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1、第 1 页 共 16 页 高考数学模拟试卷 高考数学模拟试卷 4 月份 月份 题号 一二三总分 得分 一 选择题 本大题共 10 小题 共 40 0 分 1 集合的真子集的个数是 A B C D 2 双曲线的渐近线方程是 A 2x y 0B x 2y 0C 4x y 0D x 4y 0 3 若实数满足不等式组则的最小值等于 A B C D 4 已知函数满足 设 则 是 的 A 充分不必要条件B 必要不充分条件 C 充要条件D 既不充分也不必要条件 5 函数的图象可能是 A B C D 6 已知函数 f x sin x 0 x 为 f x 的零点 x 为 y f x 图象的对称轴 且 f x 在
2、 单调 则 的最大值为 A 12B 11C 10D 9 7 设 0 p 1 随机变量 的分布列是 101 P 则当 p 在内增大时 A E 减小 D 减小B E 减小 D 增大 C E 增大 D 减小D E 增大 D 增大 8 如图 在直三棱柱 ABC A1B1C1中 AB AC 1 点 E O 分别是线段 C1C BC 的中点 第 2 页 共 16 页 分别记二面角 F OB1 E F OE B1 F EB1 O 的平面角为 则下 列结论正确的是 A B C D 9 已知是平面内三个单位向量 若 则的最小值 A B C D 5 10 记递增数列 an 的前 n 项和为 Sn 若 a1 1 a
3、9 9 且对 an 中的任意两项 ai与 aj 1 i j 9 其和 ai aj 或其积 aiaj 或其商 仍是该数列中的项 则 A a5 3 S9 36B a5 3 S9 36C a6 3 S9 36D a6 3 S9 36 二 填空题 本大题共 7 小题 共 38 0 分 11 设 i 为虚数单位 给定复数 则 z 的虚部为 z 12 某几何体的三视图如图所示 则该几何体的体积是 表面积是 13 已知 a b c 分别为 ABC 的三边 若 a 6 b 7 c 8 则 cosC ABC 的外接圆半径等于 14 如图 将一个边长为 1 的正三角形分成 4 个全等的正三角形 第一次挖去中间的一
4、 个 小三角形 将剩下的 3 个小正三角形 分别再从中间挖去一个小三角形 保留它们 的边 重复操作以上的做法 得到的集合为希尔宾斯基三角形 设 An是前 n 次挖 去的小三角形面积之和 如 A1是第 1 次挖去的中间小三角形面积 A2是前 2 次挖 去的 4 个小三角形面积之和 则 A2 An 第 3 页 共 16 页 15 若 2x 1 6 a0 a1 x 1 a2 x 1 2 a6 x 1 6 则 a0 a1 2a2 3a3 4a4 5a5 6a6 16 某市公租房源位于 三个小区 每位申请人只能申请其中一个小区的房子 申请其中任意一个小区的房子是等可能的 则该市的任意 位申请人中 恰好有
5、 人 申请 小区房源的概率是 用数字作答 17 如图 椭圆 的离心率为 e F 是 的右焦点 点 P 是 上第一象限内任意一 点 若 e 则 e 的 取值范围是 三 解答题 本大题共 5 小题 共 72 0 分 18 已知函数 求 f 2019 的值 若 f 1 且 0 求 cos 的值 19 如图 在矩形 ABCD 中 AB 4 AD 3 点 E F 分别是线段 DC BC 的中点 分 别将 DAE 沿 AE 折起 CEF 沿 EF 折起 使得 D C 重合于点 G 连结 AF 求证 平面 GEF 平面 GAF 求直线 GF 与平面 GAE 所成角的正弦值 第 4 页 共 16 页 20 设
6、等比数列 an 的前 n 项和为 Sn 若 求数列 an 的通项公式 在 an和 an 1之间插入 n 个实数 使得这 n 2 个数依次组成公差为 dn的等差 数列 设数列的前 n 项和为 Tn 求证 Tn 2 21 已知三点 P Q A 在抛物线 x2 4y 上 当点 A 的坐标为 2 1 时 若直线 PQ 过点 T 2 4 求此时直线 AP 与直线 AQ 的斜率之积 当 AP AQ 且 AP AQ 时 求 APQ 面积的最小值 第 5 页 共 16 页 22 已知函数 f x x2e3x 若 x 0 求证 f x 若 x 0 恒有 f x k 3 x 2lnx 1 求实数 k 的取值范围
7、第 6 页 共 16 页 答案和解析答案和解析 1 答案 C 解析 解 因为集合 2 0 1 9 有 4 个元素 2 0 1 9 的真子集个数为 故选 C 集合 2 0 1 9 有 4 个元素 从而得出该集合的真子集个数 考查列举法的定义 集合元素的概念 以及真子集的概念 组合知识的运用 2 答案 B 解析 分析 本题考查了双曲线的渐进方程 把双曲线的标准方程中的 1 转化成 0 即可求出渐 进方程 属于基础题 渐近线方程是 y2 0 整理后就得到双曲线的渐近线 解答 解 双曲线 其渐近线方程是 y2 0 整理得 x 2y 0 故选 B 3 答案 A 解析 分析 本题考查了简单线性规划问题 求
8、目标函数的最值首先画出可行域 利用几何意义求值 首先画出可行域 利用目标函数的几何意义求 z 的最小值 解答 解 作出实数 x y 满足不等式组表示的平面区域 如图示 阴影部分 由得 A 1 1 第 7 页 共 16 页 由 z 3x y 得 y 3x z 平移 y 3x 易知过点 A 时直线在 y 上截距最小 所以 zmin 3 1 1 4 故选 A 4 答案 B 解析 分析 本题主要考查充分条件和必要条件的判断 涉及函数的概念 属基础题 作为函数 对于定义域内 x 的每一个值 有且只有一个 y 的值与之对应 但是可以有不 同的 x 对应于同一个 y 解答 解 若 x0 4 则 f x0 f
9、 4 17 即 y0 17 成立 作为函数 对于定义域内 x 的每一个值 有且只有一个 y 的值与之对应 但是可以有不 同的 x 对应于同一个 y 比如 f x x 1 则由 f x0 y0 17 得 x0 4 y0 17 是 x0 4 的必要不充分条件 故选 B 5 答案 D 解析 分析 本题主要考查函数图象的识别和判断 利用函数的奇偶性和对称性的关系 根据函数零 点判断函数的正负是解决本题的关键 判断函数 f x 的奇偶性 结合图象的对称性以及函数在 x 轴右侧的函数零点判断函数 的正负进行判断即可 解答 解 f x ln x cos 2x lncos2x ln x cos2x f x 则
10、函数 f x 是奇函数 图象关于原点对称 排除 A B 令得或 所以 x 轴右侧的零点为 在上取 则 排除 C 故选 D 6 答案 B 解析 解 函数 f x sin x 0 x 为 f x 的零点 x 为 y f x 图象的对称轴 k 且 k k k Z 2 k k 1 即 为奇数 f x 在 单调 12 由 可得 的最大值为 11 第 8 页 共 16 页 当 11 时 由 x 为 y f x 图象的对称轴 可得 11 k k Z 故有 k 满足 x 为 f x 的零点 同时也满足满足 f x 在 单调 故 11 为 的最大值 故选 B 由题意可得 k 且 k 故有 2 k k 1 再根据
11、 求得 12 由 可得 的最大值 检验 的这个值满足条件 本题主要考查正弦函数的图象的特征 正弦函数的周期性以及它的图象的对称性 属于 中档题 7 答案 C 解析 分析 本题考查了利用随机变量的分布列求随机变量的期望与方差 属于中档题 E 1 D 判断其在内的单 调性即可 解答 解 根据题意 E 1 在 p 内递增 D 是以为对称轴 开口向下的抛物线 在上单调递减 故选 C 8 答案 D 解析 解 以 D 为原点 DA 为 x 轴 DC 为 y 轴 DD1为 z 轴 建立空间直角坐标系 则 F 1 0 O 0 E 0 0 B1 1 1 设平面 OB1E 的法向量 x y z 则 取 x 1 得
12、 1 1 0 第 9 页 共 16 页 同理可求平面 OB1F 的法向量 平面 OEF 的法向量 平面 EFB1的法向量 故选 D 以 D 为原点 DA 为 x 轴 DC 为 y 轴 DD1为 z 轴 建立空间直角坐标系 利用向量法 求解二面角的余弦值得答案 本题考查二面角的大小的判断 考查空间中线线 线面 面面间的位置关系等基础知识 考查运算求解能力 是中档题 9 答案 A 解析 解 根据题意设 1 0 0 1 对应的点 C 在单位圆上 2 2 2 2 3 2 32 0 所以 2 2 2 3 2 表示 C 点到点 2 0 和 3 2 的距离之和 过点 2 0 和 3 2 的直线为 2x 5y
13、 4 0 原点到直线 2x 5y 4 0 的距离为 1 所以与单位圆相交 所以 2 3 2 的最小值为点 2 0 和 3 2 之间的距离 即 故选 A 所以可以把他们当成平面直角坐标系的基向量 2 2 由阿波罗尼斯圆的性 质 可以转化为 2 2 本题考察平面向量的坐标运算 用到了平面几何中的阿波罗尼斯圆的结论 解析几何中 直线与圆的位置关系 综合性很强 属于中档题 10 答案 D 解析 解 ai aj 或其积 aiaj 或其商 仍是该数列中的项 a2 a9或者 a2a9或者 是该数列中的项 又 数列 an 是递增数列 a1 a2 a3 a9 a2 a9 a9 a2a9 a9 只有 是该数列中的
14、项 同理可以得到 也是该数列中的项 且有 a1 a9 a5 3 或 a5 3 舍 a6 3 根据 a1 1 a5 3 a9 9 第 10 页 共 16 页 同理易得 a2 a3 a4 a6 a7 a8 S9 a1 a2 a9 36 故选 D 由题意可得 从而得到 a5 3 再由 a5 3 就可以得出其它各项的值 进而判断出 S9 的范围 本题考查数列的新定义的理解和运用 以及运算能力和推理能力 属于中档题 11 答案 2 解析 解 z 的虚部为 2 z 故答案为 2 利用复数代数形式的乘除运算化简 再由复数模的计算公式求解 本题考查复数代数形式的乘除运算 考查复数模的求法 是基础题 12 答案
15、 144 12 168 6 解析 解 由已知中的三视图可得该几何体是一个正方体挖去 一个圆锥所得的组合体 其表面积 S 2 6 6 4 4 4 9 6 5 168 6 几何体的体积为 144 12 故答案为 144 12 168 6 由已知中的三视图可得该几何体是一个正方体挖去一个圆锥所得的组合体 利用公式求 解即可 本题考查的知识点是由三视图求表面积 根据已知中的三视图分析出几何体的形状 是 解答的关键 13 答案 解析 解 a 6 b 7 c 8 cosC sinC 设 ABC 的外接圆半径 R 由正弦定理可得 2R 解得 ABC 的外接圆半径 R 故答案为 由已知利用余弦定理可求 cos
16、C 的值 根据同角三角函数基本关系式可求 sinC 的值 进 而根据正弦定理即可计算得解 第 11 页 共 16 页 本题主要考查了余弦定理 同角三角函数基本关系式 正弦定理在解三角形中的应用 考查了计算能力和转化思想 属于基础题 14 答案 解析 解 由题意 可知 原等边三角形的面积 A A1 A A2 A1 3 A1 由题意 可知 每次都是在前一次的基础上挖去几个相同大小的三角形 第一次挖去的三角形是原等边三角形的 第一次只挖去 1 个三角形 第二次挖去的三角形是原等边三角形的 第一次只挖去 3 个三角形 第三次挖去的三角形是原等边三角形的 3 第一次只挖去 32个三角形 第 n 次挖去的三角形是原等边三角形的 n 第一次只挖去 3n 1个三角形 An An 1 3n 1 n A 3n 1 n n 2 且 n N A1 A2 A1 A3 A2 An An 1 An 1 故答案为 本题要逐步观察 每一次挖去的三角形都是前一次三角形的 每一次只挖去 3n 1个三 角形 由此规律不难发现 An与 An 1的关系 然后根据累加法即可求出 An的值 本题主要考查对规律的观察理解能力 以及运用
