《高考数学理科一轮复习（全国2卷 B）课件：§6.3 等比数列 .pptx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学理科一轮复习（全国2卷 B）课件：§6.3 等比数列 .pptx（45页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 6 3 等比数列 高考理数 课标 专用 考点 等比数列的概念及运算 1 2017课标全国 3 5分 我国古代数学名著 算法统宗 中有如下问题 远望巍巍塔七层 红光点点倍加增 共灯三百八十一 请问尖头几盏灯 意思是 一座7层塔共挂了381盏灯 且相 邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍 则塔的顶层共有灯 A 1盏 B 3盏 C 5盏 D 9盏 五年高考 A组 统一命题 课标卷题组 答案 B 本题主要考查数学文化及等比数列基本量的计算 由题意可知 由上到下灯的盏数a1 a2 a3 a7构成以2为公比的等比数列 S7 381 a 1 3 故选B 2 2015课标全国 4 5分 0 834 已知等
2、比数列 an 满足a1 3 a1 a3 a5 21 则a3 a5 a7 A 21 B 42 C 63 D 84 答案 B 设 an 的公比为q 由a1 3 a1 a3 a5 21得1 q2 q4 7 解得q2 2 负值舍去 a3 a5 a7 a 1q 2 a 3q 2 a 5q 2 a 1 a3 a5 q 2 21 2 42 思路分析 由a1 a3 a5 21 结合a1 3求得q2 将a3 a5 a7转化为 a1 a3 a5 q2 整体代换即可求解 3 2016课标全国 15 5分 设等比数列 an 满足a1 a3 10 a2 a4 5 则a1a2 an的最大值为 答案 64 解析 设 an
3、的公比为q 于是a1 1 q2 10 a1 q q3 5 联立 得a1 8 q an 24 n a1a2 an 23 2 1 4 n 26 64 a1a2 an的最大值为64 思路分析 求出a1与q 将其代入a1a2 an q1 2 3 n 1 中求解即可 疑难突破 由an 24 n得a1a2 an 利用二次函数性质求解 4 2018课标全国 17 12分 等比数列 an 中 a1 1 a5 4a3 1 求 an 的通项公式 2 记Sn为 an 的前n项和 若Sm 63 求m 解析 本题考查等比数列的概念及其运算 1 设 an 的公比为q 由题设得an qn 1 由已知得q4 4q2 解得q
4、0 舍去 或q 2或q 2 故an 2 n 1或an 2n 1 2 若an 2 n 1 则Sn 由Sm 63得 2 m 188 此方程没有正整数解 若an 2n 1 则Sn 2n 1 由Sm 63得2m 64 解得m 6 综上 m 6 思路分析 1 根据已知建立关于q的方程 求得q并检验 代入等比数列的通项公式 2 利用等比数列前n项和公式与已知建立等量关系即可求解 易错警示 解方程时 对根的检验 求解等比数列的公比时 要结合题意进行讨论 取值 避免错解 解后反思 等比数列基本量运算问题的常见类型及解题策略 1 求通项 求出等比数列的两个基本量a1和q后 通项便可求出 2 求特定项 利用通项公
5、式或者等比数列的性质求解 3 求公比 利用等比数列的定义和性质建立方程 组 求解 4 求前n项和 直接将基本量代入等比数列的前n项和公式求解或利用等比数列的性质求解 5 2016课标全国 17 12分 已知数列 an 的前n项和Sn 1 an 其中 0 1 证明 an 是等比数列 并求其通项公式 2 若S5 求 解析 1 由题意得a1 S1 1 a1 故 1 a1 a1 0 2分 由Sn 1 an Sn 1 1 an 1得an 1 an 1 an 即an 1 1 an 由a1 0 0得an 0 所以 因此 an 是首项为 公比为 的等比数列 于是an 6分 2 由 1 得Sn 1 由S5 得1
6、 即 解得 1 12分 思路分析 1 先由题设利用an 1 Sn 1 Sn得到an 1与an的关系式 要证数列是等比数列 关键是看an 1与an之比是否为一常数 其中说明an 0是非常重要的 2 利用第 1 问的结论解方程求出 解题关键 1 证数列 an 是等比数列的关键是证an 1与an的比是一常数 2 将 1 中an的表达式 代入已知等式中求Sn 而不要由an的表达式通过等比数列前n项和公式入手 6 2014课标全国 17 12分 0 299 已知数列 an 满足a1 1 an 1 3an 1 1 证明 是等比数列 并求 an 的通项公式 2 证明 解析 1 由an 1 3an 1得an
7、1 3 又a1 所以 是首项为 公比为3的等比数列 an 因此 an 的通项公式为an 2 证明 由 1 知 因为当n 1时 3n 1 2 3n 1 所以 于是 1 所以 考点一 等比数列的概念及运算 1 2018北京 4 5分 十二平均律 是通用的音律体系 明代朱载堉最早用数学方法计算出半 音比例 为这个理论的发展做出了重要贡献 十二平均律将一个纯八度音程分成十二份 依次得 到十三个单音 从第二个单音起 每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于 若第一个单音的频率为f 则第八个单音的频率为 A f B f C f D f B组 自主命题 省 区 市 卷题组 答案 D 本题主要考查等比
8、数列的概念和通项公式及等比数列的实际应用 由题意知 十三个单音的频率构成首项为f 公比为 的等比数列 设该等比数列为 an 则a8 a1 q7 即a8 f 故选D 易错警示 本题是以数学文化为背景的应用问题 有以下几点容易造成失分 读不懂题意 不 能正确转化为数学问题 对要用到的公式记忆错误 在求解过程中计算错误 2 2014重庆 2 5分 对任意等比数列 an 下列说法一定正确的是 A a1 a3 a9成等比数列 B a2 a3 a6成等比数列 C a2 a4 a8成等比数列 D a3 a6 a9成等比数列 答案 D 不妨设公比为q 则 q4 a1 a9 q8 a2 a6 q6 当q 1时
9、A B均不正确 又 q6 a2 a8 q8 同理 C不正确 由 q10 a3 a9 q10 知D正确 3 2016天津 5 5分 设 an 是首项为正数的等比数列 公比为q 则 q 0 是 对任意的正整 数n a2n 1 a2n 0 的 A 充要条件 B 充分而不必要条件 C 必要而不充分条件 D 既不充分也不必要条件 答案 C 若对任意的正整数n a2n 1 a2n 0 则a1 a20 所以a2 0 所以q 0 若q 0 可取 q 1 a1 1 则a1 a2 1 1 0 不满足对任意的正整数n a2n 1 a2n 0 所以 q 0 是 对任意的正整 数n a2n 1 a2n0 n N 1 若
10、2a2 a3 a2 2成等差数列 求数列 an 的通项公式 2 设双曲线x2 1的离心率为en 且e2 证明 e1 e2 en 解析 1 由已知 Sn 1 qSn 1 Sn 2 qSn 1 1 两式相减得到an 2 qan 1 n 1 又由S2 qS1 1得到a2 qa1 故an 1 qan对所有n 1都成立 所以 数列 an 是首项为1 公比为q的等比数列 从而an qn 1 由2a2 a3 a2 2成等差数列 可得 2a3 3a2 2 即2q2 3q 2 则 2q 1 q 2 0 由已知 q 0 故q 2 所以an 2n 1 n N 2 由 1 可知 an qn 1 所以双曲线x2 1的离
11、心率en 由e2 解得q 因为1 q2 k 1 q2 k 1 所以 qk 1 k N 于是e1 e2 en 1 q qn 1 故e1 e2 en 疑难突破 由 1 可得en 因为不等式左边是e1 e2 en 直接求和不行 利用放缩法 得en qn 1 从而得e1 e2 en q0 q1 qn 1 化简即可 8 2015山东 18 12分 设数列 an 的前n项和为Sn 已知2Sn 3n 3 1 求 an 的通项公式 2 若数列 bn 满足anbn log3an 求 bn 的前n项和Tn 解析 1 因为2Sn 3n 3 所以2a1 3 3 故a1 3 当n 1时 2Sn 1 3n 1 3 此时2
12、an 2Sn 2Sn 1 3n 3n 1 2 3n 1 即an 3n 1 所以an 2 因为anbn log3an 所以b1 当n 1时 bn 31 nlog33n 1 n 1 31 n 所以T1 b1 当n 1时 Tn b1 b2 b3 bn 1 3 1 2 3 2 n 1 31 n 所以3Tn 1 1 30 2 3 1 n 1 32 n 两式相减 得 2Tn 30 3 1 3 2 32 n n 1 31 n n 1 31 n 所以Tn 经检验 n 1时也适合 综上可得 Tn 考点二 等比数列的性质及应用 1 2018浙江 10 4分 已知a1 a2 a3 a4成等比数列 且a1 a2 a3
13、 a4 ln a1 a2 a3 若a1 1 则 A a1 a3 a2a3 a2 a4 C a1a4 D a1 a3 a2 a4 答案 B 本小题考查等比数列的概念和性质 利用导数求函数的单调性和最值 不等式的性 质和分类讨论思想 设f x ln x x x 0 则f x 1 令f x 0 得0 x 1 令f x 1 f x 在 0 1 上为增函数 在 1 上为减函数 f x f 1 1 即有ln x x 1 从而a1 a2 a3 a4 ln a1 a2 a3 a1 a2 a3 1 a41 公比q0 矛盾 若q 1 则a1 a2 a3 a4 a1 1 q q2 q3 a1 1 q 1 q2 0
14、ln a1 a2 a 3 ln a1 0 也矛盾 1 q 0 从而 q20 a1 a3 同理 q2 1 a2a2 选B 思路分析 1 由题中的选项可知要判断0 q21 2 由条件可知要利用不等式ln x x 1 x 0 得a4 0 进而得q 0 3 直接求q的取值范围较难 转化为判断q 1和q 1时 等式a1 a2 a3 a4 ln a1 a2 a3 左 右两 边的正负 进而得出矛盾 从而得 1 q0 而a2 0 利用 1 q 0得结论 2 2015安徽 14 5分 已知数列 an 是递增的等比数列 a1 a4 9 a2a3 8 则数列 an 的前n项和等于 答案 2n 1 解析 由已知得 a
15、1a4 a2a3 8 又a1 a4 9 解得 或 而数列 an 是递增的等比数列 a 10 a2a4 16 8 q4 16 q3 8 解得q 2 a1 1 舍负 则S5 31 故选C 4 2016黑龙江哈尔滨模拟 6 已知数列 an 满足1 log3an log3an 1 n N a2 a4 a6 9 则lo a5 a 7 a9 A B C 5 D 5 答案 C 1 log3an log3an 1 n N an 0 3an an 1 即数列 an 为公比q 3的等比数列 则a5 a7 a9 q3 a2 a4 a6 243 lo a5 a7 a9 lo 243 5 5 2018青海西宁期末 17
16、 已知等差数列 an 的前n项和为Sn a3 6 S3 12 1 求 an 的通项公式 2 求证 S1 S3 S8成等比数列 解析 1 设等差数列 an 的公差为d a3 6 S3 12 解得a1 2 d 2 an 2 2 n 1 2n 2 证明 S1 2 S3 12 S8 72 122 144 S1 S8 2 72 144 S1 S8 即S1 S3 S8成等比数列 考点二 等比数列的性质及应用 1 2018陕西宝鸡二模 6 已知等差数列 an 的公差为3 若a1 a3 a4成等比数列 则a2 A 9 B 6 C 8 D 10 答案 A a1 a3 a4成等比数列 a1 a4 a1 6 2 a1 a1 9 解得a1 12 a2 12 3 9 故选 A 2 2018甘肃兰州二模 6 已知数列 an 为等比数列 且a2a6 2 则tan a3a5 A B C D 答案 A 由等比数列 an 的性质可得 a2a6 a3a5 a2a6 2 3a3a5 a3a5 tan a3a5 tan 故选A 3 2018新疆石河子一中模拟 7 设等比数列 an 的前n项和为Sn 若Sn 2n 1 则 A 2
