《高考数学（理）（全国通用）一轮复习课件：2.11.3导数的综合应用 .ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学（理）（全国通用）一轮复习课件：2.11.3导数的综合应用 .ppt（74页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第三课时 导数的综合应用 考向一 利用导数求解函数的零点或方程 根的问题 典例1 2018 南京模拟 已知函数f x ln x ax2 a 1 x a R 世纪金榜导学号12560074 1 当a 1时 求函数y f x 的零点个数 2 若关于x的方程f x ax2有两个不同实根x1 x2 求实数a的取值范围并证明x1 x2 e2 解析 1 当a 1时 f x ln x x2 2x x 0 f x 所以函数y f x 在 0 上单调递增 又因为f 1 0 所以函数y f x 有 且仅有一个零点 2 方程f x ax2有两个不同实根x1 x2 等价于ln x a 1 x 0有两个不同实根x1 x
2、2 得a 1 令 x 则 x 所以 x 在 0 e 上单调递增 在 e 上单 调递减 所以当x e时 x 取得最大值 由 1 0 得当x 0 1 时 x 0 x 的大致图象如 图所示 所以当a 1 即 1 a 1时 f x ax2有两个 不同实根x1 x2 证明 不妨设0 x1e2 只需证ln x1x2 即证 设t t 1 令F t 则F t 所以函数F t 在 1 上单调递增 且F 1 0 所以F t 0 即ln t 所以x1 x2 e2 技法点拨 利用导数研究函数零点或方程根的方法 1 通过最值 极值 判断零点个数的方法 借助导数研究函数的单调性 极值后 通过极值的正负 函数单调性判断函数
3、图象走势 从而判断零点个数或者通过零点个数求参数范围 2 数形结合法求解零点 对于方程解的个数 或函数零点个数 问题 可利用函数的值域或最值 结合函数的单调 性 画出草图数形结合确定其中参数的范围 3 构造函数法研究函数零点 根据条件构造某个函数 利用导数确定函数的单调区间及极值点 根据函数零点的个 数寻找函数在给定区间的极值以及区间端点的函数值与0的关系 从而求解 解决此类问题的关键是将函数零点 方程的根 曲线交点相互转化 突出导数的工 具作用 体现转化与化归的思想方法 同源异考 金榜原创 1 设函数f x x2 mln x g x x2 m 1 x 1 求函数f x 的单调区间 2 当m
4、0时 讨论函数f x 与g x 图象的交点个数 解析 1 函数f x 的定义域为 0 f x 当m 0时 f x 0 所以函数f x 的单调递增区间是 0 无单调递减区间 当m 0时 f x 当0 x 时 f x 时 f x 0 函数f x 单调递增 综上 当m 0时 函数f x 的单调递增区间是 0 无单调递减区间 当m 0时 函数f x 的单调递增区间是 单调递减区间是 0 2 令F x f x g x x2 m 1 x mln x x 0 问 题等价于求函数F x 的零点个数 当m 0时 F x x2 x x 0 有唯一零点 当m 0时 F x 当m 1时 F x 0 函数F x 为减函
5、数 注意到F 1 0 F 4 ln 41时 0 xm时 F x 0 1 x0 所以函数F x 在 0 1 和 m 上单调递减 在 1 m 上单调递增 注意到F 1 m 0 F 2m 2 mln 2m 2 0 所以F x 有唯一零点 当0 m 1时 0 x1时 F x 0 m x0 所以函数F x 在 0 m 和 1 上单调递减 在 m 1 上单调递增 易得ln m0 而F 2m 2 mln 2m 2 0 所以F x 有唯一零点 综上 函数F x 有唯一零点 即两函数图象有一个交点 2 已知函数f x mx2 x ln x 世纪金榜导学号12560075 1 若在函数f x 的定义域内存在区间D
6、 使得该函数在 区间D上为减函数 求实数m的取值范围 2 当0 m 时 若曲线C y f x 在点x 1处的切线l与 曲线C有且只有一个公共点 求实数m的值或取值范围 解析 1 f x 2mx 1 即2mx2 x 10时 由于函数y 2mx2 x 1的图象的对称轴方程为 x 0 故只需 0 即1 8m 0 解得0 m 综上 所述 实数m的取值范围为 2 因为f 1 m 1 f 1 2m 所以切线方程为y m 1 2m x 1 即y 2mx m 1 从而方程mx2 x ln x 2mx m 1在 0 上有且只有 一解 设g x mx2 x ln x 2mx m 1 则g x 在 0 上 有且只有
7、一个零点 因为g 1 0 所以函数g x 有零点x 1 g x 2mx 1 2m 当m 时 g x 0 又g x 不是常数函数 故g x 在 0 上单调递增 所以函数g x 有且只有一个零点x 1 满足题意 当0 m1 由g x 0 得0 x 由g x 0 得1 x 故当x在 0 上变化时 g x g x 的变化情况如 表 由表知g 0 故函数g x 在 上又有一个零点 不符合题意 综上所述 m 考向二 利用导数求解不等式的有关问题 典例2 2017 全国卷 已知函数f x x 1 aln x 世纪金榜导学号12560076 1 若f x 0 求a的值 2 设m为整数 且对于任意正整数n 求m
8、的最小值 解析 1 f x 1 x 0 当a 0时 f x 0 f x 在 0 上单调递增 则x 0 1 时 f x 0时 f x 在 0 a 上单调递减 a 上单调递增 f x min f a a 1 aln a 令y a 1 aln a 则y ln a 所以y在 0 1 上单调递增 1 上单调递减 所以ymax y 1 0 即y 0 因此a 1时f x min 0 故f x 0时 a的值为1 2 由 1 可得x 1 ln x在 0 上恒成立 令x 1 即有 ln 因为ln 因为对任意正整数n 所以ln m 1 m e 又因为m为整数 所以m的最小值为3 技法点拨 利用导数解决不等式问题的策
9、略 1 不等式的证明问题 可以从所证不等式的结构和特点出发 结合已有的知识 利用转化与化归思想 构造一个新的函数 再借助导数 确定函数的单调性 利用单调性实现问题的转化 从而使不等式得到证明 其一般步骤是 构造可导函数 研究单调性或最值 得出不等关系 整理得出结论 2 不等式恒成立问题 若f x a或g x a恒成立 只需满足f x min a或g x max a即可 利用导数方法求出f x 的最小 值或g x 的最大值 从而问题得解 3 不等式的证明或恒成立问题中有时需要把已知不等式等价变形 构造新函数 再利用 导数工具 研究单调性 极值 最值后解决原问题 同源异考 金榜原创 命题点1 证明
10、不等式 1 已知函数f x ex 3x 3a e为自然对数的底数 a R 1 求f x 的单调区间与极值 2 求证 当a ln 且x 0时 解析 1 由f x ex 3x 3a x R 知f x ex 3 x R 令f x 0 得x ln 3 于是当x变化时 f x f x 的变化情况如表 x ln 3 ln 3 ln 3 f x 0 f x 3 1 ln 3 a 故f x 的单调减区间是 ln 3 单调增区间是 ln 3 f x 在x ln 3处取极小值 极小值为f ln 3 eln 3 3ln 3 3a 3 1 ln 3 a 2 待证不等式 ex x2 3ax 1 设g x ex x2 3
11、ax 1 x R 所以g x ex 3x 3a x R 由 1 及a ln ln 3 1知g x 的最小值为 g ln 3 3 1 ln 3 a 0 对任意x R 都有g x 0 所以g x 在R内单调递增 于是当a ln ln 3 1时 对任意x 0 都 有g x g 0 而g 0 0 所以对任意x 0 g x 0 即ex x2 3ax 1 故 命题点2 已知不等式恒成立 求参数的取值范围 2 设函数f x 1 x2 ex 世纪金榜导学号12560077 1 讨论f x 的单调性 2 当x 0时 f x ax 1 求a的取值范围 解析 1 f x 1 2x x2 ex 令f x 0得x 1
12、当x 1 时 f x 0 当x 1 时 f x 0 所以f x 在 1 1 上单调递减 在 1 1 上单调递增 2 令g x f x ax 1 1 x2 ex ax 1 令x 0 可得g 0 0 g x 1 x2 2x ex a 令h x 1 x2 2x ex a h x x2 4x 1 ex 当x 0时 h x 0 h x 单调递减 故h x h 0 1 a 即g x 1 a 要使f x ax 1 0在x 0时恒成立 需要 1 a 0 即a 1 此时g x g 0 0 故a 1 综上所述 a的取值范围是 1 命题点3 不等式存在性问题 3 已知函数f x ln x 1 1 求函数f x 的单
13、调区间 2 设m R 对任意的a 1 1 总存在x0 1 e 使得不等式ma f x0 0 得x 1 因此函数f x 的单调递增区间是 1 令f x 0 得0 x 1 因此函数f x 的单调递减区间 是 0 1 2 依题意 ma f x max 由 1 知 f x 在x 1 e 上 是增函数 所以f x max f e ln e 1 所以ma 即ma 0 且r 0可得0 r0 故V r 在 0 5 上为增函数 当r 5 5 时 V r 0 故V r 在 5 5 上为减 函数 由此可知 V r 在r 5处取得最大值 此时h 8 即当r 5 h 8时 该蓄水池的体积最大 技法点拨 利用导数解决生活
14、中的优化问题的四个步骤 1 分析实际问题中各量之间的关系 列出实际问题的数学模型 写出实际问题中变量之 间的函数关系式y f x 2 求函数的导数f x 解方程f x 0 3 比较函数在区间端点和f x 0处的点的函数值的大小 最大 小 者为最大 小 值 4 回归实际问题作答 同源异考 金榜原创 1 某商场销售某种商品的经验表明 该商品每日的销 售量y 单位 千克 与销售价格x 单位 元 千克 满足 关系式y 10 x 6 2 其中3 x 6 a为常数 已知销 售价格为5元 千克时 每日可售出该商品11千克 世纪金榜导学号12560078 1 求a的值 2 若该商品的成本为3元 千克 试确定销
15、售价格x的值 使商场每日销售该商品所获得 的利润最大 解析 1 因为x 5时 y 11 所以 10 11 a 2 2 由 1 可知 该商品每日的销售量 y 10 x 6 2 所以商场每日销售该商品所获得的利润 f x x 3 2 10 x 3 x 6 2 3 x 6 从而 f x 10 x 6 2 2 x 3 x 6 30 x 4 x 6 于是 当x变化时 f x f x 的变化情况如表 x 3 4 4 4 6 f x 0 f x 极大值 由表可得 x 4是函数f x 在区间 3 6 内的极大值点 也是最大值点 所以 当x 4时 函数f x 取得最大值 且最大值等于42 所以当销售价格为4元
16、千克时 商场每日销售该商品所获得的利润最大 2 已知一企业生产某产品的年固定成本为10万元 每生 产千件需另投入2 7万元 设该企业年内共生产此种产 品x千件 并且全部销售完 每千件的销售收入为f x 万 元 且f x 世纪金榜导学号12560079 1 写出年利润W 万元 关于年产品x 千件 的函数解析式 2 年产量为多少千件时 该企业生产此产品所获年利润最大 注 年利润 年销售收入 年总成本 解析 1 由题意得 W 即W 2 当0 x 10时 W 8 1x x3 10 则W 因为0 x 10所以当0 x0 则W递增 当9 x 10时 W 10时 W 98 98 2 38 当且仅当 2 7x 即x 10时取最大值38 综上 当年产量为9千件时 该企业生产此产品所获年利润最大 核心素养系列 十六 直观想象 数形结合求解零点问题 在运用数形结合思想分析和解决问题时 要注意三 点 第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲 线的代数特征 对数学题目中的条件和结论既分析其 几何意义又分析其代数意义 第二是恰当设参 合理用参 建立关系 由数思形 以形想 数 做好数形转化 第三是正确确定参数的
