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1、 24 4弧长和扇形面积 第二十四章圆 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 第1课时弧长和扇形面积 学习目标 1 理解弧长和扇形面积公式的探求过程 难点 2 会利用弧长和扇形面积的计算公式进行计算 重点 导入新课 图片欣赏 问题1如图 在运动会的4 100米比赛中 甲和乙分别在第1跑道和第2跑道 为什么他们的起跑线不在同一处 问题2怎样来计算弯道的 展直长度 因为要保证这些弯道的 展直长度 是一样的 导入新课 讲授新课 问题1半径为R的圆 周长是多少 问题2下图中各圆心角所对的弧长分别是圆周长的几分之几 合作探究 1 圆心角是180 占整个周角的 因此它所对的弧长是圆周长的 2 圆心角是9
2、0 占整个周角的 因此它所对的弧长是圆周长的 3 圆心角是45 占整个周角的 因此它所对的弧长是圆周长的 4 圆心角是n 占整个周角的 因此它所对的弧长是圆周长的 算一算已知弧所对的圆心角为60 半径是4 则弧长为 知识要点 弧长公式 例1制造弯形管道时 要先按中心线计算 展直长度 再下料 试计算图所示管道的展直长度l 单位 mm 精确到1mm 解 由弧长公式 可得弧AB的长 因此所要求的展直长度l 2 700 1570 2970 mm 答 管道的展直长度为2970mm 解 设半径OA绕轴心O逆时针方向旋转的度数为n 解得n 90 因此 滑轮旋转的角度约为90 一滑轮起重机装置 如图 滑轮的半
3、径r 10cm 当重物上升15 7cm时 滑轮的一条半径OA绕轴心O逆时针方向旋转多少度 假设绳索与滑轮之间没有滑动 取3 14 练一练 圆的一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所围成的图形叫作扇形 如图 黄色部分是一个扇形 记作扇形OAB O B A 圆心角 概念学习 下列图形是扇形吗 判一判 合作探究 问题1半径为r的圆 面积是多少 问题2下图中各扇形面积分别是圆面积的几分之几 具体是多少呢 半径为r的圆中 圆心角为n 的扇形的面积 公式中n的意义 n表示1 圆心角的倍数 它是不带单位的 公式要理解记忆 即按照上面推导过程记忆 知识要点 大小不变时 对应的扇形面积与 有关 越长 面积越大 圆
4、心角 半径 半径 圆的不变时 扇形面积与有关 越大 面积越大 圆心角 半径 圆心角 总结 扇形的面积与圆心角 半径有关 问题扇形的面积与哪些因素有关 问题 扇形的弧长公式与面积公式有联系吗 想一想扇形的面积公式与什么公式类似 例3如图 圆心角为60 的扇形的半径为10cm 求这个扇形的面积和周长 精确到0 01cm2和0 01cm 解 n 60 r 10cm 扇形的面积为 扇形的周长为 1 已知半径为2cm的扇形 其弧长为 则这个扇形的面积S扇 2 已知扇形的圆心角为120 半径为2 则这个扇形的面积S扇 试一试 例4如图 水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0 6cm 其中水面高0 3cm
5、求截面上有水部分的面积 精确到0 01cm 讨论 1 截面上有水部分的面积是指图上哪一部分 阴影部分 D 2 3 2 水面高0 3m是指哪一条线段的长 这条线段应该怎样画出来 线段DC 过点O作OD垂直符号于AB并长交圆O于C 3 要求图中阴影部分面积 应该怎么办 阴影部分面积 扇形OAB的面积 OAB的面积 解 如图 连接OA OB 过点O作弦AB的垂线 垂足为D 交AB于点C 连接AC OC 0 6 DC 0 3 OD OC DC 0 3 OD DC 又AD DC AD是线段OC的垂直平分线 AC AO OC 从而 AOD 60 AOB 120 有水部分的面积 S S扇形OAB S OAB
6、 弓形的面积 扇形的面积 三角形的面积 S弓形 S扇形 S三角形 S弓形 S扇形 S三角形 知识要点 弓形的面积公式 当堂练习 C 3 如图 A B C D两两不相交 且半径都是2cm 则图中阴影部分的面积是 解析 点A所经过的路线的长为三个半径为2 圆心角为120 的扇形弧长与两个半径为 圆心角为90 的扇形弧长之和 即 4 如图 Rt ABC的边BC位于直线l上 AC ACB 90 A 30 若Rt ABC由现在的位置向右无滑动地翻转 当点A第3次落在直线l上时 点A所经过的路线的长为 结果用含 的式子表示 5 例题变式题 如图 水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0 6cm 其中水面高0
7、 9cm 求截面上有水部分的面积 A B D C E 解 6 如图 一个边长为10cm的等边三角形模板ABC在水平桌面上绕顶点C按顺时针方向旋转到 A B C的位置 求顶点A从开始到结束所经过的路程为多少 解由图可知 由于 A CB 60 则等边三角形木板绕点C按顺时针方向旋转了120 即 ACA 120 这说明顶点A经过的路程长等于弧AA 的长 等边三角形ABC的边长为10cm 弧AA 所在圆的半径为10cm l弧AA 答 顶点A从开始到结束时所经过的路程为 课堂小结 弧长 计算公式 扇形 定义 公式 阴影部分面积求法 整体思想 弓形 公式 S弓形 S扇形 S三角形S弓形 S扇形 S三角形 割补法
