解析几何_求圆的轨迹方程(专题一)师用

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1、 学习参考 专题专题一 求圆圆的轨轨迹方程 教学教学目标标 1 掌握直线与圆的标准方程与一般方程 能根据问题的条件选择适当的形式求圆的方程 2 掌握直线与圆的位置关系 可以应用直线与圆的位置关系求圆的方程 3 理解圆的标准方程与一般方程之间的关系 会进行互化 教学教学重难难点 1 掌握圆的标准方程与一般方程 能根据问题的条件选择适当的形式求圆的方程 2 会求曲线的轨迹方程 圆 教学教学过过程 第一部分 知识识点回顾顾 一 圆圆的方程 1 圆的标准方程 22 2 xaybr 2 圆的一般方程 2222 0 DE4F0 xyDxEyF 特别别提醒 只有当时 方程才表示圆心为 22 DE4F0 22

2、 0 xyDxEyF 22 DE 半径为的圆 22 1 4 2 DEF 思考 二元二次方程表示圆的充要条件是什么 22 0AxBxyCyDxEyF 答案 且且 0 AC 0B 22 40DEAF 3 圆的参数方程 为参数 其中圆心为 半径为 圆的参数方程的主 cos sin xar ybr a br 要应用是三角换元 222 cos sinxyrxryr 22 xyt cos sin 0 xryrrt 学习参考 4 为直径端点的圆方程如 1122 A x yB xy 1212 0 xxxxyyyy 1 圆 C 与圆关于直线对称 则圆 C 的方程为 22 1 1xy yx 答 22 1 1xy

3、2 圆心在直线上 且与两坐标轴均相切的圆的标准方程是 32 yx 答 或 9 3 3 22 yx1 1 1 22 yx 3 已知是圆 为参数 上的点 则圆的普通方程为 1 3 P cos sin xr yr 02 P 点对应的值为 过 P 点的圆的切线方程是 答 22 4xy 2 3 340 xy 4 如果直线 将圆 x2 y2 2x 4y 0 平分 且不过第四象限 那么 的斜率的取值范围是 ll 答 0 2 5 方程 x2 y x y k 0 表示一个圆 则实数 k 的取值范围为 答 2 1 k 6 若 为参数 若 3cos 3sin x Mx y y 0 bxyyxN 则 b 的取值范围是

4、 答 NM 3 3 2 二 点与与圆圆的位置关关系 已知点及圆 00 M xy 22 2 C0 x aybrr 1 点 M 在圆 C 外 22 2 00 CMrxaybr 2 点 M 在圆 C 内 22 2 00 CMrxaybr 3 点 M 在圆 C 上 如 2 0 CMrxa 2 2 0 ybr 点 P 5a 1 12a 在圆 x y2 1 的内部 则 a 的取值范围是 答 13 1 a 三 直线线与与圆圆的位置关关系 直线和圆有相交 相离 相切 可从代数和几 0l AxByC 22 2 C xaybr 0r 何两个方面来判断 1 代数方法 判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况 相交

5、相离 相切 0 0 0 学习参考 2 几何方法 比较圆心到直线的距离与半径的大小 设圆心到直线的距离为 则相交 相离 相切 提醒 判断直线与圆ddr dr dr 的位置关系一般用几何方法较简捷 如 1 圆与直线 的位置关系为 122 22 yxsin10 2 xyR k kz 答 相离 2 若直线与圆切于点 则的值 30axby 22 410 xyx 1 2 P ab 答 2 3 直线被曲线所截得的弦长等于 20 xy 22 62xyxy 150 答 4 5 4 一束光线从点 A 1 1 出发经 x 轴反射到圆 C x 2 2 y 3 2 1 上的最短路程是 答 4 5 已知是圆内一点 现有以

6、为中点的弦所在直线和直线 0 M a b ab 222 O xyr Mm 则 2 l axbyr A 且 与圆相交 B 且 与圆相交 mlllm l C 且 与圆相离 D 且 与圆相离 mlllm l 答 C 6 已知圆 C 直线 L 求证 对 直线 L 与圆 22 1 5xy 10mxym mR C 总有两个不同的交点 设 L 与圆 C 交于 A B 两点 若 求 L 的倾斜角 求直线 L 中 17AB 截圆所得的弦最长及最短时的直线方程 答 或 最长 最短 60 120 1y 1x 第二部分 直线线与与圆圆的典型例题题 一 求圆圆的轨轨迹方程 学习参考 1 用定义义法求圆圆的轨轨迹方程 例

7、 1 设方程 若该方程表示一个圆 求 m 的取 2224 2 3 2 1 4 1690 xymxmym 值范围及这时圆心的轨迹方程 分析 配成圆的标准方程再求解 解 配方得 2 2 22 3 1 4 1 67xmymmm 该方程表示圆 则有 得 此时圆心的轨迹方程为 2 1 670mm 1 1 7 m 2 3 41 xm ym 消去m 得 由得x m 3 2 4 3 1yx 1 1 7 m 20 4 7 所求的轨迹方程是 2 4 3 1yx 20 4 7 x 注意 方程表示圆的充要条件 求轨迹方程时 一定要讨论变量的取值范围 如题中 20 4 7 x 变变式 1 方程表示圆 求实数 a 的取值

8、范围 并求出其中半径最小的 22 4 1 40axayaxy 圆的方程 解 原方程可化为 2 2 2 2 2 1 24 22 aaa xy aaa 当 a时 原方程表示圆 2 220 aa 0 又 2 222 222 2222 44 4 22 22 aaaaaa r aaa 当 所以半径最小的圆方程为 min 2 2ar 22 112xy 2 用待定系数数法求圆圆的轨轨迹方程 例 2 求过两点 4 1 A 2 3 B且圆心在直线0 y上的圆的标准方程并判断点 4 2 P与圆的关 系 分析 欲求圆的标准方程 需求出圆心坐标的圆的半径的大小 而要判断点P与圆的位置关系 只 须看点P与圆心的距离和圆

9、的半径的大小关系 若距离大于半径 则点在圆外 若距离等于半径 则点 学习参考 在圆上 若距离小于半径 则点在圆内 解法一 待定系数法 设圆的标准方程为 222 rbyax 圆心在0 y上 故0 b 圆的方程为 222 ryax 又 该圆过 4 1 A 2 3 B两点 22 22 4 3 16 1 ra ra 解之得 1 a 20 2 r 所以所求圆的方程为20 1 22 yx 解法二 直接求出圆心坐标和半径 因为圆过 4 1 A 2 3 B两点 所以圆心C必在线段AB的垂直平分线l上 又因为 1 31 24 AB k 故l的斜率为 1 又AB的中点为 3 2 故AB的垂直平分线l的方程为 23

10、 xy即01 yx 又知圆心在直线0 y上 故圆心坐标为 0 1 C 半径204 11 22 ACr 故所求圆的方程为20 1 22 yx 又点 4 2 P到圆心 0 1 C的距离为 rPCd 254 12 22 点P在圆外 说说明 本题利用两种方法求解了圆的方程 都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量 然后根据 圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系 若将点换成直线又该如何来判定直 线与圆的位置关系呢 例 3 求半径为 4 与圆相切 且和直线相切的圆的方程 0424 22 yxyx0 y 分析 根据问题的特征 宜用圆的标准方程求解 解 则题意 设所求圆的方程为圆 222

11、rbyaxC 学习参考 圆与直线相切 且半径为 4 则圆心的坐标为或 C0 yC 4 1 aC 4 2 aC 又已知圆的圆心的坐标为 半径为 3 0424 22 yxyxA 1 2 若两圆相切 则或 734 CA134 CA 1 当时 或 无解 故可得 4 1 aC 222 7 14 2 a 222 1 14 2 a1022 a 所求圆方程为 或 222 4 4 1022 yx 222 4 4 1022 yx 2 当时 或 无解 故 4 2 aC 222 7 14 2 a 222 1 14 2 a622 a 所求圆的方程为 或 222 4 4 622 yx 222 4 4 622 yx 说说明

12、 对本题 易发生以下误解 由题意 所求圆与直线相切且半径为 4 则圆心坐标为 且方程形如0 y 4 aC 222 4 4 yax 又圆 即 其圆心为 半径为 3 0424 22 yxyx 222 3 1 2 yx 1 2 A 若两圆相切 则 故 解之得 34 CA 222 7 14 2 a1022 a 所以欲求圆的方程为 或 222 4 4 1022 yx 222 4 4 1022 yx 上述误误解只考虑虑了圆圆心在直线线上方的情形 而疏漏了圆圆心在直线线下方的情形 另外 误误解0 y0 y 中没没有考虑虑两两圆圆内内切的情况况 也是不全面的 点评评 在解决求圆的方程这类问题时 应当注意以下几

13、点 1 确定圆方程首先明确是标准方程还是一般方程 2 根据几何关系 如本例的相切 弦长等 建立方程求得 或 abrDEF 3 待定系数法的应用 解答中要尽量减少未知量的个数 3 用几何方法求圆圆的轨轨迹方程 例 4 设圆满足 截轴所得弦长为 2 被轴分成两段圆弧 其弧长的比为 3 1 在满足条件 yx 的所有圆中 求圆心到直线的距离最小的圆的方程 02 yxl 分析 注意挖掘题目的条件 充分利用圆的几何性质解决问题 学习参考 解法一 设圆心为 半径为 则点到轴 轴的距离分别为 baPrPxy b a 由题设圆截轴所得劣弧对的圆心角为 知圆截轴的弦长为 故Px 90Px2r 22 2br 又圆截

14、轴所得的弦长为 所以有 从而得 Py21 22 ar12 22 ab 又点到直线的距离为 baP02 yx 2 5 ab d 所以当且仅当时上式等号成立 此时 从而取得最小值 ba 15 2 dd 解此方程组得 由于知于是 所求圆的方程是 22 2br 2r 或 2 1 1 22 yx2 1 1 22 yx 解法二 同解法一得 222 2 25 5 44 55 ab dabd abbdd 得 将代入上式 整理得 12 22 ba24 5510 22 bdbd 把它看作b的二次方程 由于方程有实根 故判别式非负 即 得 0 15 8 2 d15 2 d 所以有最小值1 从而有最小值 2 5dd

15、5 5 将其代入 式得2b2 4b 2 0 解得b 1 将b 1代入r2 2b2 得r2 2 由r2 a2 1得a 1 综上 a 1 b 1 r2 2 由 a 2b 1知a b同号 于是 所求圆的方程是 或 2 1 1 22 yx2 1 1 22 yx 点拨拨 求圆的方程通常有两类方法 一是几何法 即通过研究圆的性质 直线和圆 圆和圆的位置关系进 学习参考 而求得圆的基本量 圆心 半径 和圆的方程 二是代数法 即根据题意设出圆的方程 再利用条件得到有 关方程系数的方程组 解方程组得到方程系数 从而求出圆的方程 4 直线线与与圆圆的位置关关系 例 5 在平面直角坐标系中 已知圆心在第二象限 半径

16、为的圆与直线相切于坐xoy2 2Cyx 标原点 求圆的方程 OC 解 1 设圆心坐标为 m n m0 则该圆的方程为 x m 2 y n 2 8 已知该圆与直线y x 相切 那么圆心到该直线的距离等于圆的半径 则 2 即 4 2 nm 2nm 又圆与直线切于原点 将点 0 0 代入得 m2 n2 8 联立方程 和 组成方程组解得 2 2 n m 故 圆的方程为 x 2 2 y 2 2 8 点拨拨 解决圆的综合问题时 一方面要充分利用圆的平面几何知识来解决问题 另一方面还要注意几何问题代 数化的思想运用 第三部分 课课堂练习 关于 x y 的方程 Ax2 Bxy Cy2 Dx Ey F 0 表示一个圆的充要条件是 B 0 且 A C 0 D2 E2 4AF 0 2 过点 P 8 1 Q 5 12 R 17 4 三点的圆的圆心坐标是 5 1 3 若两直线 y x 2k 与 y 2x k 1 的交点 P 在圆 x2 y2 4 的内部 则 k 的范围是 1 1 5 k 4 已知圆心为点 2 3 一条直径的两个端点恰好落在两个坐标轴上 则这个圆的方程是 22 460 xyxy 5 直线