《高考数学（天津专用）大一轮精准复习课件：9.5 抛物线及其性质 .pptx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学（天津专用）大一轮精准复习课件：9.5 抛物线及其性质 .pptx（18页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、考点一抛物线及其标准方程 考点清单 考向基础平面内到一个定点F和一条定直线l F l 距离相等的点的轨迹叫做抛物线 点F叫做抛物线的 焦点 直线l叫做抛物线的 准线 抛物线关于过焦点F且与准线垂直的直线对称 这条直线叫抛物线的对称轴 简称抛物线的轴 在抛物线中 记焦点F到准线l的距离为p 以抛物线的焦点F到准线l的垂线段的中点为坐标原点 以抛物线的轴为坐标轴建立坐标系 可以得到抛物线的四种不同形式的标准方程y2 2px x2 2py 其中p 0 考向突破 考向一抛物线定义的应用 例1 2014课标 10 5分 已知抛物线C y2 8x的焦点为F 准线为l P是l上一点 Q是直线PF与C的一个交
2、点 若 4 则 QF A B 3C D 2 解析 4 点Q在线段PF上 且在两端点之间 过Q作QM l 垂足为M 由抛物线定义知 QF QM 设抛物线的准线l与x轴的交点为N 则 FN 4 又易知 PQM PFN 则 即 QM 3 即 QF 3 故选B 答案B 考向二求抛物线的标准方程 例2函数y ax 1 a 0且a 1 的图象恒过点P 则焦点在x轴上且过点P的抛物线的标准方程是 解析设抛物线的方程为y2 mx m 0 由题意知点P的坐标为 1 1 代入y2 mx 可得m 1 焦点在x轴上且过点P的抛物线的标准方程是y2 x 答案y2 x 考点二抛物线的几何性质 考向基础 考向突破 考向抛物
3、线几何性质的应用 例若抛物线y2 ax的焦点到其准线的距离是2 则a A 1B 2C 4D 8 解析 y2 ax 2p a 又 焦点到准线的距离为2 p 2 a 4 a 4 故选C 答案C 考点三抛物线中弦的相关问题 考向基础1 焦点弦的性质 1 焦半径与焦点弦 若P x0 y0 Q x1 y1 是抛物线上两动点 F是抛物线的焦点 且PQ过焦点 则线段PF称为抛物线的焦半径 线段PQ称为抛物线的焦点弦 如下表 2 以抛物线y2 2px p 0 为例 设AB是过抛物线焦点的一条弦 焦点弦 F是抛物线的焦点 A x1 y1 B x2 y2 A B在准线上的射影为A1 B1 则有以下结论 x1x2
4、y1y2 p2 若直线AB的倾斜角为 且A位于x轴上方 B位于x轴下方 则 AF BF AB x1 x2 p 其中 为直线AB的倾斜角 抛物线的通径长为2p 通径是最短的焦点弦 S AOB 其中 为直线AB的倾斜角 为定值 以AB为直径的圆与抛物线的准线相切 以AF 或BF 为直径的圆与y轴相切 以A1B1为直径的圆与直线AB相切 切点为F A1FB1 90 A O B1三点共线 B O A1三点也共线 2 如图所示 AB是过抛物线x2 2py p 0 焦点的一条弦 焦点弦 分别过A B作抛物线的切线 交于点P 连接PF 则有以下结论 1 点P的轨迹是一条直线 即抛物线的准线l y 2 两切线
5、互相垂直 即PA PB 3 PF AB 4 点P的坐标为 3 非焦点弦的性质 1 已知直线l与抛物线y2 2px p 0 交于A B两点 若OA OB 则直线l过定点 2p 0 反之亦成立 2 已知M x0 y0 是抛物线y2 2px p 0 上任意一点 点N a 0 是抛物线的对称轴上一点 则 MN min 考向突破 考向焦点弦的相关问题 例过抛物线y2 2px p 0 的焦点F的直线 斜率大于0 交抛物线于A B两点 点O是原点 如果 BF 3 BF AF AFO 那么 AF 的值为 A 1B C 3D 6 解析解法一 过焦点F的直线的斜率k 则方程为y 由得3x2 5px 0 即 2x
6、3p 6x p 0 所以x p或x 因为 BF AF 所以xB p xA 依题意得xB 2p 3 所以p 则 AF xA p 1 故选A 解法二 利用结论可得 又 BF 3 故 AF 1 故选A 答案A 方法1求抛物线标准方程的方法1 定义法 根据条件确定动点满足的几何特征 利用抛物线的定义确定轨迹类型 从而确定p的值 得到抛物线的标准方程 2 待定系数法 根据条件设出标准方程 再确定p的值 这里应注意抛物线的标准方程有四种形式 从简单化角度出发 焦点在x轴上的 设为y2 ax a 0 焦点在y轴上的 设为x2 ay a 0 方法技巧 例1抛物线C y2 2px p 0 的焦点为F 点O是坐标
7、原点 过点O F的圆与抛物线C的准线相切 且该圆的面积为36 则抛物线的方程为 解题导引 解析设满足题意的圆的圆心为M 根据题意可知圆心M在抛物线上 又 圆的面积为36 圆的半径为6 则 MF xM 6 即xM 6 又由 MO MF 可知xM 6 解得p 8 抛物线方程为y2 16x 答案y2 16x 方法2解决直线与抛物线位置关系问题的方法1 设直线l y kx b 抛物线y2 2px p 0 直线与抛物线交点的个数等价于方程组解的个数 也等价于方程ky2 2py 2bp 0解的个数 当k 0时 若 0 则直线和抛物线相交 有两个公共点 若 0 则直线和抛物线相切 有一个公共点 若 0 相交
8、 有一个公共点 特别地 当直线l的斜率不存在时 设l x m 则当m 0时 l与抛物线相交 有两个公共点 当m 0时 l与抛物线相切 有一个公共点 当m 0时 l与抛物线相离 无公共点 2 直线与抛物线相离 无交点 时 常求抛物线上的点到此直线的距离的 最小值 方法有两种 一是将距离d写成一个变量的函数 利用函数求之 二是利用切线法求 3 直线与抛物线相切时 求切线斜率 一种方法是利用 0求 另一种方法是利用导数求 4 当求解直线与抛物线相交的弦长问题时 利用弦长公式 AB k为直线的斜率 k 0 进行求解 例2已知F为抛物线C y2 4x的焦点 过点F的直线l交抛物线C于A B两点 若 AB 8 则线段AB的中点M到直线x 1 0的距离为 A 2B 4C 8D 16 解析如图 抛物线y2 4x的焦点坐标为F 1 0 准线为x 1 即x 1 0 分别过A B作准线的垂线 垂足分别为G D 则有 AB AF BF AG BD 8 过AB的中点M作准线的垂线 垂足为N 则MN为直角梯形ABDG的中位线 则 MN AG BD 4 即M到直线x 1 0的距离为4 故选B 答案B
