《高考数学（理）（全国通用）一轮复习课件：5.4数 列 求 和 .ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学（理）（全国通用）一轮复习课件：5.4数 列 求 和 .ppt（73页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第四节数列求和 教材基础回顾 1 等差数列的前n项和公式 2 等比数列的前n项和公式 3 四个必备公式 1 1 2 3 4 n 2 1 3 5 7 2n 1 n2 3 2 4 6 8 2n n2 n 4 12 22 n2 金榜状元笔记 1 求和的必会方法数列求和的常见方法有公式法 裂项相消法 错位相减法 倒序相加法 分组转化法 并项转化法等 2 一个注意事项利用公式法求等比数列的前n项和时 容易忽视分q 1和q 1两种情况讨论 教材母题变式 1 数列 an 中 an 若 an 的前n项和为 则项数n为 A 2015B 2016C 2017D 2018 解析 选C an 所以n 2017 2 等
2、比数列 an 中 若a1 27 a9 q 0 Sn是其前n项和 则S6 解析 由a1 27 a9 知 27 q8 又由q 0 解得q 所以S6 答案 3 若 log2an 是首项为1 公差为2的等差数列 则数列 nan 的前n项和Sn 解析 依题意log2an 1 n 1 2 2n 1 所以an 22n 1 nan n 22n 1 设其前n项和为Sn 则Sn 1 2 2 23 n 22n 1 两边乘以4得到4Sn 1 23 2 25 n 22n 1 两式相减得 3Sn 2 23 22n 1 n 22n 1 n 22n 1 化简得Sn 答案 4 2017 全国卷 几位大学生响应国家的创业号召 开
3、发了一款应用软件 为激发大家学习数学的兴趣 他们推出了 解数学题获取软件激活码 的活动 这款软件的激活码为下面数学问题的答案 已知数列1 1 2 1 2 4 1 2 4 8 1 2 4 8 16 其中第一项是20 接下来的两项是20 21 再接下来的三项是20 21 22 依此类推 求满足如下条件的最小整数N N 100且该数列的前N项和为2的整数幂 那么该款软件的激活码是 A 440B 330C 220D 110 解析 选A 由题意得 数列如下 1 1 2 1 2 4 1 2 4 2k 1 则该数列的前1 2 k 项和为 1 1 2 1 2 2k 1 2k 1 k 2 要使 100 有k 1
4、4 此时k 2 2k 1 所以k 2是之后的等比数列1 2 2k的部分和 即k 2 1 2 2t 1 2t 1 所以k 2t 3 14 则t 5 此时k 25 3 29 对应满足的最小条件为N 5 440 一题多解 本小题还可用以下方法求解 选A 前14行 有105个数 求和为215 16 当N 110时 求和为215 16 25 1 215 15 2n 前20行 有210个数 求和为221 22 当N 220时 求和为221 22 210 1 221 210 23 2n 前25行 有325个数 求和为226 27 当N 330时 求和为226 27 25 1 226 25 28 2n 前29
5、行 有435个数 求和为230 31 当N 440时 求和为230 31 25 1 230 故选A 母题变式溯源 考向一分组转化法求和 典例1 1 若数列 an 的通项公式为an 2n 2n 1 则数列 an 的前n项和为 A 2n n2 1B 2n 1 n2 1C 2n 1 n2 2D 2n n 2 2 已知数列 an 的前n项和为Sn 1 5 9 13 17 21 1 n 1 4n 3 则S15 S22 S31的值是世纪金榜导学号12560162 A 13B 76C 46D 76 解析 1 选C Sn a1 a2 a3 an 21 2 1 1 22 2 2 1 23 2 3 1 2n 2n
6、 1 2 22 2n 2 1 2 3 n n 2 2n 1 n2 n n 2n 1 n2 2 巧思妙解 选C 特值验证 n 1时 S1 a1 3 排除A B D 故选C 2 选D 因为Sn 1 5 9 13 17 21 1 n 1 4n 3 所以S15 1 5 9 13 49 53 57 4 7 57 29 S22 1 5 9 13 17 21 81 85 4 11 44 S31 1 5 9 13 17 21 113 117 121 4 15 121 61 所以S15 S22 S31 29 44 61 76 技法点拨 分组转化法求和的常见类型 1 若an bn cn 且 bn cn 为等差或等
7、比数列 可采用分组求和法求 an 的前n项和 2 通项公式为an 的数列 其中数列 bn cn 是等比数列或等差数列 可采用分组求和法求和 同源异考 金榜原创 1 已知数列 an 的通项公式是an 2n 则其前20项和为 A 379 B 399 C 419 D 439 解析 选C 令数列 an 的前n项和为Sn 则S20 a1 a2 a3 a20 2 若数列 an 是2 2 22 2 22 23 2 22 23 2n 则数列 an 的前n项和Sn 解析 an 2 22 23 2n 2n 1 2 所以Sn 2n 2n 2 4 2n 答案 2n 2 4 2n 考向二错位相减法求和 典例2 2018
8、 青岛模拟 已知 an 是各项均为正数的等比数列 bn 是等差数列 且a1 b1 1 b2 b3 2a3 a5 3b2 7 1 求 an 和 bn 的通项公式 2 设cn anbn n N 求数列 cn 的前n项和Sn 解析 1 设数列 an 的公比为q 数列 bn 的公差为d 由题意知q 0 由已知 有消去d 整理得q4 2q2 8 0 因为q 0 解得q 2 所以d 2 所以数列 an 的通项公式为an 2n 1 n N 数列 bn 的通项公式为bn 2n 1 n N 2 由 1 知cn 2n 1 2n 1 设 cn 的前n项和为Sn 则Sn 1 20 3 21 5 22 2n 3 2n
9、2 2n 1 2n 1 2Sn 1 21 3 22 5 23 2n 3 2n 1 2n 1 2n 上述两式相减 得 Sn 1 22 23 2n 2n 1 2n 2n 1 3 2n 1 2n 2n 3 2n 3 所以 Sn 2n 3 2n 3 n N 答题模板微课 本例 2 的求解过程可模板化为 建模板 由 1 知cn 2n 1 2n 1 写通项 故Sn 1 20 3 21 5 22 2n 3 2n 2 2n 1 2n 1 写前n项和 2Sn 1 21 3 22 5 23 2n 3 2n 1 2n 1 2n 乘公比 上述两式相减 得 Sn 1 22 23 2n 2n 1 2n 2n 1 3 2n
10、 1 2n 2n 3 2n 3 错位相减所以Sn 2n 3 2n 3 n N 整理出结果 套模板 已知an 2n 1 bn 2n 1 cn an bn 求数列 cn 的前n项和Tn 解析 由题知cn an bn 2n 1 2n 1 写通项故Tn 3 20 5 21 7 22 2n 1 2n 1 写前n项和2Tn 3 21 5 22 7 23 2n 1 2n 乘公比上述两式相减 得 Tn 3 22 23 2n 2n 1 2n 错位相减 3 2n 1 2n 1 2n 2n 1得Tn 2n 1 2n 1 整理出结果所以数列 cn 的前n项和为 2n 1 2n 1 误区警示 用错位相减法求和时容易出现
11、以下两点错误 1 两式相减时最后一项因为没有对应项而忘记变号 2 对相减后的和式的结构认识模糊 错把中间的n 1项和当作n项和 一题多变 把本例中的条件改为 数列 an 是首项为2的等差数列 其前n项和Sn满足4Sn an an 1 数列 bn 是以为首项的等比数列 且b1b2b3 1 求数列 an bn 的通项公式 2 若cn an bn 求数列 cn 的前n项和Tn 解析 1 设等差数列 an 的公差为d 等比数列 bn 的公比为q 由题意得4a1 a1 a1 d 解得d 2 所以an 2n 由b1b2b3 解得b2 从而公比q 所以bn 2 cn 2n 上述两式相减 得所以Tn 4 2
12、n 所以数列 cn 的前n项和Tn 4 2 n 技法点拨 利用错位相减法的一般类型及思路 1 适用的数列类型 anbn 其中数列 an 是公差为d的等差数列 bn 是公比为q 1的等比数列 2 思路 设Sn a1b1 a2b2 anbn 则qSn a1b2 a2b3 an 1bn anbn 1 得 1 q Sn a1b1 d b2 b3 bn anbn 1 就转化成了根据公式可求的和 同源异考 金榜原创 已知数列 an 的首项a1 3 前n项和为Sn an 1 2Sn 3 n N 世纪金榜导学号12560163 1 求数列 an 的通项公式 2 设bn log3an 求数列的前n项和Tn 并证
13、明 Tn 解析 1 由an 1 2Sn 3 得an 2Sn 1 3 n 2 两式相减得an 1 an 2 Sn Sn 1 2an 故an 1 3an n 2 所以当n 2时 an 是以3为公比的等比数列 因为a2 2S1 3 2a1 3 9 3 所以 an 是首项为3 公比为3的等比数列 an 3n 2 an 3n 故bn log3an log33n n 得 所以Tn 因为 0 所以Tn0 所以数列 Tn 单调递增 所以 Tn min T1 所以 Tn 考向三裂项相消法求和 高频考点 典例3 1 已知数列 an 是递增的等比数列 且a1 a4 9 a2a3 8 世纪金榜导学号12560164
14、求数列 an 的通项公式 设Sn为数列 an 的前n项和 bn 求数列 bn 的前n项和Tn 2 已知正项数列 an 的前n项和为Sn 且Sn an 成等差数列 世纪金榜导学号12560165 求数列 an 的通项公式 若bn log2an 2 设数列的前n项和为Tn 证明 Tn 1 解析 1 因为数列 an 是递增的等比数列 且a1 a4 9 a2a3 8 所以 8 q 2 an a1 qn 1 2n 1 由 可知Sn 2n 1 所以bn 所以Tn 2 由题意Sn an 成等差数列 2an Sn 当n 1时 2a1 a1 所以a1 当n 2时 Sn 2an Sn 1 2an 1 两式相减得a
15、n 2an 2an 1 所以an 2an 1 由 an 为正项数列 an 0 所以 2 n 2 因此数列 an 是以为首项 2为公比的等比数列 即an 2n 2 bn log2an 2 log22n 2 2 n 则Tn 因为 1 1 所以 Tn 1 技法点拨 常见的裂项方法 其中n为正整数 提醒 利用裂项相消法求和时 应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项 也有可能前面剩两项 后面也剩两项 再就是将通项公式裂项后 有时候需要调整前面的系数 使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等 同源异考 金榜原创 命题点1裂项相消法求数列的前n项和1 等比数列 an 的各项均为正数 且4a1 16a2
16、 1 a32 4a2a5 世纪金榜导学号12560166 1 求数列 an 的通项公式 2 设bn log2an cn 求数列 cn 的前n项和 解析 1 设数列 an 的公比为q 由a32 4a2a5得a2a4 4a2a5 所以q 由4a1 16a2 1得a1 故数列 an 的通项公式为an 2 由题可知bn log2an 2n 1 cn 故数列 cn 的前n项和所以数列 cn 的前n项和为 命题点2数列与不等式的综合问题2 已知数列 an 满足 a1 1 an 1 1 2an an 世纪金榜导学号12560167 1 求数列 an 的通项公式 2 设数列 anan 1 的前n项和为Tn 求证 Tn 解析 1 因为an 1 1 2an an 所以 2 所以是以2为公差的等差数列 因为a1 1 所以 1 所以 2n 1 所以数列 an 的通项公式为an 2 由 1 得anan 1 核心素养系列 三十三 数学运算 数列与三角函数综合问题中的核心素养以学习过的数列与三角函数的相关知识为基础 从题设条件出发 依据运算法则和公式进行一系列的数学运算 从而使问题得以解决 典例 已知函数f x 函
