《北师大数学选修1-2同步课件：第三章 4 反证法 .pptx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《北师大数学选修1-2同步课件：第三章 4 反证法 .pptx（27页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 4 反证法 第三章 推理与证明 1 了解反证法是间接证明的一种基本方法 2 理解反证法的思考过程 会用反证法证明数学问题 学习目标 问题导学 达标检测 题型探究 内容索引 问题导学 1 定义 我们可以先假定命题结论的反面成立 在这个前提下 若推出 的结果与定义 公理 定理相矛盾 或与命题中的已知条件相矛盾 或 与假定相矛盾 从而说明命题结论的反面不可能成立 由此断定命题的 结论成立 这种证明方法叫作反证法 2 反证法常见的矛盾类型 反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾 这个矛盾可以是与 矛 盾 或与 矛盾 或与 矛盾等 已知条件 知识点 反证法 假设定义 公理 定理 思考辨析 判断正误 1
2、反证法属于间接证明问题的方法 2 反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推理 3 反证法的实质是否定结论导出矛盾 题型探究 类型一 用反证法证明否定性命题 例1 已知a b c d R 且ad bc 1 求证 a2 b2 c2 d2 ab cd 1 证明 假设a2 b2 c2 d2 ab cd 1 因为ad bc 1 所以a2 b2 c2 d2 ab cd bc ad 0 即 a b 2 c d 2 a d 2 b c 2 0 所以a b 0 c d 0 a d 0 b c 0 则a b c d 0 这与已知条件ad bc 1矛盾 故假设不成立 所以a2 b2 c2 d2 ab cd
3、 1 证明 反思与感悟 1 用反证法证明否定性命题的适用类型 结论中含有 不 不是 不可能 不存在 等词语的命题称为否定性命题 此类问题的正面比较模糊 而反面比较具体 适合使用反证法 2 用反证法证明数学命题的步骤 证明 a b c成等比数列 b2 ac a c 从而a b c 这与已知a b c不成等差数列相矛盾 类型二 用反证法证明 至多 至少 类问题 证明 证明 假设 2 a b 2 b c 2 c a都大于1 因为a b c 0 2 所以2 a 0 2 b 0 2 c 0 即3 3 矛盾 所以 2 a b 2 b c 2 c a不能都大于1 例2 a b c 0 2 求证 2 a b
4、2 b c 2 c a不能都大于1 证明 a b c都是小于1的正数 1 a 1 b 1 c都是正数 反思与感悟 应用反证法常见的 结论词 与 反设词 当命题中出现 至多 至少 等词语时 直接证明不易入手且讨论较复杂 这时 可用反证法证明 证明时常见的 结论词 与 反设词 如下 结论词反设词结论词反设词 至少有一个一个也没有对所有x成立存在某个x不成立 至多有一个至少有两个对任意x不成立存在某个x成立 至少有n个至多有n 1个p或q 綈p且綈q 至多有n个至少有n 1个p且q 綈p或綈q 证明 跟踪训练2 已知a b c是互不相等的实数 求证 由y1 ax2 2bx c y2 bx2 2cx
5、a和y3 cx2 2ax b确定的三条抛物线至少有一条与 x轴有两个不同的交点 证明 假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x轴有两个不同的交点 由y1 ax2 2bx c y2 bx2 2cx a y3 cx2 2ax b 得其对应方程的 1 4b2 4ac 0 2 4c2 4ab 0 且 3 4a2 4bc 0 同向不等式求和 得 4b2 4c2 4a2 4ac 4ab 4bc 0 所以2a2 2b2 2c2 2ab 2bc 2ac 0 所以 a b 2 b c 2 a c 2 0 所以a b c 这与题设a b c互不相等矛盾 因此假设不成立 从而命题得证 例3 求证 方程2x 3有且只
6、有一个根 类型三 用反证法证明唯一性命题 证明 证明 2x 3 x log23 这说明方程2x 3有根 下面用反证法证明方程2x 3的根是唯一的 假设方程2x 3至少有两个根b1 b2 b1 b2 则 3 3 两式相除得 1 b1 b2 0 则b1 b2 这与b1 b2矛盾 假设不成立 从而原命题得证 反思与感悟 用反证法证明唯一性命题的一般思路 证明 有且只有一 个 的问题 需要证明两个命题 即存在性和唯一性 当证明结论是以 有 且只有 只有一个 唯一存在 等形式出现的命题时 可先证 存在性 由于假设 唯一性 结论不成立易导出矛盾 因此可用反证法证其唯一 性 跟踪训练3 若函数f x 在区间
7、 a b 上是增加的 求证 方程f x 0在 区间 a b 上至多有一个实根 证明 证明 假设方程f x 0在区间 a b 上至少有两个实根 设 为其中的两个实根 因为 不妨设 又因为函数f x 在 a b 上是增加的 所以f f 这与假设f 0 f 矛盾 所以方程f x 0在区间 a b 上至多有一个实根 达标检测 1 证明 在 ABC中至多有一个直角或钝角 第一步应假设 A 三角形中至少有一个直角或钝角 B 三角形中至少有两个直角或钝角 C 三角形中没有直角或钝角 D 三角形中三个角都是直角或钝角 12345 答案 12345 答案 2 用反证法证明 在三角形中至少有一个内角不小于60 应
8、先假设这 个三角形中 A 有一个内角小于60 B 每一个内角都小于60 C 有一个内角大于60 D 每一个内角都大于60 12345 答案 3 用反证法证明 在同一平面内 若a c b c 则a b 时 应假设 A a不垂直于c B a b都不垂直于c C a b D a与b相交 12345 答案 4 下面关于反证法的说法正确的有 填序号 反证法的应用需要逆向思维 反证法是一种间接证明方法 否定结论时 一定要全面否定 反证法推出的矛盾不能与已知相矛盾 使用反证法必须先否定结论 当结论的反面出现多种可能时 论证 一种即可 解析 解析 反证法是一种间接证明方法 利用逆向思维且否定结论时 一 定要全
9、面否定 不能只否定一点 故 正确 使用反证法必须先否定结论 对于结论的反面出现的多种可能要逐一 论证 否则证明是不完全的 故 错误 反证法推出的矛盾可以与已知条件相矛盾 故 错误 12345 证明 故原命题成立 规律与方法 用反证法证题要把握三点 1 必须先否定结论 对于结论的反面出现的多种可能 要逐一论证 缺 少任何一种可能 证明都是不全面的 2 反证法必须从否定结论进行推理 且必须根据这一条件进行论证 否 则 仅否定结论 不从结论的反面出发进行论证 就不是反证法 3 反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾 这个矛盾可以与已知矛盾 或与假设矛盾 或与定义 公理 定理 事实矛盾 但推导出的矛盾 必须是明显的 本课结束
