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1、考前回扣 一 集合 复数与常用逻辑用语知识方法1 集合的概念 关系及运算 1 集合中元素的特性 确定性 无序性 求解含参数的集合问题时要根据互异性进行检验 2 集合与集合之间的关系 A B B C A C 空集是任何集合的子集 含有n个元素的集合的子集数为 真子集数为 非空真子集数为 互异性 2n 2n 1 2n 2 3 集合的基本运算 交集 A B x x A 且x B 并集 A B x x A 或x B 补集 UA x x U 且x A 重要结论 A B A A B A B A B A 2 四种命题的关系 1 逆命题与否命题互为逆否命题 2 互为逆否命题的两个命题同真假 3 当判断原命题的
2、真假比较困难时 可以转化为判断它的逆否命题的真假 3 充分 必要条件若p q 则p是q的条件 q是p的条件 若p q 则p q互为条件 4 简单的逻辑联结词命题p q 只要p q有一真 即为真 命题p q 只有p q均为真 才为真 p和p为真假对立的命题 5 全称命题与特称命题 1 全称命题p x M p x 它的否定 p x0 M p x0 2 特称命题p x0 M p x0 它的否定 p x M p x 充分 必要 充要 6 复数 1 复数的有关概念 易忘提醒1 求解集合运算时 要注意集合端点值的取舍 涉及含参数的集合运算时 要注意集合中元素的 互异性 2 判断一些命题的真假时 如果不能直
3、接判断 可以转化为判断其逆否命题的真假 3 否命题是既否定条件 又否定结论 而命题的否定是只否定命题的结论 在否定结论时 应将 且 改成 或 将 或 改成 且 5 只有当两个复数全是实数时 两复数才能比较大小 即当z1 z2 C时 若z1 z2能比较大小 它们的虚部均为0 习题回扣 命题人推荐 答案 x x 0 答案 答案 3 答案 既不充分又不必要 3 复数相等 若x y R 且 x 3y 2x 3y i 5 i 则x y 4 充要条件 两直线斜率相等是两直线平行的条件 答案 5 命题真假判断 下列命题是真命题的序号是 空集是集合A的子集 的否定 有些整数只有两个正因数 x是无理数 x2也是
4、无理数 任意两个等边三角形都是相似 的否定 二 平面向量 框图与合情推理知识方法1 平面向量 1 平面向量的两个重要定理 向量共线定理 向量a a 0 与b共线当且仅当存在唯一一个实数 使 平面向量基本定理 如果e1 e2是同一平面内的两个不共线向量 那么对这一平面内的任一向量a 有且只有一对实数 1 2 使 其中e1 e2是一组基底 2 两个非零向量平行 垂直的充要条件若两个非零向量a x1 y1 b x2 y2 则 a b a b 0 a b a b 0 b a a 1e1 2e2 x1y2 x2y1 0 x1x2 y1y2 0 4 常用的重要结论 若直线l的斜率为k 则 1 k 是直线l
5、的一个方向向量 2 框图程序框图的三种基本逻辑结构 1 顺序结构 如图 1 所示 2 条件结构 如图 2 和 3 所示 3 循环结构 如图 4 和 5 所示 3 合情推理合情推理包括归纳推理和类比推理 归纳推理是由部分到整体 由个别到一般的推理 而类比推理是由特殊到特殊的推理 易忘提醒1 注意向量平行与三点共线的区别与联系 当两向量平行且有公共点时 才能得出三点共线 另外 利用向量平行证明向量所在直线平行 必须说明这两条直线不重合 2 向量相等具有传递性 向量平行不具有传递性 如a b b c 只有b 0时 a c 3 a b 0不能推出a 0或b 0 因为a b 0时 有可能a b 4 a
6、b 0是两个向量a b夹角为锐角的必要不充分条件 5 利用循环结构表示算法 第一要准确地选择表示累计的变量 第二要注意在哪一步开始循环 满足什么条件不再执行循环体 6 直到型循环是先执行再判断 直到条件满足才结束循环 当型循环是先判断再执行 若满足条件则进入循环体 否则结束循环 7 合情推理的结论不一定是正确的 要确定其结论的正确性还需证明 习题回扣 命题人推荐 1 程序框图 执行如图所示的程序框图 如果输入的t 1 3 则输出的s属于 A 3 4 B 5 2 C 4 3 D 2 5 A 2 共线向量 设平面向量a 1 2 b 2 y 若a b 则 2a b 答案 4 3 数量积的应用 已知向
7、量a b满足 a 1 b 4 且a b 2 则a与b的夹角为 答案 答案 三 不等式与线性规划 计数原理与二项式定理知识方法1 一元二次不等式的解法先化为一般形式ax2 bx c 0 a 0 再求相应一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 的根 最后根据相应二次函数图象与x轴的位置关系 确定一元二次不等式的解集 2 线性规划 1 判断二元一次不等式表示的平面区域的方法 在直线Ax By C 0 A2 B2 0 的某一侧任取一点 x0 y0 通过Ax0 By0 C的符号来确定Ax By C 0 或Ax By C 0 所表示的区域 2 解不含实际背景的线性规划问题的一般步骤 画出可行域 根据线性
8、目标函数的几何意义确定其取得最优解的点 求出目标函数的最大值或者最小值 3 求解实际生活中线性规划问题时 应根据条件确定可行域及目标函数 根据可行域及目标函数特征求最值 3 基本不等式 1 已知x y 0 如果积xy是定值P 那么当x y时 和x y有最小值 2 已知x y 0 如果和x y是定值S 那么当x y时积xy有最大值 4 排列与组合 1 分类加法计数原理和分步乘法计数原理如果每种方法都能将规定的事件完成 则要用分类加法计数原理将方法种数相加 如果需要通过若干步才能将规定的事件完成 则要用分步乘法计数原理将各步的方法种数相乘 2 排列数 组合数的公式及性质 5 二项式定理 1 二项式
9、定理 易忘提醒1 求解形如ax2 bx c 0 a 0 的一元二次不等式时 易忽视对系数a的讨论导致漏解或错解 应分a 0 a 0进行讨论 在填空题中不等式的解集一定要写成集合或区间的形式 2求解线性规划问题时应明确 直线定界 特殊点定域 定界时注意是否包含边界 答案 70 答案 1 5 2 奇偶性对于定义域 关于原点对称 内的任意x f x f x 0 f x 是奇函数 对于定义域 关于原点对称 内的任意x f x f x 0 f x 是偶函数 3 周期性设函数y f x x D 若T为f x 的一个周期 则nT n 0 n Z 也是f x 的周期 2 关于函数性质常见结论 1 常见抽象函数
10、的周期 设函数y f x 定义域为D 若 x D 且f x a f x 则T 2 a a 0 下同 若 x D 且f x a 则T 2 a 若 x D 且f x a f x b 则T b a a b 3 关于奇偶性结论 若奇函数y f x 在原点处有定义 则一定有f 0 0 若函数y f x 是偶函数 则f x f x f x 奇函数在关于原点对称的区间有相同的单调性 偶函数在关于原点对称的区间单调性相反 3 关于指数与对数式的七个运算公式 1 am an am n 2 am n amn 3 loga MN logaM logaN 5 logaMn nlogaM 4 指数函数与对数函数的图象和
11、性质 5 函数的零点 1 函数的零点及其与方程根的关系对于函数f x 使f x 0的实数x叫做函数f x 的零点 函数F x f x g x 的零点就是方程f x g x 的根 即函数y f x 的图象与函数y g x 的图象交点的横坐标 2 零点存在性定理如果函数y f x 在区间 a b 上的图象是连续不断的一条曲线 并且有f a f b 0 那么函数y f x 在区间 a b 内有零点 即存在c a b 使得f c 0 这个c也就是方程f x 0的根 易忘提醒1 判断函数奇偶性时 首先考虑函数定义域是否关于原点对称 2 函数有多个单调区间时 易错误地在多个单调区间之间添加符号 和 或 它
12、们之间一般用 隔开或者用 和 字连接 3 底数含参数的指数 对数函数单调性 要分底数a 1和0 a 1两种情况讨论 4 函数的零点不是一个 点 而是函数图象与x轴交点的横坐标 答案 2 4 2 函数的奇偶性 函数f x x2 a 1 x b在定义域 5 b 2 上是偶函数 则a b 答案 4 3 指数函数的图象和性质 函数f x 3 a 1 x 2 a 1且a 2 必过定点 答案 2 4 4 对数的运算 lg5 2 lg50 lg2 答案 1 5 函数的零点 函数f x 3x 7 lnx的零点位于区间 n n 1 n N 内 则n 答案 2 五 导数的简单应用与定积分知识方法1 导数的几何意义
13、 1 函数y f x 在x x0处的导数f x0 就是曲线y f x 在点 x0 f x0 处切线的斜率 即k f x0 2 曲线y f x 在点 x0 f x0 处的切线方程为y f x0 f x0 x x0 2 函数的单调性 1 在某个区间 a b 内 如果f x 0 f x 0 那么函数y f x 在这个区间内单调递增 单调递减 2 利用导数求函数f x 的单调区间的一般步骤 确定函数f x 的定义域 求导数f x 在函数f x 的定义域内解不等式f x 0和f x f x0 那么f x0 是函数的一个极小值 记作y极小值 f x0 极大值与极小值统称为 极值 4 函数的最值将函数y f
14、 x 在 a b 内的各极值与端点处的函数值f a f b 比较 其中最大的一个是最大值 最小的一个是最小值 易忘提醒1 曲线y f x 在点P x0 y0 处的切线 与 过点P x0 y0 的切线 是不同的 前者只有一条 后者则可能有多条 2 求复合函数y f ax b 的导数时应注意复合函数求导法则 其导数为y af ax b 3 利用导数研究函数的单调性 首先确定函数的定义域 4 已知单调性求参数时 应明确f x 0在 a b 上成立是f x 在 a b 上是增函数的充分条件 当f x 在 a b 上是增函数时 应有f x 0恒成立 其中满足f x 0的x只有有限个 否则答案不全面 5
15、可导函数y f x 在x x0处的导数f x0 0是y f x 在x x0处取得极值的必要不充分条件 6 求定积分时应明确定积分结果可负 但曲边形的面积非负 习题回扣 命题人推荐 1 导数的运算 函数f x xsinx的导数为f x 答案 sinx xcosx 2 导数几何意义 曲线y x2 ax b在点 0 b 处的切线方程是x y 1 0 则a b 答案 2 3 函数的单调性与导数 函数f x 2x3 6x2 7的单调递增区间是 答案 0 2 答案 4 ln3 六 导数的综合应用知识方法1 利用导数解决与函数有关的方程根问题 1 利用导数研究高次式 分式 指数式 对数式方程根的个数问题的一
16、般思路 将问题转化为函数零点的个数问题 进而转化为函数图象交点的个数问题 利用导数研究该函数在给定区间上的单调性 极值 最值 端点值等 画出函数的大致图象 结合图象求解 2 证明复杂方程在某区间上有且仅有一解的步骤 在该区间上构造与方程相应的函数 利用导数研究该函数在该区间上的单调性 判断该函数在该区间端点处的函数值异号 作出结论 2 利用导数证明不等式不等式的证明可转化为利用导数研究函数的单调性 极值和最值 再由单调性或最值来证明不等式 其中构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键 易忘提醒在解决导数的综合问题时 应注意 1 树立定义域优先的原则 2 熟练掌握基本初等函数的求导公式和求导法则 3 理解与不等式有关的导数综合问题化为函数最值问题的转化过程 4 理解含参导数的综合问题中分类讨论思想的应用 5 存在性问题与恒成立问题容易混淆 它们既有区别又有联系 若f x m恒成立 则f x max m 若f x m恒成立 则f x min m 若f x m有解 则f x min m 若f x m有解 则f x max m 2 牢记 五组公式 1 同角三角函数关系式 平方关系 sin2 c
