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1、 1 1 2四种命题 1 1 3四种命题间的相互关系 课标解读 1 了解四种命题的概念 会写出所给命题的逆命题 否命题和逆否命题 2 认识四种命题之间的关系以及真假性之间的联系 3 会利用命题的等价性解决问题 1 原命题与逆命题 教材知识梳理 条件 结论 若q 则p 2 原命题与否命题 否定 3 原命题与逆否命题 否定 互换 4 四种命题的真假关系 1 一般地 四种命题的真假性有且仅有下面四种情况 真 真 真 真 假 假 假 2 四种命题的真假性之间的关系 两个命题互为 它们有相同的真假性 两个命题为 或 其真假性没有关系 逆否命题 互逆命题 互否命题 知识点一四种命题之间的关系探究1 结合四
2、种命题间的关系图 思考下列问题 1 判断两个命题之间的关系关键看命题的条件与结论的哪方面 提示判断两个命题之间的关系关键看两个命题的条件和结论之间是否互换了 是否都否定了 2 一个命题的逆命题与否命题是等价命题吗 提示可以通过命题的结构形式 即它的条件和结论分析 逆命题与否命题是互为逆否命题 故逆命题与否命题是等价的 核心要点探究 探究2 根据四种命题之间的关系 完成下列填空 1 一个命题的逆命题和逆否命题的关系是 2 若一个命题的否命题为真 则这个命题的逆命题的逆否命题是 命题 填 真 假 提示 1 互为否命题 2 真 知识点二四种命题的真假性及等价命题根据四种命题的真假性 讨论下列问题 探
3、究1 四种命题之间哪些命题具有相同的真假性 提示原命题与其逆否命题具有相同的真假性 原命题的逆命题与原命题的否命题具有相同的真假性 探究2 在四种命题中 真命题的个数可能有几个 提示因为原命题与逆否命题 逆命题与否命题均互为逆否命题 它们同真或同假 所以真命题的个数可能是0 2或4 探究3 当判断一个命题的真假比较困难时可否利用其逆否命题的真假判断 提示因为原命题与逆否命题总是具有相同的真假性 所以当判断一个命题的真假比较困难时 可以利用它与逆否命题的等价性来证明 在有些题目中 也会用到反证法这种逆向思维的思路来分析和解决问题 把下列命题改写成 若p 则q 的形式 并写出它们的逆命题 否命题与
4、逆否命题 1 全等三角形的对应边相等 2 当x 2时 x2 3x 2 0 题型一四种命题的概念 例1 自主解答 1 原命题 若两个三角形全等 则这两个三角形三边对应相等 逆命题 若两个三角形三边对应相等 则这两个三角形全等 否命题 若两个三角形不全等 则这两个三角形三边对应不相等 逆否命题 若两个三角形三边对应不相等 则这两个三角形不全等 2 原命题 若x 2 则x2 3x 2 0 逆命题 若x2 3x 2 0 则x 2 否命题 若x 2 则x2 3x 2 0 逆否命题 若x2 3x 2 0 则x 2 规律总结 1 由原命题写出其他三种命题 关键要分清原命题的条件和结论 将条件与结论互换即得逆
5、命题 将条件和结论同时否定即得否命题 将条件和结论互换的同时 进行否定即得逆否命题 2 如果原命题含有大前提 在写出原命题的逆命题 否命题 逆否命题时 必须注意各命题中的大前提不变 1 下列说法错误的是 四条边相等的四边形是正方形 的否命题是 四条边相等的四边形不是正方形 若x2 9 则x 3 的否命题的逆否命题是 若x2 9 则x 3 若a b 则7a 7b 的逆否命题是 若7a 7b 则a b 变式训练 解析 错 否命题的条件 结论同时否定 错 否命题的逆否命题是 若x 3 则x2 9 对 答案 有下列四个命题 1 若x y 0 则x y互为相反数 的否命题 2 若x y 则x2 y2 的
6、逆否命题 3 若x 3 则x2 x 6 0 的否命题 4 对顶角相等 的逆命题 其中真命题的个数是A 0B 1C 2D 3 题型二四种命题的真假判断 例2 自主解答 1 原命题的否命题与其逆命题有相同的真假性 其逆命题为 若x y互为相反数 则x y 0 为真命题 2 原命题与其逆否命题具有相同的真假性 而原命题为假命题 如x 0 y 1 故其逆否命题为假命题 3 该命题的否命题为 若x 3 则x2 x 6 0 很明显为假命题 4 该命题的逆命题是 相等的角是对顶角 显然是假命题 答案 B 规律总结四种命题的真假判断的两种方法 1 直接判断 利用命题真假判断的方法判断 2 等价转化 由于互为逆
7、否命题的两命题的真假具有等价性 因而在判断四种命题的真假时 可以转化为先判断原命题和逆 否 命题的真假 再利用互为逆否命题的两命题的真假具有等价性即可完成 变式训练 答案A 1 命题 已知a x为实数 若关于x的不等式x2 2a 1 x a2 2 0的解集为空集 则a 2 的逆否命题是 命题 填 真 或 假 2 证明 如果p2 q2 2 则p q 2 题型三逆否命题的应用 例3 2 该命题的逆否命题为 若p q 2 则p2 q2 2 因为原命题与其逆否命题的真假相同 故只需证明其逆否命题为真命题即可 因为p q 2 所以 p q 2 4 因为p2 q2 2pq 所以p2 q2 2 即p q 2
8、时 p2 q2 2成立 所以如果p2 q2 2 则p q 2成立 答案 1 真 2 见解析 规律总结命题真假判断的一种策略当判断一个命题的真假比较困难 或者在判断真假时 涉及分类讨论时 通常转化为判断它的逆否命题的真假 因为互为逆否命题的真假是等价的 也就是我们讲的 正难则反 的一种策略 3 求证 已知函数f x 是 上的增函数 a b R 若f a f b f a f b 则a b 0 证明原命题的逆否命题为 已知函数f x 是 上的增函数 a b R 若a b 0 则f a f b f a f b 若a b 0 则a b b a 又因为f x 在 上是增函数 所以f a f b f b f
9、 a 所以f a f b f a f b 即逆否命题为真命题 所以原命题为真命题 对点训练 12分 命题 对任意x R ax2 2ax 3 0不成立是真命题 求实数a的取值范围 规范解答 一 由等价命题求参数的取值范围 例1 典题示例 规范解答 因为命题 对任意x R ax2 2ax 3 0不成立 等价于对任意x R ax2 2ax 3 0恒成立 2分 第一步 通过对条件分析 将所求问题转化为ax2 2ax 3 0在x R上恒成立问题若a 0 则 3 0恒成立 所以a 0符合题意 4分 设f x ax2 2ax 3 当a 0时 二次函数的图像开口向上 图像不会全部落在x轴下方 显然不符合题意 5分 已知命题 对于任意x R x2 ax 1 0不成立 是真命题 求实数a的取值范围 解析命题 对于任意x R x2 ax 1 0不成立 等价于 对于任意x R x2 ax 1 0成立 是真命题 由于函数f x x2 ax 1是开口向上的抛物线 由二次函数的图像易知 a2 4 0 解得 2 a 2 所以实数a的取值范围是 2 2 典题试解 本讲结束请按ESC键返回 综合提升案 核心素养达成
