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1、庐山 1 3 2函数的极值 北师大版选修2 1第三章 问题情境 观察下图中P点附近图象从左到右的变化趋势 P点的函数值以及点P位置的特点 函数图象在P点附近从左侧到右侧由 上升 变为 下降 函数由单调递增变为单调递减 在P点附近 P点的位置最高 函数值最大 定义 函数y f x 在任何一点的函数值都不大于点的函数值 则称点为函数y f x 的极大值点 其函数值为函数的极大值 极大值 极大值与极小值统称极值 极大值点与极小值点统称为极值点 极小值 观察上述图象 试指出该函数的极值点与极值 并说出哪些是极大值点 哪些是极小值点 练习 问题1 你能找出函数的极小值点和极大值点吗 为什么 问题2 极小
2、值一定比极大值小吗 上述图象 观察图像回答下面问题 不一定 下图是导函数的图象 试找出函数的极值点 并指出哪些是极大值点 哪些是极小值点 a b x y x1 O x2 x3 x4 x5 x6 为极值点 x2 x2 x4 x4 为极大值点 为极小值点 3 极大值与极小值没有必然关系 极大值可能比极小值还小 注意 1 极值是某一点附近的小区间而言的 是函数的局部性质 不是整体的最值 2 函数的极值不一定唯一 在整个定义区间内可能有多个极大值和极小值 探究1 极值点处导数值 即切线斜率 有何特点 结论 极值点处 如果有切线 切线水平的 即 f x 0 f x1 0 f x2 0 f x3 0 思考
3、 若f x0 0 则x0是否为极值点 f x4 0 f x0 0 x0是可导函数f x 的极值点 解 1 f x 3x2 6x 9 解方程3x2 6x 9 0 得x1 1 x2 3 当x变化时 f x 与f x 的变化情况如下表 因此 当x 1时函数取得极大值 且极大值为f 1 10 当x 3时函数取得极小值 且极小值为f 3 22 f x 0 x1 极大值点两侧 极小值点两侧 f x 0 f x 0 f x 0 探究2 极值点两侧导数正负符号有何规律 x2 f x 0 f x 0 f x 0 极大值 f x 0 f x 0 极小值 f x 0 口诀 左正右负极大值左负右正极小值两侧同号无极值 求函数极值 极大值 极小值 的一般步骤 1 确定函数的定义域 2 求方程f x 0的根 3 用方程f x 0的根 顺次将函数的定义域分成若干个开区间 并列成表格 4 由f x 在方程f x 0的根左右的符号 来判断f x 在这个根处取极值的情况若f x 左正右负 则f x 为极大值 若f x 左负右正 则f x 为极小值 求导 求极点 列表 求极值 练一练 求下列函数的极值 小结 1 函数极值的定义 2 判断函数极值的方法 3 求函数极值的步骤 谢谢指导
