《高考数学（理科）（5年高考+3年模拟）精选课件全国卷1地区通用：10.4 直线与圆锥曲线的位置关系 .pptx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学（理科）（5年高考+3年模拟）精选课件全国卷1地区通用：10.4 直线与圆锥曲线的位置关系 .pptx（67页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 10 4 直线与圆锥曲线的位置关系 高考理数 课标专用 考点 直线与圆锥曲线的位置关系 1 2018课标 8 5分 设抛物线C y2 4x的焦点为F 过点 2 0 且斜率为 的直线与C交于M N两 点 则 A 5 B 6 C 7 D 8 A组 统一命题 课标卷题组 五年高考 答案 D 本题主要考查直线与抛物线的位置关系及平面向量的数量积的运算 设M x1 y1 N x2 y2 由已知可得直线的方程为y x 2 即x y 2 由 得y2 6y 8 0 由根与系数的关系可得y1 y2 6 y1y2 8 x1 x2 y1 y2 4 5 x1x2 4 F 1 0 x1 1 x2 1 y1y2 x1x
2、2 x1 x2 1 y1y2 4 5 1 8 8 故选D 2 2017课标 10 5分 已知F为抛物线C y2 4x的焦点 过F作两条互相垂直的直线l1 l2 直线l1与C 交于A B两点 直线l2与C交于D E两点 则 AB DE 的最小值为 A 16 B 14 C 12 D 10 答案 A 本题考查抛物线的方程与几何性质以及最值的求解 考查学生的逻辑思维能力和 运算求解能力以及数形结合思想的应用 解法一 由抛物线的方程可知焦点F的坐标为 1 0 设A x1 y1 B x2 y2 D x3 y3 E x4 y4 过点F的直 线l1的方程为x my 1 m 0 由 得y2 4my 4 0 所以
3、y1 y2 4m y1y2 4 所以 y1 y2 4 所以 AB y1 y2 4 1 m2 同理可得 DE 4 因此 AB DE 4 1 m2 4 16 当且仅当m 1时 等号成立 所以 AB DE 的最小值为16 故选A 解法二 由题意知焦点F的坐标为 1 0 直线l1 l2的斜率不存在时 不合题意 设A x1 y1 B x2 y2 D x3 y3 E x4 y4 过F的直线l1的方程为y k1 x 1 直线l2的方程为y k2 x 1 则k1k2 1 联立直线l1的方程与抛物线方程 得 消去y 得 x2 2 x 4x 0 所以x1 x2 同理 直线l2与抛物线的交点满足x3 x4 由抛物线
4、定义可知 AB DE x1 x2 x3 x4 2p 4 8 2 8 16 当 且仅当k1 k2 1或 1时 取得等号 所以 AB DE 的最小值为16 故选A 解法三 不妨设A在第一象限 如图所示 设直线AB的倾斜角为 过A B分别作准线的垂线 垂足 为A1 B1 则 AF AA1 BF BB1 过点F向AA1引垂线FG 得 cos 则 AF 同理 BF 则 AB AF BF 即 AB 因l1与l2垂直 故直线DE的倾斜角为 或 则 DE 则 AB DE 则易知 AB DE 的最小值为16 故选A 方法总结 利用几何方法求抛物线的焦半径 如图 在抛物线y2 2px p 0 中 AB为焦点弦 若
5、AF与抛物线对称轴的夹角为 则在 FEA中 cos cos EAF 则可得到焦半径 AF 同理 BF 熟悉这种求抛物线焦半径的方法 对于求抛物线的焦点弦长 焦点弦中的定值 如 等的帮助很大 3 2014课标 10 5分 0 262 设F为抛物线C y2 3x的焦点 过F且倾斜角为30 的直线交C于A B 两点 O为坐标原点 则 OAB的面积为 A B C D 答案 D 易知直线AB的方程为y 与y2 3x联立并消去x得4y2 12 y 9 0 设A x1 y1 B x2 y2 则y1 y2 3 y1y2 S OAB OF y1 y2 故选D 思路分析 根据已知条件写出直线方程 与抛物线方程联立
6、 消元后利用韦达定理得等量关系 进而求解面积 一题多解 利用抛物线焦点弦的相关结论可得 AB AF BF 12 又点O到直线AB的距离d OF sin 30 p S AOB AB d 12 故选D B组 自主命题 省 区 市 卷题组 考点 直线与圆锥曲线的位置关系 1 2014辽宁 10 5分 已知点A 2 3 在抛物线C y2 2px的准线上 过点A的直线与C在第一象限相 切于点B 记C的焦点为F 则直线BF的斜率为 A B C D 答案 D 易知p 4 直线AB的斜率存在 抛物线方程为y2 8x 与直线AB的方程y 3 k x 2 联立 消去x整理得ky2 8y 16k 24 0 由题意知
7、 64 4k 16k 24 0 解得k 2或k 因为直线与抛物 线相切于第一象限 故舍去k 2 故k 可得B 8 8 又F 2 0 故kBF 故选D 2 2018天津 19 14分 设椭圆 1 a b 0 的左焦点为F 上顶点为B 已知椭圆的离心率为 点A的坐标为 b 0 且 FB AB 6 1 求椭圆的方程 2 设直线l y kx k 0 与椭圆在第一象限的交点为P 且l与直线AB交于点Q 若 sin AOQ O为原点 求k的值 解析 本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质 直线方程等基础知识 考查用代数方法 研究圆锥曲线的性质 考查运算求解能力 以及用方程思想解决问题的能力 1 设椭圆的焦
8、距为2c 由已知有 又由a2 b2 c2 可得2a 3b 由已知可得 FB a AB b 由 FB AB 6 可得ab 6 从而a 3 b 2 所以 椭圆的方程为 1 2 设点P的坐标为 x1 y1 点Q的坐标为 x2 y2 由已知有y1 y2 0 故 PQ sin AOQ y1 y2 又因为 AQ 而 OAB 故 AQ y2 由 sin AOQ 可得5y1 9y2 由方程组 消去x 可得y1 易知直线AB的方程为x y 2 0 由方程组 消去x 可得y2 由5y1 9y2 可得5 k 1 3 两边平方 整理得56k2 50k 11 0 解得k 或k 所以 k的值为 或 解题关键 利用平面几何
9、知识将 sin AOQ转化为点P Q坐标间的关系是解决第 2 问的关键 方法归纳 求椭圆标准方程的基本方法 1 定义法 根据椭圆的定义 确定a2 b2的值 结合焦点位置写出椭圆方程 2 待定系数法 这是求椭圆方程的常用方法 基本步骤为 根据已知条件判断焦点的位置 根据焦点的位置设出所求椭圆的方程 根据已知条件 建立关于a b c的方程组 注意c2 a2 b2的应用 解方程组 求得a b的值 从而得出椭圆的方程 3 2018江苏 18 14分 如图 在平面直角坐标系xOy中 椭圆C过点 焦点F1 0 F2 0 圆O的直径为F1F2 1 求椭圆C及圆O的方程 2 设直线l与圆O相切于第一象限内的点
10、P 若直线l与椭圆C有且只有一个公共点 求点P的坐标 直线l与椭圆C交于A B两点 若 OAB的面积为 求直线l的方程 解析 本小题主要考查直线方程 圆的方程 圆的几何性质 椭圆方程 椭圆的几何性 质 直线与圆及椭圆的位置关系等知识 考查分析问题能力和运算求解能力 解法一 1 因为椭圆C的焦点为F1 0 F2 0 所以可设椭圆C的方程为 1 a b 0 又点 在椭圆C上 所以 解得 因此 椭圆C的方程为 y2 1 因为圆O的直径为F1F2 所以其方程为x2 y2 3 2 设直线l与圆O相切于P x0 y0 x0 0 y0 0 则 3 所以直线l的方程为y x x0 y0 即y x 由 消去y
11、得 4 x2 24x0 x 36 4 0 因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点 所以 24x0 2 4 4 36 4 48 2 0 因为x0 y0 0 所以x0 y0 1 因此 点P的坐标为 1 因为三角形OAB的面积为 所以 AB OP 从而AB 设A x1 y1 B x2 y2 由 得x1 2 所以AB2 x1 x2 2 y1 y2 2 因为 3 所以AB2 即2 45 100 0 解得 20舍去 则 因此P的坐标为 则直线l的方程为y x 3 解法二 1 由题意知c 所以圆O的方程为x2 y2 3 因为点 在椭圆上 所以2a 4 所以a 2 因为a2 b2 c2 所以b 1 所以椭圆C的
12、方程为 y2 1 2 由题意知直线l与圆O和椭圆C均相切 且切点在第一象限 所以直线l的斜率k存在且k 0 设直线l的方程为y kx m k0 将直线l的方程代入圆O的方程 得x2 kx m 2 3 整理得 k2 1 x2 2kmx m2 3 0 因为直线l与圆O相切 所以 2km 2 4 k2 1 m2 3 0 整理得m2 3k2 3 将直线l的方程代入椭圆C的方程 得 kx m 2 1 整理得 4k2 1 x2 8kmx 4m2 4 0 因为直线l与椭圆C相切 所以 8km 2 4 4k2 1 4m2 4 0 整理得m2 4k2 1 所以3k2 3 4k2 1 因为k 0 所以k 则m 3
13、 将k m 3代入 k2 1 x2 2kmx m2 3 0 整理得x2 2 x 2 0 解得x1 x2 将x 代入x2 y2 3 解得y 1 y 1舍去 所以点P的坐标为 1 设A x1 kx1 m B x2 kx2 m 由 知m2 3k2 3 且k0 因为直线l和椭圆C相交 所以结合 的过程知m2 4k2 1 解得k 将直线l的方程和椭圆C的方程联立可得 4k2 1 x2 8kmx 4m2 4 0 解得x1 2 所以 x1 x2 因为AB x1 x2 O到l的距离d 所以S OAB 解得k2 5 因为kb 0 的左焦点为F 右顶点为A 离心率为 已知A是抛 物线y2 2px p 0 的焦点
14、F到抛物线的准线l的距离为 1 求椭圆的方程和抛物线的方程 2 设l上两点P Q关于x轴对称 直线AP与椭圆相交于点B B异于点A 直线BQ与x轴相交于点D 若 APD的面积为 求直线AP的方程 解析 本题主要考查椭圆 抛物线的标准方程和几何性质 直线方程等基础知识 考查用代数 方法研究圆锥曲线的性质 考查运算求解能力 以及用方程思想解决问题的能力 1 设F的坐标为 c 0 依题意 a a c 解得a 1 c p 2 于是b2 a2 c2 所以 椭圆的方程为x2 1 抛物线的方程为y2 4x 2 设直线AP的方程为x my 1 m 0 与直线l的方程x 1联立 可得点P 故Q 将 x my 1
15、与x2 1联立 消去x 整理得 3m2 4 y2 6my 0 解得y 0或y 由点B异于点A 可 得点B 由Q 可得直线BQ的方程为 x 1 0 令y 0 解得x 故D 所以 AD 1 又因为 APD的 面积为 故 整理得3m2 2 m 2 0 解得 m 所以m 所以 直线AP的方程为3x y 3 0或3x y 3 0 方法总结 1 利用待定系数法求圆锥曲线标准方程的三个步骤 1 作判断 根据焦点位置设方 程 2 找等量关系 3 解方程得结果 2 解决直线与圆锥曲线位置关系问题的基本策略 1 巧设直线方程 当已知直线与x轴交点固 定时 常设为x my b的形式 这样可避免对斜率是否存在的讨论
16、2 注意整体代入思想的应用 利用根与系数的关系可以简化运算 提高运算的效率和正确率 5 2016江苏 22 10分 如图 在平面直角坐标系xOy中 已知直线l x y 2 0 抛物线C y2 2px p 0 1 若直线l过抛物线C的焦点 求抛物线C的方程 2 已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q 求证 线段PQ的中点坐标为 2 p p 求p的取值范围 解析 1 抛物线C y2 2px p 0 的焦点为 由点 在直线l x y 2 0上 得 0 2 0 即p 4 所以抛物线C的方程为y2 8x 2 设P x1 y1 Q x2 y2 线段PQ的中点M x0 y0 因为点P和Q关于直线l对称 所以直线l垂直平分线段PQ 于是直线PQ的斜率为 1 则可设其方程为y x b 由 消去x得y2 2py 2pb 0 因为P和Q是抛物线C上的相异两点 所以y1 y2 从而 2p 2 4 2pb 0 化简得p 2b 0 方程 的两根为y1 2 p 从而y0 p 因为M x0 y0 在直线l上 所以x0 2 p 因此 线段PQ的中点坐标为 2 p p 因为M 2 p p 在直线y x b上 所
