《（浙江专用）高考数学新增分大一轮复习第七章数列与数学归纳法7.4数列求和、数列的综合应用（第2课时）数列的综合应用讲义（含解析）.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《（浙江专用）高考数学新增分大一轮复习第七章数列与数学归纳法7.4数列求和、数列的综合应用（第2课时）数列的综合应用讲义（含解析）.doc（16页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第2课时数列的综合应用题型一数列和解析几何的综合问题例1(2004浙江)已知OBC的三个顶点坐标分别为O(0,0)，B(1,0)，C(0,2)，设P1为线段BC的中点，P2为线段CO的中点，P3为线段OP1的中点，对于每一个正整数n，Pn3为线段PnPn1的中点，令Pn的坐标为(xn，yn)，anynyn1yn2.(1)求a1，a2，a3及an的值；(2)求证：yn41，nN*；(3)若记bny4n4y4n，nN*，求证：bn是等比数列(1)解因为y1y2y41，y3，y5，所以a1a2a32，又由题意可知yn3，所以an1yn1yn2yn3yn1yn2ynyn1yn2an，所以an为常数列，
2、所以ana12，nN*.(2)证明将等式ynyn1yn22两边除以2得yn1.又因为yn4，所以yn41，nN*.(3)证明因为bn1y4n8y4n4(y4n4y4n)bn，又因为b1y8y40，所以bn是首项为，公比为的等比数列思维升华利用题目中曲线或直线上点的坐标之间的关系，得到数列的递推关系，然后利用数列的递推关系寻求数列通项，从而求解题目跟踪训练1(2016浙江)如图，点列An，Bn分别在某锐角的两边上，且|AnAn1|An1An2|，AnAn2，nN*，|BnBn1|Bn1Bn2|，BnBn2，nN*(PQ表示点P与Q不重合)若dn|AnBn|，Sn为AnBnBn1的面积，则()AS
3、n是等差数列BS是等差数列Cdn是等差数列Dd是等差数列答案A解析作A1C1，A2C2，A3C3，AnCn垂直于直线B1Bn，垂足分别为C1，C2，C3，Cn，则A1C1A2C2AnCn.|AnAn1|An1An2|，|CnCn1|Cn1Cn2|.设|A1C1|a，|A2C2|b，|B1B2|c，则|A3C3|2ba，|AnCn|(n1)b(n2)a (n3)，Snc(n1)b(n2)ac(ba)n(2ab)，Sn1Snc(ba)(n1)(2ab)(ba)n(2ab)c(ba)，数列Sn是等差数列题型二数列与不等式的综合问题命题点1可求通项的裂项放缩例2已知数列满足且a14(nN*)(1)求数
4、列的通项公式；(2)设bnaan，且Sn为的前n项和，证明：12Sn0，故Sn是关于n的递增数列，故SnS1b1aa112.当k2时，bkaak3，故当n2时，Snb1b2b3bn12b2b3bn1231515.又n1时，S11215，综上有12Sn15.命题点2可求通项构造放缩例3(2018湖州调研)已知数列an满足a1，an1，nN*.(1)求a2；(2)求的通项公式；(3)设an的前n项的和为Sn，求证：Sn.(1)解由条件可知a2.(2)解由an1，得，即1，又10，所以是首项为，公比为的等比数列，则1n1n，所以n1.(3)证明由(2)可得ann1.所以Sn1n1，故Sn成立另一方面
5、ann，Sna1a2a3an34nn2，n3，又S1，S2，因此Sn，nN*.所以Sn.命题点3不可求通项裂项放缩例4(2018杭州模拟)设数列an满足a1，an1an(nN*)(1)证明：anan10，所以an1anan，即ak1akak，kN*，所以3331，所以an1.又a11，a21，所以an1(nN*)，所以anan10，所以an1anan，由题意，得.则，即，累加得，12，即32，所以an11.所以anan11(nN*)(2)方法一当n1时，a1，显然成立由an1，知ak1akak1，所以ak1akakakak1akakak1，所以，所以，当n2时，.所以an(nN*)方法二当n2
6、时，1，即31，即an，又n1时，a1，所以an(nN*)命题点4不可求通项构造放缩例5(2018浙江模拟训练冲刺卷)已知数列an满足a10，an1，nN*.(1)求证：an1an，nN*；(2)求证：an1，nN*；(3)求证：n2时，an.证明(1)an1an，an11an1，(an11)(an1)(an1)210，故an11与an1同号又a1110，an10，an1an0，故an1an，nN*.(2)ak11ak1，kN*，(ak11)2(ak1)22(ak1)22，kN*，当n2时，(an1)2(an1)2(an11)2(an11)2(an21)2(a21)2(a11)2(a11)22
7、(n1)12n1.又an10，故当n2时，an1，即当n2时，an1.又当n1时，a110，所以an1，nN*.(3)由(2)知ak1ak，kN*，所以当n2时，ana1(a2a1)(a3a2)(an1an2)(anan1)，即当n2时，an1.当n3时，所以当n3时，an13，数列an中，a1a，an1，nN*.(1)求证：an3，且0，an1与an同号a1a，a3，a10，an0.an130，an13，an3.1.(2)an13，.由(1)知3ana1a，3an4，设an3t，则0t1.故，当n2时，n1，n1，an3(a13)n1n1，an3n1.又当n1时，a1a4满足上式，an3成立
8、2(2018温州市适应性考试)数列an，bn的每一项都是正数，a18，b116，且an，bn，an1成等差数列，bn，an1，bn1成等比数列，n1,2,3，.(1)求a2，b2的值，并求数列an，bn的通项公式；(2)证明：对一切正整数n，有.(1)解由2b1a1a2，可得a22b1a124.由ab1b2，可得b236.因为an，bn，an1成等差数列，所以2bnanan1.因为bn，an1，bn1成等比数列，所以abnbn1，因为数列an，bn的每一项都是正数，所以an1，于是当n2时，an.将，代入式，可得2，因此数列是首项为4，公差为2的等差数列，所以(n1)d2n2，于是bn4(n1
9、)2.由式，可得当n2时，an4n(n1)当n1时，a18，满足该式子，所以对一切正整数n，都有an4n(n1)(2)证明由题意知，所证明的不等式为，首先证明(n2)7n27n0(n1)(n2)0，所以当n2时，.当n1时，.综上所述，对一切正整数n，有.3已知数列an满足a11，an1(nN*)(1)证明：数列为递减数列；(2)记Sn为数列|an1an|的前n项和，证明：Sn0，故1，所以数列为递减数列(2)因为a11，a2，所以当n3时，所以an(n3)，故an(n2)因为(n2)，当n1时，也满足上式，故|an1an|a2a1|n1，所以Sn|a2a1|a3a2|an1an|a2a1|(nN*)4(2018金华十校调研)已知数列xn满足xn(0,1)(nN*)，函数f(x)ln在点(xn，f(xn)处的切线与x轴交点的横坐标为xn1.(1)证明：当x(0
