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1、 9 1 直线方程与圆的方程 高考文数 新课标 专用 A组 统一命题 课标卷题组 考点 圆的方程 2018课标全国 20 12分 设抛物线C y2 4x的焦点为F 过F且斜率为k k 0 的直线l与C交于A B两点 AB 8 1 求l的方程 2 求过点A B且与C的准线相切的圆的方程 解析 1 由题意得F 1 0 l的方程为y k x 1 k 0 设A x1 y1 B x2 y2 由 得k2x2 2k2 4 x k2 0 16k2 16 0 故x1 x2 所以 AB AF BF x1 1 x2 1 五年高考 由题设知 8 解得k 1 舍去 或k 1 因此l的方程为y x 1 2 由 1 得AB
2、的中点坐标为 3 2 所以AB的垂直平分线方程为y 2 x 3 即y x 5 设所求圆的圆心坐标为 x0 y0 则 解得 或 因此所求圆的方程为 x 3 2 y 2 2 16或 x 11 2 y 6 2 144 方法总结 有关抛物线的焦点弦问题 常用抛物线的定义进行转化求解 在求解过程中应重视 利用韦达定理进行整体运算的方法和技巧 一般地 求直线和圆的方程 常利用待定系数法 考点一 直线的斜率与方程 1 2014福建 6 5分 已知直线l过圆x2 y 3 2 4的圆心 且与直线x y 1 0垂直 则l的方程是 A x y 2 0 B x y 2 0 C x y 3 0 D x y 3 0 B组
3、 自主命题 省 区 市 卷题组 答案 D 已知圆的圆心为 0 3 直线x y 1 0的斜率为 1 则所求直线的斜率为1 所以所求直 线的方程为y x 3 即x y 3 0 故选D 2 2014四川 9 5分 设m R 过定点A的动直线x my 0和过定点B的动直线mx y m 3 0交于点P x y 则 PA PB 的取值范围是 A 2 B 2 C 4 D 2 4 答案 B 直线x my 0过定点A 0 0 直线mx y m 3 0过定点B 1 3 当m 0时 过定点A的直线方程为x 0 过定点B的直线方程为y 3 两条直线互相垂直 此时P 0 3 PA PB 4 当m 0时 直线x my 0
4、的斜率为 直线mx y m 3 0的斜率为m m 1 两条直线互 相垂直 即点P可视为以AB为直径的圆上的点 当点P与点A或点B重合时 PA PB 有最小值 当点P不与点A 点B重合时 PAB为直角三角形 且 PA 2 PB 2 AB 2 10 由基本不等式知 PA PB 2 2 PA PB 2 综合 得 PA PB 2 评析 本题考查直线的方程 两直线垂直及基本不等式 解答本题的关键是找到点P的轨迹 属中档题 考点二 圆的方程 1 2016北京 5 5分 圆 x 1 2 y2 2的圆心到直线y x 3的距离为 A 1 B 2 C D 2 答案 C 由题知圆心坐标为 1 0 将直线y x 3化
5、成一般形式为x y 3 0 故圆心到直线的距 离d 故选C 评析 本题考查圆的标准方程及点到直线的距离公式 属中档题 2 2018天津 12 5分 在平面直角坐标系中 经过三点 0 0 1 1 2 0 的圆的方程为 答案 x2 y2 2x 0 解析 本题主要考查圆的方程 解法一 易知以 0 0 1 1 2 0 为顶点的三角形为等腰直角三角形 其外接圆的圆心为 1 0 半 径为1 所以所求圆的方程为 x 1 2 y2 1 即x2 y2 2x 0 解法二 设所求圆的方程为x2 y2 Dx Ey F 0 由已知条件可得 解得 所以所求圆的方程为x2 y2 2x 0 方法总结 常见的求圆的方程的方法
6、1 利用圆的几何特征 求出圆心坐标和半径长 从而写出圆的标准方程 2 利用待定系数法 若利用所给条件易求圆心的坐标和半径长 则常用标准方程求解 若所给 条件与圆心 半径关系不密切或涉及圆上多点 则常用一般方程求解 3 2016浙江 10 6分 已知a R 方程a2x2 a 2 y2 4x 8y 5a 0表示圆 则圆心坐标是 半径是 答案 2 4 5 解析 方程a2x2 a 2 y2 4x 8y 5a 0表示圆 则a2 a 2 故a 1或2 当a 2时 方程为4x2 4y2 4x 8y 10 0 即x2 y2 x 2y 0 亦即 y 1 2 不成立 故舍去 当a 1时 方程为x2 y2 4x 8
7、y 5 0 即 x 2 2 y 4 2 25 故圆心为 2 4 半径为5 评析 本题重点考查了圆的一般方程 圆的一般方程除了要求x2 y2的系数相等以外 还要注意 求出的圆的半径的平方必须为正 对于x2 y2 Dx Ey F 0 要求D2 E2 4F 0 4 2015湖北 16 5分 如图 已知圆C与x轴相切于点T 1 0 与y轴正半轴交于两点A B B在A的上 方 且 AB 2 1 圆C的标准方程为 2 圆C在点B处的切线在x轴上的截距为 答案 1 x 1 2 y 2 2 2 1 解析 1 记AB的中点为D 在Rt BDC中 易得圆C的半径r BC 因此圆心C的坐标为 1 所以圆C的标准方程
8、为 x 1 2 y 2 2 2 因为点B的坐标为 0 1 C的坐标为 1 所以直线BC的斜率为 1 所以所求切线的斜率为1 由点斜式得切线方程为y x 1 故切线在 x轴上的截距为 1 5 2014山东 14 5分 圆心在直线x 2y 0上的圆C与y轴的正半轴相切 圆C截x轴所得弦的长为2 则 圆C的标准方程为 答案 x 2 2 y 1 2 4 解析 因为圆心在直线x 2y 0上 所以可设圆心坐标为 2a a 又圆C与y轴相切 所以 2a 2 a2 2 解得a 1 又圆C与y轴的正半轴相切 所以a 1 故圆C的标准方程为 x 2 2 y 1 2 4 评析 本题考查直线与圆的位置关系以及圆的标准
9、方程的求法 考查学生运算求解的能力以 及运用数形结合思想求解问题的能力 本题的易错点是忽视圆与y轴的正半轴相切 6 2015广东 20 14分 已知过原点的动直线l与圆C1 x2 y2 6x 5 0相交于不同的两点A B 1 求圆C1的圆心坐标 2 求线段AB的中点M的轨迹C的方程 3 是否存在实数k 使得直线L y k x 4 与曲线C只有一个交点 若存在 求出k的取值范围 若不 存在 说明理由 解析 1 圆C1的方程x2 y2 6x 5 0可化为 x 3 2 y2 4 所以圆心坐标为 3 0 2 设A x1 y1 B x2 y2 x1 x2 M x0 y0 则x0 y0 由题意可知直线l的
10、斜率必存在 设直线l的方程为y tx 将上述方程代入圆C1的方程 化简得 1 t2 x2 6x 5 0 由题意 可得 36 20 1 t2 0 x1 x2 所以x0 代入直线l的方程 得y0 因为 3x0 所以 由 解得t2 又t2 0 所以 0且d 1 故m 所以切线方程为x y 0 故选A 2 2013天津 5 5分 已知过点P 2 2 的直线与圆 x 1 2 y2 5相切 且与直线ax y 1 0垂直 则a A B 1 C 2 D 答案 C 由题意可知 点P 2 2 在圆上 设圆心为M 1 0 则kMP 2 由圆的切线的性质可得 过点 P的切线的斜率为k 又因为切线与直线ax y 1 0
11、垂直 所以 a 1 即a 2 故选C 评析 本题主要考查圆的切线的性质及两条直线的位置关系 本题也可以利用直线ax y 1 0 与直线MP都垂直切线 得出直线MP与直线ax y 1 0平行 从而得出a kMP 2 考查学生运算求解 能力 3 2013四川 15 5分 在平面直角坐标系内 到点A 1 2 B 1 5 C 3 6 D 7 1 的距离之和最小的 点的坐标是 答案 2 4 解析 由已知得kAC 2 kBD 1 所以AC的方程为y 2 2 x 1 即2x y 0 BD的方程为y 5 x 1 即x y 6 0 联立 解得 所以直线AC与直线BD的交点为P 2 4 此点即为所求点 因为 PA
12、 PB PC PD AC BD 取异于P点的任一点P 则 P A P B P C P D P A P C P B P D AC BD PA PB PC PD 故P点就是到A B C D的距离之和最小的点 故应填 2 4 考点二 圆的方程 1 2015北京 2 5分 圆心为 1 1 且过原点的圆的方程是 A x 1 2 y 1 2 1 B x 1 2 y 1 2 1 C x 1 2 y 1 2 2 D x 1 2 y 1 2 2 答案 D 由题意得圆的半径为 故该圆的方程为 x 1 2 y 1 2 2 故选D 2 2013江西 14 5分 若圆C经过坐标原点和点 4 0 且与直线y 1相切 则圆
13、C的方程是 答案 x 2 2 解析 由已知可设圆心为 2 b 半径为r 由22 b2 1 b 2 r2得b r2 故圆C的方程为 x 2 2 评析 本题考查了圆的方程和待定系数法 充分利用圆的性质求出圆心的坐标是求解的关键 3 2014湖北 17 5分 已知圆O x2 y2 1和点A 2 0 若定点B b 0 b 2 和常数 满足 对圆O上任 意一点M 都有 MB MA 则 1 b 2 答案 1 2 解析 解法一 当M为 1 0 时 MA 1 MB b 1 b 1 当M为 1 0 时 MA 3 MB b 1 b 1 3 由 消去 得3 b 1 b 1 b b 2舍去 将b 代入 得 解法二 设
14、M x y 则满足x2 y2 1 MB MA 两边平方得 x b 2 y2 2 x 2 2 y2 即x2 2bx b2 1 x2 2 x2 4x 4 1 x2 2bx b2 1 4 2x 5 2 故有 1或 当 1时 b 2 舍去 当 时 b b 4 2013课标全国 20 12分 在平面直角坐标系xOy中 已知圆P在x轴上截得线段长为2 在y 轴上截得线段长为2 1 求圆心P的轨迹方程 2 若P点到直线y x的距离为 求圆P的方程 解析 1 设P x y 圆P的半径为r 由题设得y2 2 r2 x2 3 r2 从而y2 2 x2 3 故P点的轨迹方程为y2 x2 1 2 设P x0 y0 由
15、已知得 又P在双曲线y2 x2 1上 从而得 由 得 此时 圆P的半径r 由 得 此时 圆P的半径r 故圆P的方程为x2 y 1 2 3或x2 y 1 2 3 三年模拟 A组 2016 2018年高考模拟 基础题组 考点一 直线的斜率与方程 1 2016广西南宁二中模拟 2 到直线3x 4y 1 0的距离为3 且与此直线平行的直线方程是 A 3x 4y 4 0 B 3x 4y 4 0或3x 4y 2 0 C 3x 4y 16 0 D 3x 4y 16 0或3x 4y 14 0 答案 D 设所求直线方程为3x 4y m 0 m 1 由题意得 3 解得m 16或m 14 即所求直线方程为3x 4y
16、 16 0或3x 4y 14 0 2 2017贵州贵阳模拟 5 若双曲线C 1的离心率为2 则直线mx ny 1 0的倾斜角为 A B C 或 D 或 答案 C e2 4 3 则直线mx ny 1 0的斜率k 故直线mx ny 1 0的倾斜角为 或 故选C 3 2018四川达州一诊 过点P 1 2 斜率为 3的直线方程为 答案 3x y 5 0 解析 由题意可得直线的点斜式方程为y 2 3 x 1 即3x y 5 0 4 2018广西临桂中学月考 在平面直角坐标系xOy中 若圆x2 y 1 2 4上存在A B两点关于点P 1 2 对称 则直线AB的方程为 答案 x y 3 0 解析 由题意得圆心与点P的连线垂直于AB kAB 1 kAB 1 又直线AB过点P 所以直线 AB的方程为y 2 x 1 即x y 3 0 5 2018四川广安 眉山诊断性考试 若直线l与直线2x y 2 0关于直线x y 4 0对称 则直线l的 方程是 答案 x 2y 2 0 解析 设P x y 为直线l上一点 则P关于直线x y 4 0的对称点P m n 在直线2x y 2 0上 故有 解得 点P m n 在
