 AD的中点 G是AE的中点 那么异面直线DG和A1F所成角的余弦值等于 解析 以点D为原点 分别为x y z轴建立 空间直角坐标系 则A 2 0 0 D1 0 0 2 E 0 2 1 F 1 0 0 G A1 2 0 2 设异 面直线DG和A1F所 成角为 则cos 答案 考向二
8、用空间向量求线面角 典例2 如图 ABC中 O是BC的中点 AB AC AO 2OC 2 将 BAO沿AO折起 使B点到 达B 点 世纪金榜导学号12560246 1 求证 AO 平面B OC 2 当三棱锥B AOC的体积最大时 试问在线段B A上 是否存在一点P 使CP与平面B OA所成的角的正弦值 为 若存在 求出点P的位置 若不存在 请说明理由 解析 1 因为AB AC且O是BC的中点 所以AO BO AO CO 由折叠知AO B O 又因 为CO B O O 所以AO 平面B OC 2 方法一 不存在 证明如下 当面B OA 面AOC时 三 棱锥B AOC的体积最大 因为面B OA 面
9、AOC AO B O AO 所以B O 面AOC 所以OC OB 又因为 OC OA 所以OC 平面AOB 在直角三角形CPO中 CO 1 所以PC 所 以OP 易求得O到直线AB 的距离为 所以 满足条件的点P不存在 方法二 当面B OA 面AOC时 三棱锥B AOC的体积最 大 因为面B OA 面AOC AO B O AO 所以B O 面 AOC 所以OC OB 故OA OB OC两两垂直 如图建立 空间直角坐标系O xyz 则A 2 0 0 B 0 0 1 C 0 1 0 设 2 0 则 2 2 1 又因为平面B OA的法向量n 0 1 0 依题意得 得 化简得 10 2 16 7 0
10、此方程无解 所以满足条件的点P不存 在 一题多解 本例题 2 还可以采用以下方法求解 解析 当面B OA 面AOC时 三棱锥B AOC的体积 最大 因为面B OA 面AOC AO B O AO 所以B O 面ACO 所以OC OB 故OA OB OC两两垂直 连接OP 因为CO B O CO AO AO B O O 所以CO 面B OA 所以 CPO即为CP与平面B OA所成的角 在直角三角形 CPO中 CO 1 COP sin CPO 所以 CP 在 ACB 中 AC AB B C 设C到 直线AB 的距离为h 则由S ACB 得h 因为CP h 所以满足条件的点P不存在 技法点拨 向量法求
11、线面角的两大途径 1 分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量 转化为求两个方向向量的夹 角 或其补角 2 通过平面的法向量来求 即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角 取其余 角就是斜线和平面所成的角 拓展 公式 cos cos 1cos 2的应用 如图所示 ABC ABO 1 OBC 2 其中 1为直线AB与平面所成的线面角 这 个公式在求解一些选择填空题时 可直接应用 但是一定要注意三个角的位置 不能张冠 李戴 同源异考 金榜原创 如图 在 ABC中 ABC 90 AB 2 BC 2 M为AC上一点 且MC 3MA 将 MAB沿BM折 起 世纪金榜导学号12560247 1
12、证明 平面AMC 平面BMC 2 当平面MBA 平面MBC时 设N为直线AB上一点 试确 定N点的位置 使得MN与平面ABC所成角的正弦值为 解析 1 由题意可知 ABC 90 AB 2 BC 2 所以AC 4 AM 1 MC 3 AMB 90 即 AM MB MB MC 所以MB 平面AMC 故平面AMC 平面BMC 2 由平面MBA 平面MBC及 1 可知AM MC 如图建立空间直角坐标系 M 0 0 0 B 0 0 C 0 3 0 A 0 0 1 0 1 设 0 则 0 1 设平面ABC的法向量为n x y z 0 3 1 则 所以n可取 1 3 记MN与平面ABC所成角为 则sin 解
13、得 1或 故 0 1 或 故N点坐标为 所以当N在BA延长线上 且AN 1或N在线段AB上 且AN 2 时 使得MN与平面ABC所成角的正弦值为 考向三 用空间向量求解与二面角有关的问题 典例3 2017 全国卷 如图 四棱锥P ABCD中 侧 面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD AB BC AD BAD ABC 90 E是PD的中点 1 证明 直线CE 平面PAB 2 点M在棱PC 上 且直线BM与底面ABCD所成角为45 求二面角M AB D的余弦值 解析 1 取PA的中点F 连接EF BF 因为E F分别为 PD PA的中点 所以EF AD 又由题意可得BC AD 所以EF BC
14、所以四边形BCEF为平行四边形 CE BF 又因为BF 平面PAB CE 平面PAB 所以CE 平面PAB 2 取AD中点O 连接PO 由于 PAD为正三角形 所以PO AD 又因为平面PAD 平面ABCD 平面PAD 平面ABCD AD 所以PO 平面ABCD 连接OC 则四边形ABCO为正方形 因为PO 平面POC 所以平面POC 平面ABCD 而平面POC 平面ABCD OC 过M作MH OC 垂足为H 所以MH 平面ABCD 所以 MBH为MB与平面ABCD所成角 所以 MBH 45 连接BH 则MH BH 在 PCO中 MH PO 所以 设AB BC a AD 2a PO a CO
15、a 所以 所以MH CH 在Rt BCH中 BH2 BC2 CH2 所以3CH2 a2 CH2 所以 以O为坐标原点 OC OD OP分别为x y z轴建立空间直角 坐标系 M A 0 a 0 B a a 0 a 0 0 设平面MAB的法 向量为n x y 1 则 所以 所以n 而平面ABCD的一个法向量为k 0 0 1 设二面角M AB D的平面角为 为锐角 所以cos cos 答题模板微课 本例的求解过程可模板化为 建模板 第一步 建立空间直角坐标系 写出相关点的坐 标 建立空间直角坐标系 确定A B M 坐标 第二步 求出两平面法向量的坐标 先确定k 0 0 1 是底面ABCD的法向量
16、再设n x y 1 是平面MAB的法向量 根据 求 得n 0 1 第三步 利用公式求二面角 根据cos 确定二面角M AB D的余弦值 套模板 如图所示 BCD与 MCD都 是边长为2的正三角形 平面MCD 平面BCD AB 平面BCD AB 2 1 求证 AB 平面MCD 2 求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值 解析 1 取CD中点O 因为 MCD为正三角形 所以MO CD 由于平面MCD 平面BCD 所以MO 平面BCD 又因为AB 平面BCD 所以AB MO 又AB 平面MCD MO 平面MCD 所以AB 平面MCD 6分 2 连接OB 则OB CD 又MO 平面BCD 取O为原点 直线OC BO OM为x轴 y轴 z轴 建立空间直 角坐标系如图所示 建系 OB OM 则各点坐标分别为C 1 0 0 M 0 0 B 0 0 A 0 2 设平面ACM的法向量为n1 x y z 解得x z y z 取z 1 得n1 1 1 又平面BCD的法向量为n2 0 0 1 求法向量 所以cos 设所求二面角为 则sin 12分 利用公式 求二面角 技法点拨 利用向量法计算二面角大小的常
