从大学数学看现代数学_高兵龙

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1、从大学数学看现代数学 西安交通大学城市学院高兵龙 简介 高兵龙 会计902班学生 党员 曾担任笃学书院团总支副书记 应用经济系团工委组织部部长 管理系学生会主席 数学建模协会会长等职 现任西安交通大学城市学院团委副书记 2010年10月创建数学建模协会 个人学习工作获得荣誉情况 2010年学生军事训练中荣获 优秀学员 2010 2011学年五四表彰中被评为 优秀学生会干部 2009 2010 2011 2012学年五四表彰中被评为 优秀共青团干部 2009 2010 2010 2011学年被学院评为 优秀学生干部 2009 2010 2010 2011学年荣获 国家励志奖学金 2011年9月在

2、第三届数学竞赛中荣获 二等奖 2011年在全国大学生数学建模竞赛中荣获 二等奖 2010年9月发表论文 独立学院文科生学习高等数学的探索与研究 荣获中国教育教学研究会教科论文 一等奖 2012年5月发表论文 新时期保持大学生党员先进性有效载体问题研究 荣获2012年 科教杯 学术论文大赛国家级 一等奖 数学 科学殿堂的钥匙强者翱翔的翅膀 国家级教学名师马知恩教授 0 一 数学的发展的主要阶段二 为什么要学习大学数学三 大学数学学习哪些内容四 如何才能学好大学数学五 从大学数学看现代数学 主要内容 数学发展的几个主要阶段 常量数学时期 即 初等数学 时期 在这个时期里 数学已由具体的阶段过渡到抽

3、象的阶段 并逐渐形成一门独立的 演绎的科学 算术 初等几何 初等代数 三角学等都已成为独立的分支 这个时期的基本成果就构成现在中学课程的主要内容 数学发展的几个主要阶段 变量数学时期 即 高等数学 时期 这个时期以17世纪中叶笛卡儿的解析几何的诞生为起点 在这一时期用运动和变化的观点来探究事物变化和发展的规律 变量与函数的概念进入了数学 随后产生了微积分 这个时期基本成果是解析几何 微积分 线性代数 微分方程等 这就是现在高等院校中的基础课程 数学发展的几个主要阶段 现代数学时期 这个时期始于19世纪中叶直到现在 在这个阶段 数学研究的对象被推广 这相应地引起了量的关系和空间形式在概念本身的重

4、大突破 现代数学不仅研究各种变化着的量的关系 而且研究各种量之间的可能关系和形式 数学基础学科之间 数学和物理等其他学科之间相互交叉和渗透 形成了许多边缘学科和综合性学科 集合论 计算数学 电子计算机等的出现和发展构成了现在丰富多彩 渗透到各个科学技术部门的现代数学 大学数学是高等院校许多专业学生必修的重要基础理论课程 数学主要是研究现实世界中的 数量关系 与 空间形式 世界上任何客观存在都有其 数 与 形 的属性特征 并且一切事物都发生变化 遵循量变到质变的规律 凡是研究量的大小 量的变化 量与量之间关系以及这些关系的变化 就少不了数学 同样 客观世界存在有各种不同的空间形式 因此 宇宙之大

5、 粒子之微 光速之快 实事之繁 无处不用数学 马克思说 一门科学 只有当它成功地运用数学时 才能达到真正完善的地步 恩格斯说 要辨证而又唯物地了解自然 就必须掌握数学 数学如今已经越来越被人们认为是在科学发展中被高度重视的课程 它不仅是各专业的后继课程所必需 而且它本身就是科学思维 逻辑分析的素质训练 通俗地说数学是思维方法的体操 自然科学各学科数学化的趋势 社会科学各部门定量化的要求 使许多学科都在直接间接地 或先或后地经历着一场数学化的进程 联合国教科文组织在一份调查报告中强调指出 目前科学研究工作的特点之一是各门学科的数学化 反过来科学技术的发展 又成为数学产生和发展的源泉与动力 数学有

6、一个特殊的位置 它是一个专门的领域 但又为其他科学领域提供思维的工具 大学数学主要分为 高等数学 线性代数 概率论与数理统计 高等数学的内容为两部分 即微积分学和空间解析几何 但主要是微积分学 微积分学研究的对象是函数 而极限则是微积分学的基础 也是最主要的推理方法 与微积分创立密切相关的科学技术问题 从数学角度归纳起来有四类 第一类是 在已知变速运动的路程为时间的函数时 求瞬时速度和加速度 第二类是 求已知曲线的切线 第三类是 求给定函数的最大值与最小值 第四类是 求给定曲线长 求已知平面曲线围成的面积 求已知曲面围成的体积 求物体的重心 已知变速运动物体的速度 加速度 求物体运动的路程与时

7、间的关系等 第一类 第二类问题为微分学的基本内容 属于求函数的导数问题 第三类问题为导数的应用 也是微分学的主要内容 第四类问题属于积分学的中心问题 这条曲线在点处的切线方程是 图中阴影部分的面积是怎样计算的 OB弧的长度是如何求出的 怎样得到的 问题 如图 用极限 导数 用极限 不定积分 定积分 用定积分的应用 图中阴影部分的图形绕轴 或轴 旋转一周的立体的体积有计算公式吗 图中阴影部分的图形绕轴 或轴 旋转一周的立体的表面积是多少 无穷多个数相加的和仍然是一个数吗 两电线杆之间的电线的长度是多少 用定积分的应用 二重积分 用级数 用定积分的应用 微分方程 用二重积分的应用 数学考研基本情况

8、 数学一 力学 机械 电气 信息 计算机等 1 高等数学 56 2 线性代数 22 3 概率论与数理统计 22 数学二 纺织 轻工 农业 林业 食品等 1 高等数学 78 2 线性代数 22 数学三 经济学 管理学门类等 1 微积分 56 2 线性代数 22 3 概率论与数理统计 22 高等数学考研主要内容 数学一 高等数学 1 函数 极限 连续 2 一元函数微分学 3 一元函数积分学 4 向量代数与空间解析几何 5 多元函数微分学 6 多元函数积分学 7 无穷级数 8 常微分方程 数学二 高等数学 1 函数 极限 连续 2 一元函数微分学 3 一元函数积分学 4 多元函数微分学 5 常微分方

9、程 数学三 微积分 1 函数 极限 连续 2 一元函数微分学 3 一元函数积分学 4 多元函数微分学 5 无穷级数 6 常微分方程与差分方程 要学好大学数学 必须了解大学数学的特点 大学数学具有三个显著的特点 1 高度的抽象性2 严谨的逻辑性3 广泛的应用性 1 高度的抽象性 数学的抽象性在简单的计算中就已经表现出来 我们运用抽象的数字 却并不打算每次都把它同具体的对象联系起来 2 严谨的逻辑性 数学的每一个定理 只有当它已经从逻辑的推论上严格地被证明了的时候 才能在数学中成立 3 广泛的应用性 大学数学广泛的应用性是很明显的 学好大学数学之 六部曲 一 坚持预习 理清思路 二 认真听课 学会

10、思考 三 勤记笔记 防止回生 四 及时复习 温故知新 五 完成作业 巩固知识 六 及时答疑 不留后患 根据中华人民共和国个人所得税法规定 个人工资 薪金所得应纳个人所得税 应纳所得税额的计算为 工资 薪金所得 以每月收入额减除费用2000元后的余额 为应纳税所得额 最后列出下面的税率表 我国工薪人员应纳多少税 个人所得税税率表 工资 薪金所得适用 我国工薪人员应纳多少税 若某人的月工资 薪金所得为元 请列出他应缴纳的税款与其工资 薪金所得之间的关系 解 按税法规定当元时 不必纳税 这时 当元时 纳税部分是税率为 所以 当元时 其中元不纳税 元应纳的税 即 元 再多的部分 即按 纳税 所以他应纳

11、税款为 我国工薪人员应纳多少税 依次可列出下面的函数关系式 产品利润中的极限问题 已知生产对汽车挡泥板的成本是 美元 每对的售价为5美元 于是售价对的收入为 1 出售对比出售对所产生的利润增长额为 当生产稳定 产量很大 时 这个增长额为试求这个极限值 2 生产了对挡泥板时 每对的平均成本为 同样当产品产量很大时 每对的成本大致是 试求这个极限值 产品利润中的极限问题 解 求实质上是求 拉船靠岸问题 如图所示 在离水面高度为的岸上 有人用绳子拉船靠岸 假定绳长为船位于离岸壁处 试问 当收绳速度为时 船的速度 加速度各是多少 解 三者构成了直角三角形 由勾股定理得 两端对时间求导 得 拉船靠岸问题

12、 为绳长 按速度定义 即为收绳速度船只能沿线在水平面上行驶逐渐靠近岸壁 因而应为船速将它们带入得船速 利用 1 式消去得 4 中均为常数 只有是变量 按加速度定义 将 4 式代入上式 得 工人上班何时效率最高 对某厂的上班工人的工作效率的研究表明 一个中等水平的工人早上8 00开始工作 在小时之后 生产出个晶体管收音机 问 在早上几点钟这个工人工作效率最高 解 求这个工人几点钟工作效率最高 就是问早上几点钟这个工人的生产率取得最大值 我们知道 一般地 对于函数若自变量在点有一个增量必然引起因变量的一个增量则比值就是当变动一数量时 关于的平均变化率 工人上班何时效率最高 在此题中就是一个中等水平

13、的工人的产量关于的平均生产率 当趋向于时 这个比值的极限值就称为在所给值时的变化率 在此题中就是一个中等水平的工人的产量关于的变化率 即在时刻的生产率 也就是说这个工人的生产率就是导函数 工人上班何时效率最高 假定上午班是从早上至中午则问题转化为求函数在区间上的最大值 的导函数是 当时 上式等于 由求函数最大值的方法知 当时 即在上午这个工人的工作效率最高 比较 高速公路出口处车辆平均行驶速度 某公路管理处在城市高速公路出口处 记录了几个星期内平均车辆行驶速度 数据统计表明 一个普通工作日的下午1 00至6 00之间 此口在时刻的平均车辆行驶速度为左右 试计算下午1 00至6 00内的平均车辆

14、行驶速度 解 一般地 连续函数在区间上的平均值 等于函数在区间上的定积分除以区间的长度 积分中值定理 高速公路出口处车辆平均行驶速度 此题目的是球函数在区间内的平均值 平均车辆行驶速度 解 依题意 总收益函数为 因而总利润函数为 最大利润问题 某厂生产两种产品 需求函数分别为其中分别为两种产品的价格 分别为两种产品的需求量 如果生产两种产品的总成本函数为试求两种产品的产量各是多少时可获得最大利润 由极值存在的必要条件 解得 因为 所以是极大值点 又因为实际问题有最大值 因此当两种产品的产量分别为时 可获得最大利润 此时的最大利润为 最大利润问题 如何确定商品价格浮动的规律 设某种商品的供给量与

15、需求量是只依赖于价格的线性函数 并假定在时间时价格的变化率与这时的过剩需求量成正比 试确定这种商品的价格随时间的变化规律 解 设 其中都是已知的正常数 1 式表明供给量是价格的递增函数 2 式表明需求量是价格的递减函数 如何确定商品价格浮动的规律 当供给量与需求量相等时 由 1 与 2 求出平衡价格为 容易看出 当供给量小于需求量时 即价格将上涨 这样市场价格就随时间的变化而围绕平衡价格上下波动 因而 我们可以设想价格是时间的函数 由假定知道 的变化率与成正比 即有 如何确定商品价格浮动的规律 其中是正的常数 将 1 与 2 代入上式得 其中都是正的常数 3 式是一个一阶线性微分方程 求通解如

16、下 如果已知初始价格则 3 式的特解为 即为商品价格随时间的变化规律 如何计划家庭教育基金 从1994年开始 我国逐步实行了大学收费制度 为了保障子女将来的教育经费 小张夫妇从他们的儿子出生时开始 每年向银行存入元作为家庭教育基金 若银行的年复利率为试写出第年后教育基金总额的表达式 预计当子女18岁进入大学时所需费用为30000元 按年复利率10 计算 小张每年应向银行存入多少元 解 设年后教育基金总额为每年向银行存入元 依据复利计算公式有如下递推关系 如何计划家庭教育基金 由 1 递推可得 由初始条件 2 可得 将 3 对求和 如何计划家庭教育基金 所以 年后的教育基金总额为 预试将代入 4 因此 小张每年应向银行存入586 40元 已知 求的值 解 由 解得 极限与定积分的综合应用 计算二重积分 其中 是由直线 及 所围成的闭区域 解 区域 所以 直角坐标系下二重积分的计算 求二重积分 其中 是由圆 直线 及轴所围成的第一象限部分 解 区域 所以 极坐标系下二重积分的计算 行列式的计算 计算行列式 解 有唯一解 无解 有无穷多组解 并在有无穷多解的情况下 求出其通解 解 将方程