《高考理数（北京专用）一轮课件：8 第八章 立体几何41_第五节 空间向量及其运算 .ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考理数（北京专用）一轮课件：8 第八章 立体几何41_第五节 空间向量及其运算 .ppt（36页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第五节 空间向量及其运算 总纲目录 教材研读 1 空间向量的有关概念 考点突破 2 空间向量中的有关定理 3 空间向量的数量积及运算律 考点二 共线 共面向量定理的应用 考点一 空间向量的线性运算 4 空间向量的坐标表示及其应用 考点三 利用空间向量证明平行或垂直 教材研读 1 空间向量的有关概念 2 空间向量中的有关定理 1 共线向量定理 空间两个向量a a 0 与b共线的充要条件是存在实数 使得 b a 推论 如图所示 点P在l上的充要条件是 ta O为空间上任意一 点 其中a叫直线l的方向向量 t R 在l上取 a 则 可化为 t 或 1 t t 2 共面向量定理 共面向量定理的向量表达
2、式 p xa yb 其中x y R a b为不共线 向量 推论的表达式为 x y 或对空间任意一点O 有 x y 或 u v w 其中u v w 1 3 空间向量基本定理 如果向量e1 e2 e3是空间三个不共面的向量 a是空间任意一向量 那么存 在唯一一组实数 1 2 3 使得a 1e1 2e2 3e3 其中 e1 e2 e3 叫做 这个空间的一个基底 3 空间向量的数量积及运算律 1 数量积及相关概念 i 两向量的夹角 已知两个非零向量a b 在空间任取一点O 作 a b 则 AOB叫做 向量a与b的夹角 记作 其范围是 0 若 则称a与b 互相垂直 记作a b ii 两向量的数量积 已知
3、空间两个非零向量a b 则 a b cos 叫做向量a b的数量 积 记作 a b 即a b a b cos 2 空间向量数量积的运算律 结合律 a b a b 交换律 a b b a 分配律 a b c a b a c 4 空间向量的坐标表示及其应用 设a a1 a2 a3 b b1 b2 b3 5 两个重要向量 1 直线的方向向量 直线的方向向量是指和这条直线平行 或在这条直线上 的有向线段所 表示的向量 一条直线的方向向量有无数个 2 平面的法向量 直线l 平面 取直线l的方向向量 则这个向量叫做平面 的法向量 显 然一个平面的法向量有无数个 它们是共线向量 1 已知a 1 0 2 b
4、6 2 1 2 若a b 则 与 的值可以是 A 2 B C 3 2 D 2 2 A 答案 A a b b ka k R 即 6 2 1 2 k 1 0 2 解得 或 2 若平面 的法向量分别为n1 2 3 5 n2 3 1 4 则 A B C 与 相交但不垂直 D 以上均不正确 C 答案 C 由题意知n1与n2不平行 又 n1 n2 2 3 3 1 5 4 0 n1与n2不垂直 与 相交但不垂直 故选C 3 已知正方体ABCD A1B1C1D1中 点E为上底面A1C1的中心 若 x y 则x y的值分别为 A x 1 y 1 B x 1 y C x y D x y 1 C 答案 C 易求 故
5、x y 4 已知向量a 4 2 4 b 6 3 2 则 a b a b 的值为 13 答案 13 解析 a b a b a2 b2 42 2 2 4 2 62 3 2 22 13 5 下列命题 若A B C D是空间任意四点 则有 0 a b a b 是a b共线的充要条件 若a b共线 则a与b所在直线平行 对于空间任意一点O与不共线的三点A B C 若 x y z 其中x y z R 则P A B C四点共面 其中不正确的命题是 答案 解析 正确 对于 a b a b 是a b共线的充分不必要条件 对于 a与b所在的直线可能是同一条直线 对于 必须满足x y z 1 故 错 考点一 空间向
6、量的线性运算 考点突破 典例1 如图所示 在平行六面体ABCD A1B1C1D1中 设 a b c M N P分别是AA1 BC C1D1的中点 试用a b c表示以下各向量 1 2 3 解析 1 P是C1D1的中点 a a c a c b 2 N是BC的中点 a b a b a b c 3 M是AA1的中点 a a b c 又 c a a b c 方法技巧 用基向量表示指定向量的方法 1 结合已知向量和所求向量观察图形 2 将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中 3 利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出 来 1 1 在本例的条件下 若 xa yb zc 求x y
7、 z的值 解析 a b c x y 1 z 典例2 已知点A B C三点不共线 对平面ABC外的任一点O 若点M满足 1 判断 三个向量是否共面 2 判断点M是否在平面ABC内 考点二 共线 共面向量定理的应用 解析 1 由已知得 3 所以 即 所以 共面 2 由 1 知 共面 又它们有公共点M 所以四点M A B C共面 从而点M在平面ABC内 方法技巧 1 证明点共线的方法 证明点共线问题可转化为证明向量共线问题 如证明A B C三点共线 即 证明 共线 亦即证明 0 2 证明点共面的方法 证明点共面问题可转化为证明向量共面问题 如果证明P A B C四点共 面 只要能证明 x y 或对空
8、间任一点O 有 x y 或 u v w u v w 1 即可 共面向量定理实际上也是三个非 零向量所在直线共面的充要条件 2 1 如图所示 已知斜三棱柱ABC A1B1C1 点M N分别在AC1和BC上 且 满足 k k 0 k 1 向量 是否与向量 共面 解析 k k k k k k k k k 1 k k 由共面向量定理知向量 与向量 共面 典例3 如图所示 已知四棱锥P ABCD的底面是直角梯形 ABC BCD 90 AB BC PB PC 2CD 侧面PBC 底面ABCD 证明 1 PA BD 2 平面PAD 平面PAB 考点三 利用空间向量证明平行或垂直 证明 1 取BC的中点O 连
9、接PO 平面PBC 底面ABCD PBC为等边三角形 PO 底面ABCD 以BC的中点O为坐标原点 以BC所在直线为x轴 过点O与AB平行的直线 为y轴 OP所在直线为z轴 建立空间直角坐标系 如图所示 不妨设CD 1 则AB BC 2 PO A 1 2 0 B 1 0 0 D 1 1 0 P 0 0 2 1 0 1 2 2 1 1 2 0 0 PA BD 2 取PA的中点M 连接DM 则M 1 0 1 0 0 0 即DM PB 1 0 2 0 即DM PA 又 PA PB P DM 平面PAB DM 平面PAD 平面PAD 平面PAB 方法技巧 1 用向量证明平行的方法 1 线线平行 只需证
10、明两直线的方向向量是共线向量 2 线面平行 证明直线的方向向量能用平面的两个基向量表示 或证明 直线的方向向量与平面的法向量垂直 3 面面平行 证明两平面的法向量是共线向量 转化为线面平行 线线平行问题 2 用向量证明垂直的方法 1 线线垂直 证明两直线的方向向量互相垂直 即证它们的数量积为零 2 线面垂直 证明直线的方向向量与平面的法向量共线 或将线面垂直 的判定定理用向量表示 3 面面垂直 证明两个平面的法向量垂直 或将面面垂直的判定定理用 向量表示 3 1 如图所示 已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直 AB AF 1 M是线段EF的中点 求证 1 AM 平面BDE 2 AM 平面BDF 证明 1 以C为坐标原点 CD CB CE所在直线分别为x轴 y轴 z轴的正 方向 建立如图所示的空间直角坐标系 设AC BD N 连接NE 则点N E的坐标分别为 0 0 1 又点A M的坐标分别是 0 且NE与AM不共线 NE AM 又 NE 平面BDE AM 平面BDE AM 平面BDE 2 由 1 知 D 0 0 F 1 0 1 0 同理可证 又DF BF F DF 平面BDF BF 平面BDF AM 平面BDF 请认请认 真完成作业业 第五节节 空间间向量及其运算
