《2020年北京市丰台区高考数学二模试卷（理科）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020年北京市丰台区高考数学二模试卷（理科）（15页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第 1 页 共 15 页 高考数学二模试卷 理科 高考数学二模试卷 理科 题号 一二三总分 得分 一 选择题 本大题共 8 小题 共 40 0 分 1 若集合 A x Z x2 4 集合 B x 1 x 3 则 A B A 0 1 2 B 1 0 1 2 C 1 0 1 2 3 D x 1 x 2 2 若 x y 满足则 x y 的最大值为 A 3B 0C 1D 3 3 某三棱锥的三视图如图所示 则该三棱锥的体积为 A B C D 4 4 已知 i 是虚数单位 a R 则 a 1 是 a i 2为纯虚数 的 A 充分而不必要条件B 必要而不充分条件 C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件 5
2、 执行如图所示的程序框图 如果输入的 x 0 2 那么输出的 y 值不可能为 第 2 页 共 15 页 A B 0C 1D 2 6 已知函数的图象过点 现将 y f x 的图象 向左平移 t t 0 个单位长度得到的函数图象也过点 P 那么 A t 的最小值为B t 的最小值为 C t 的最小值为D t 的最小值为 7 已知点 P 是边长为 2 的正方形 ABCD 所在平面内一点 若 则 的最大值是 A B C D 8 某码头有总重量为 13 5 吨的一批货箱 对于每个货箱重量都不超过 0 35 吨的任何 情况 都要一次运走这批货箱 则至少需要准备载重 1 5 吨的卡车 A 12 辆B 11
3、辆C 10 辆D 9 辆 二 填空题 本大题共 6 小题 共 30 0 分 9 双曲线的离心率为 10 若在区间 1 4 上随机选取一个数 x 则事件 x 1 发生的概率为 11 已知等差数列 an 的前 n 项和为 Sn 能够说明 若数列 an 是递减数列 则数列 Sn 是递减数列 是假命题的数列 an 的一个通项公式为 12 在平面直角坐标系 xOy 中 圆 C 的参数方程为 为参数 以坐标 原点 O 为极点 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 直线 l 的极坐标方程为 cos sin 1 0 圆心 C 到直线 l 的距离为 13 把 5 个人安排在周一至周五值班 要求每人值班一天 每天安排一
4、人 甲乙安排在 不相邻的两天 乙丙安排在相邻的两天 则不同的安排方法有 种 14 已知点 P Q 分别是抛物线 C y2 4x 和直线 x 6 0 上的动点 点 M 是圆 K x 1 2 y2 1 上的动点 抛物线 C 的焦点坐标为 的最小值为 三 解答题 本大题共 6 小题 共 80 0 分 第 3 页 共 15 页 15 在 ABC 中 角 A B C 的对边分别为 a b c 且 求 B 的值 求 sinA sinC 的最大值 16 频率 组距 75 80 85 90 95 100 成绩 分 0 060 050 040 030 02 某学校组织高一 高二年级学生进行了 纪念建国 70 周
5、年 的知识竞赛 从这两 个年级各随机抽取了 40 名学生 对其成绩进行分析 得到了高一年级成绩的频率 分布直方图和高二年级成绩的频数分布表 成绩分组频数 75 80 2 80 85 6 85 90 16 90 95 14 95 100 2 高二 规定成绩不低于 90 分为 优秀 估计高一年级知识竞赛的优秀率 将成绩位于某区间的频率作为成绩位于该区间的概率 在高一 高二年级学 生中各选出 1 名学生 记这 2 名学生中成绩优秀的人数为 求随机变量 的分布 列 在高一 高二年级各随机选取 1 名学生 用 X Y 分别表示所选高一 高二 年级学生成绩优秀的人数 写出方差 DX DY 的大小关系 只需
6、写出结论 第 4 页 共 15 页 17 在梯形 ABCD 中 AB CD AB 2AD 2CD 4 P 为 AB 的中点 线段 AC 与 DP 交于 O 点 如图 1 将 ACD 沿 AC 折起到 ACD 的位置 使得二面角 B AC D 为直二面角 如图 2 求证 BC 平面 POD 求二面角 A BC D 的大小 线段 PD 上是否存在点 Q 使得 CQ 与平面 BCD 所成角的正弦值为 若存 在 求出的值 若不存在 请说明理由 18 已知函数 f x lnx ax2 2a 1 x 1 a 0 当 a 0 时 求函数 f x 在区间 1 上的最大值 函数 f x 在区间 1 上存在最小值
7、 记为 g a 求证 19 已知椭圆 的左 右顶点分别为 A B 长轴长为 4 离心率 为 过右焦点 F 的直线 l 交椭圆 E 于 C D 两点 均不与 A B 重合 记直线 AC BD 的斜率分别为 k1 k2 求椭圆 E 的方程 是否存在常数 当直线 l 变动时 总有 k1 k2成立 若存在 求出 的值 若不存在 说明理由 第 5 页 共 15 页 20 在数列 an 中 记 P n a1 a2 a2 a3 an 1 an n N 且 n 2 若对任意的 n N 且 n 2 都有 P n an a1 则称数列 an 具有性质 P 请写出具有性质 P 的一个数列的前四项 设数列 an 具有
8、性质 P 证明 an 1 an 若存在常数 M 对任意的 n N 且 n 2 都有 P n M 则称数列 an 是 数列 设 Sn是数列 bn 的前 n 项和 且 Sn 是 数列 证明 数列 bn 是 数列 第 6 页 共 15 页 答案和解析答案和解析 1 答案 A 解析 解 解不等式 x2 4 得 2 x 2 又 x Z 所以 A 又 B x 1 x 3 所以 A B 故选 A 由二次不等式的解法及交集的运算得 A 又 B x 1 x 3 所以 A B 得解 本题考查了二次不等式的解法及交集的运算 属简单题 2 答案 B 解析 解 令 z x y 则 y x z 由题意作平面区域如下 结合
9、图象可知 当过点 O 0 0 时 x y 取得最大值 0 故选 B 令 z x y 从而化简为 y x z 作平面区域 结合图象求解即可 本题考查了学生的作图能力及线性规划的应用 同时考查了数形结合的思想应用 3 答案 B 解析 解 根据几何体的三视图 得 该几何体是如图所示的三棱锥 P ABC 且 PC 底面 ABC AC BC PC BC 2 AC 2 所以 该三棱锥的体积为 V 2 2 2 故选 B 根据几何体的三视图 得出该几何体底面为直角三角形 的三棱锥 且侧棱垂直于底面 求出它的体积即可 本题考查了空间几何体的三视图的应用问题 也考查了空间想象能力与计算能力 是基 第 7 页 共
10、15 页 础题目 4 答案 A 解析 分析 本题考查了复数的运算法则 纯虚数的定义 考查了推理能力与计算能力 属于基础题 利用复数的运算法则 纯虚数的定义即可得出 解答 解 a R a i 2 a2 1 2ai 为纯虚数 则 a2 1 0 2a 0 解得 a 1 a R 则 a 1 是 a i 2为纯虚数 的充分不必要条件 故选 A 5 答案 D 解析 分析 本题主要考查程序框图的识别和应用 结合程序求出对应函数的值域是解决本题的关键 根据程序框图 求出函数值域进行计算即可 解答 解 当 0 x 1 时 y 2x 0 2 当 1 x 2 时 y x2 2x x 1 2 1 1 0 综上 1 y
11、 2 故 y 不可能的值是 2 故选 D 6 答案 C 解析 解 函数的图象过点 则 解得 所以 f x 将 y f x 的图象向左平移 t t 0 个单位长度得到的函数图象也过点 P 故 g x 所以 所以 t 的最小值为 故选 C 首先利用三角函数关系式的恒等变换求出 的值 进一步利用关系式的平移变换的应用 求出结果 本题考查的知识要点 三角函数关系式的恒等变换 正弦型函数的性质的应用 主要考 察学生的运算能力和转换能力 属于基础题型 7 答案 C 第 8 页 共 15 页 解析 分析 本题考查了平面向量的运算和几何应用 属中档题 由平面向量的运算结合圆的性质即 可得解 解答 解 由 由
12、则 1 即点 P 在以点 C 为圆心 1 为半径的圆周上运动 由点与圆的有关性质得 的最大值 2 1 故选 C 8 答案 B 解析 解 解法 1 从第 1 辆卡车开始依次装上货物 每车一直装到再装一箱就超 过 1 5 吨为止 把多出的这一箱先单独留出来不往后面装 因为 13 5 1 5 0 35 7 3 所以这样至少能装到第 7 辆卡车 包括单独留出 之后还有剩余 如果装到第 7 辆卡车剩余的已经不足 1 5 吨 那么第 8 辆卡车可以把剩余的装走 此时前 7 辆卡车单独留出的 7 个货箱可以分成两组 一组 3 个 一组 4 个 每组不超过 0 35 4 1 4 吨 这样再找 2 辆卡车就可以
13、拉完 一共最多需要 10 辆卡车 如果装到第 7 辆车剩余的货箱超过 1 5 吨 可以继续装第 8 辆卡车 此时 8 辆卡车上单独留出 8 个货箱可以分成两组 每组 4 个 每组都不超过 0 35 4 1 4 吨 再找 2 辆卡车就可以拉走 上面 10 辆卡车一共装了超过 1 5 8 12 吨货箱 所剩货箱不超过 13 5 12 1 5 吨 最多还需要 1 辆卡车就可以拉走 所以一共最多需要 11 辆卡车 综上 要保证任何情况都能一次性拉走 则至少需要 11 辆卡车 解法二 由题意 将所有货箱任意排定顺序 首先将货箱依次装上第 1 辆卡车 并直到再装 1 个就超过载重量为止 并将这最后不能装上
14、的货箱放在第 1 辆卡车之旁 然后按同样办法装第 2 辆 第 3 辆 直到第 8 辆车装完并在车旁放了 1 个货箱为止 显然前 8 辆车中每辆所装货箱及车旁所放 1 箱的重量和超过 1 5 吨 所以所余货箱的重量和不足 1 5 吨 可以全部装入第 9 辆卡车 然后把前 8 辆卡车旁所放的各 1 货箱分别装入后 2 辆卡车 每车 4 个货箱 显然不超载 这样装车就可用 8 1 2 11 辆卡车 1 次把这批货箱运走 故选 B 根据题意 建立适当的数学模型 按照一定的顺序把货箱装入每辆卡车 从而求出装入这批货物的货箱所需要的卡车数 本题考查了逻辑推理的实际应用问题 是难题 9 答案 第 9 页 共
15、 15 页 解析 解 双曲线 a 1 b c 双曲线的离心率为 e 故答案为 根据双曲线的方程为标准形式 求出 a b c 的值 即得离心率 的值 本题考查双曲线的标准方程 以及双曲线的简单性质的应用 把双曲线的方程化为标准 形式是解题的突破口 10 答案 解析 分析 本题考查几何概型概率的求法 关键是注意测度比为长度比 是基础题 直接利用测度比为长度比求解 解答 解 在区间 1 4 上随机选取一个数 x x 1 的概率 P 故答案为 11 答案 an 2n 7 答案不唯一 解析 解 由题意 如果递减的等差数列 若其前 k k 2 k N 项为正项 显然 该数列的前 n 项和 Sn是先增后减
16、而不是递减的 故填 an 2n 7 对于递减的等差数列 若其前 k k 2 k N 项为正项 显然该数列的前 n 项和 Sn是 先增后减 而非递减的 本题考查了等差数列的单调性 等差数列前 n 项和的单调性 属于基础题 12 答案 解析 解 由得圆 C 的普通方程为 x2 y 1 2 1 由 cos sin 1 0 得 x y 1 0 所以圆心 0 1 到直线的距离 d 故答案为 先将圆和直线化成直角坐标方程 再利用点到直线的距离公式可求得 本题考查了简单曲线的极坐标方程 属中档题 13 答案 36 解析 解 根据题意 设 5 人为甲乙丙丁戊 将乙丙看成一个整体 考虑 2 人之间的顺序 有 A22 2 种情况 将这个整体与丁戊全排列 有 A33 6 种安排方法 排好后 有 4 个空位 由于甲乙安排在不相邻的两天 则只能从 3 个空中任选 1 个 安排甲 有 A31 3 种安排方法 不同的安排方案共有 2 6 3 36 种 第 10 页 共 15 页 故答案为 36 根据分步计数原理 结合相邻问题和不相邻问题的方法即可求出 本题考查了分类和分步计数原理 关键是分清是分步还是分类 属于中档
