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1、1 3 3函数的最大 小 值与导数 目标定位1 理解函数最值的概念 了解其与函数极值的区别与联系 2 会求某闭区间上函数的最值 端点 1 函数f x 在闭区间 a b 上的最值函数f x 在闭区间 a b 上的图象是一条连续不断的曲线 则该函数在 a b 上一定能够取得最大值与最小值 函数的最值必在 处或 处取得 自主预习 2 求函数y f x 在 a b 上的最值的步骤 1 求函数y f x 在 a b 内的 2 将函数y f x 的各极值与 的函数值f a f b 比较 其中最大的一个是 最小的一个是 极值点 极值 端点处 最大值 最小值 3 函数在开区间 a b 的最值在开区间 a b
2、内连续的函数不一定有最大值与最小值 若函数f x 在开区间I上只有一个极值 且是极大 小 值 则这个极大 小 值就是函数f x 在区间I上的最大 小 值 4 极值与最值的意义 1 最值是在区间 a b 上的函数值相比较最大 小 的值 2 极值是在区间 a b 上的某一个数值x0附近相比较最大 小 的值 1 思考题 1 函数在闭区间上的极大值就是最大值吗 极小值就是最小值吗 提示不一定 函数在闭区间上的极大值不一定是最大值 还要与端点处的函数值比较 最大的即最大值 同理 闭区间上的极小值也不一定是最小值 2 函数在区间 a b 上的最值一定在端点处取得吗 提示不一定 还与函数在区间上的单调性 极
3、值有关 即时自测 2 函数f x x3 3x2 2在区间 1 1 上的最大值是 A 1B 0C 2D 4解析f x 3x2 6x 令f x 0 得x 0或2 f x 在 1 0 上是增函数 f x 在 0 1 上是减函数 f x max f x 极大值 f 0 2 答案C 3 函数f x x lnx的最小值为 答案1 4 函数f x ex x e为自然对数的底数 在区间 1 1 上的最大值是 答案e 1 类型一函数在闭区间上的最值 互动探究 例1 求下列各函数的最值 1 f x x4 2x2 3 x 3 2 2 f x x3 3x2 6x 2 x 1 1 思路探究 探究点一闭区间上连续函数的最
4、值与这个区间端点的函数值和区间内的极值有何关系 提示函数在闭区间上的最值为其在这个区间端点的函数值和区间内的极值中的最大值与最小值 探究点二函数的极值和函数的最值有何关系 提示 1 函数的极值是函数在某一点附近的局部概念 函数的最大值和最小值是一个整体性概念 2 函数的最大值 最小值是比较整个定义区间的函数值得出的 函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的 函数的极值可以有多个 但最值只能有一个 3 极值只能在区间内取得 最值则可以在端点处取得 解 1 f x 4x3 4x 令f x 4x x 1 x 1 0 得x 1 x 0 x 1 当x变化时 f x 及f x 的变化情况如下表 当x 3时
5、 f x 取最小值 60 当x 1或x 1时 f x 取最大值4 2 f x 3x2 6x 6 3 x2 2x 2 3 x 1 2 3 f x 在 1 1 内恒大于0 f x 在 1 1 上为增函数 故x 1时 f x 最小值 12 x 1时 f x 最大值 2 即f x 的最小值为 12 最大值为2 规律方法 1 求函数的最值 显然求极值是关键的一环 但仅仅是求最值 可用下面简化的方法求得 求出导数为零的点 比较这些点与端点处函数值的大小 就可求出函数的最大值和最小值 2 若函数在闭区间 a b 上连续且单调 则最大 最小值在端点处取得 类型二含参数的函数的最值问题 例2 已知a是实数 函数
6、f x x2 x a 求f x 在区间 0 2 上的最大值 规律方法由于参数的取值范围不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化 从而导致最值的变化 所以解决这类问题常需要分类讨论 并结合不等式的知识进行求解 类型三函数最值的应用 例3 设函数f x tx2 2t2x t 1 x R t 0 1 求f x 的最小值h t 2 若h t 2t m对t 0 2 恒成立 求实数m的取值范围 解 1 f x t x t 2 t3 t 1 x R t 0 当x t时 f x 取最小值f t t3 t 1 即h t t3 t 1 2 令g t h t 2t m t3 3t 1 m 由g t 3t2 3 0得
7、t 1 t 1 不合题意 舍去 当t变化时 g t g t 的变化情况如下表 对t 0 2 当t 1时 g t max 1 m h t 1 故实数m的取值范围是 1 规律方法 1 恒成立 问题向最值问题转化是一种常见的题型 一般地 可采用分离参数法进行转化 f x 恒成立 f x max f x 恒成立 f x min 对于不能分离参数的恒成立问题 直接求含参函数的最值即可 2 此类问题特别要小心 最值能否取得到 和 不等式中是否含等号 的情况 以此来确定参数的范围能否取得 训练3 设函数f x 2x3 9x2 12x 8c 1 若对任意的x 0 3 都有f x c2成立 求c的取值范围 2
8、若对任意的x 0 3 都有f x c2成立 求c的取值范围 解 1 f x 6x2 18x 12 6 x 1 x 2 当x 0 1 时 f x 0 当x 1 2 时 f x 0 当x 2 3 时 f x 0 当x 1时 f x 取极大值f 1 5 8c 又f 3 9 8c f 1 x 0 3 时 f x 的最大值为f 3 9 8c 对任意的x 0 3 有f x c2恒成立 9 8c c2 即c 1或c 9 c的取值范围为 1 9 2 由 1 知f x f 3 9 8c 9 8c c2 即c 1或c 9 c的取值范围为 1 9 课堂小结 1 求函数的最值时 应注意以下几点 1 函数的极值是在局部
9、范围内讨论问题 是一个局部概念 而函数的最值是对整个定义域而言 是在整体范围内讨论问题 是一个整体性的概念 2 闭区间 a b 上的连续函数一定有最值 开区间 a b 内的可导函数不一定有最值 但若有唯一的极值 则此极值必是函数的最值 3 函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个 而函数的极值则可能不止一个 也可能没有极值 并且极大值 极小值 不一定就是最大值 最小值 2 求含参数的函数最值 可分类讨论求解 3 恒成立 问题可转化为函数最值问题 答案C 答案A 2 f x 的两个函数在无限制条件时图象如图 由 1 知 当a 1时 f x 取得最大值2 当a 1时 y 2x在x a时无最大值 且 2a 2 所以a 1 答案 1 2 2 1
