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1、第2章 数 列 2 2 2 2 等差数列等差数列 2 2 22 2 2 等差数列的通项公式 等差数列的通项公式 Contents Page 明目标 知重点 填要点 记疑点 探要点 究所然 内容 索引 01 02 03 当堂测 查疑缺 04 1 能根据等差数列的定义推出等差数列的通项公式 2 能根据等差数列的定义推出等差数列的重要性质 3 能运用等差数列的性质解决有关问题 明目标 知重点 1 等差数列的通项公式 一般地 对于等差数列 an 的第n项an 有an a1 n 1 d 这就是等差数列 an 的通项公式 2 等差数列的图象 等差数列的通项公式an a1 n 1 d 当d 0时 an是关于
2、 n的常函数 当d 0时 an是关于n的一次函数 点 n an 分 布在以 为斜率的直线上 是这条直线上的一列孤立的点 填要点 记疑点 d n m d 4 等差数列的性质 1 等差数列的项的对称性 在有穷等差数列中 与首末两项 等距离 的两项之和等于 首项与末项的和 即a1 an a2 an 1 a3 an 2 2 若 an bn 分别是公差为d d 的等差数列 则有 数列结论 c an 公差为d的等差数列 c为任一常数 c an 公差为cd的等差数列 c为任一常数 an an k 公差为2d的等差数列 k为常数 k N pan qbn 公差为pd qd 的等差数列 p q为常数 3 an 的
3、公差为d 则d 0 an 为递增数列 d1 an an 1 kn b k n 1 b kn b kn k b k 由于k是一个与n无关的常数 所以 an 是等差数列 由于an kn b b k n 1 k 所以首项a1 k b 公差d k 探究点三 等差数列通项公式的推广 思考1 已知等差数列 an 的首项a1和公差d能表示出通项an a1 n 1 d 如果已知第m项am和公差d 又如何表示通项an 答 设等差数列的首项为a1 则am a1 m 1 d 变形得a1 am m 1 d 则an a1 n 1 d am m 1 d n 1 d am n m d 思考2 对于任意的正整数m n p q
4、 若m n p q 则 在等差数列 an 中 am an与ap aq之间有怎样的关系 为 什么 答 am an ap aq 因为am an a1 m 1 d a1 n 1 d 2a1 n m 2 d 而ap aq a1 p 1 d a1 q 1 d 2a1 p q 2 d 又因m n p q 所以am an ap aq 小结 利用等差数列的第二通项公式及等差数列的性质 不难得出等差数列另外一些性质 1 在等差数列 an 中 若m n p q 则am an ap aq 可以推广为序号的三个数或n个数之和相等 则对应的项之 和相等 2 an 为有穷等差数列 则与首末两项等距离的两项之和 都相等 且
5、等于首末两项之和 3 下标成等差数列且公差为m的项ak ak m ak 2m k m N 组成公差为md的等差数列 4 若数列 an 和 bn 均为等差数列 则 an bn kan b k b为非零常数 也为等差数列 例3 已知等差数列 an 中 a1 a4 a7 15 a2a4a6 45 求此数列的通项公式 解 因为a1 a7 2a4 a1 a4 a7 3a4 15 所以a4 5 又因为a2a4a6 45 所以a2a6 9 即 a4 2d a4 2d 9 5 2d 5 2d 9 解得d 2 若d 2 an a4 n 4 d 2n 3 若d 2 an a4 n 4 d 13 2n 反思与感悟
6、解决本类问题一般有两种方法 一是运用等 差数列 an 的性质 若m n p q 2w 则am an ap aq 2aw m n p q w都是正整数 二是利用通项公式转 化为数列的首项与公差的结构完成运算 属于通性通法 两种方法都运用了整体代换与方程的思想 跟踪训练3 在等差数列 an 中 已知a1 a4 a7 39 a2 a5 a8 33 求a3 a6 a9的值 解 方法一 a1 a4 a7 a1 a7 a4 3a4 39 a4 13 a2 a5 a8 a2 a8 a5 3a5 33 a5 11 d a5 a4 2 a3 a6 a9 a3 a9 a6 3a6 3 a5 d 3 11 2 27
7、 方法二 a1 a4 a7 a1 a1 3d a1 6d 3a1 9d 39 a1 3d 13 a2 a5 a8 a1 d a1 4d a1 7d 3a1 12d 33 a1 4d 11 a3 a6 a9 a1 2d a1 5d a1 8d 3a1 15d 3 19 15 2 27 例4 三个数成等差数列 和为6 积为 24 求这三个数 解 方法一 设这三个数的等差中项为a 公差为d 则这三个数分别为a d a a d 依题意得 3a 6且a a d a d 24 所以a 2 代入a a d a d 24 化简得d2 16 于是d 4 故三个数为 2 2 6或6 2 2 方法二 设首项为a 公
8、差为d 这三个数分别为a a d a 2d 依题意得 3a 3d 6且a a d a 2d 24 所以a 2 d 代入a a d a 2d 24 得2 2 d 2 d 24 4 d2 12 即d2 16 于是d 4 三个数为 2 2 6或6 2 2 反思与感悟 当等差数列 an 的项数n为奇数时 可设中间 一项为a 再用公差为d向两边分别设项 a 2d a d a a d a 2d 当项数n为偶数时 可设中间两项为 a d a d 再以公差为2d向两边分别设项 a 3d a d a d a 3d 这样可减少计算量 跟踪训练4 四个数成递增等差数列 中间两数的和为2 首 末两数的积为 8 求这四
9、个数 解 方法一 设这四个数为a 3d a d a d a 3d 公差 为2d 依题意得 2a 2 且 a 3d a 3d 8 即a 1 a2 9d2 8 d2 1 d 1或d 1 又四个数成递增等差数列 所以d 0 d 1 故所求的四个数为 2 0 2 4 方法二 设这四个数为a a d a 2d a 3d 公差为d 依题意得 2a 3d 2 且a a 3d 8 化简得d2 4 所以d 2或 2 又四个数成递增等差数列 所以d 0 所以d 2 a 2 故所求的四个数为 2 0 2 4 当堂测 查疑缺 1 2 3 1 数列 an 的通项公式an 2n 5 则此数列 是公差为2的等差数列 是公差
10、为5的等差数列 是首项为5的等差数列 是公差为n的等差数列 解析 an 1 an 2 n 1 5 2n 5 2 an 是公差为2的等差数列 4 1 2 3 4 2 等差数列 an 中 已知a3 10 a8 20 则公差d 6 1 2 3 4 3 等差数列 an 中 a4 a5 15 a7 12 则a2 解析 由数列的性质 得a4 a5 a2 a7 所以a2 15 12 3 3 1 2 3 4 4 已知三个数成等差数列并且数列是递增的 它们的和为18 平方和为116 求这三个数 解 设这三个数为a d a a d 由已知得 由 得a 6 代入 得d 2 1 2 3 4 该数列是递增数列 d 0
11、即d 2 这三个数依次为4 6 8 1 在等差数列 an 中 当m n时 d 为公差公式 利 用这个公式很容易求出公差 还可变形为am an m n d 2 等差数列 an 中 每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺 序排列 构成的新数列仍然是等差数列 3 等差数列 an 中 若m n p q 则an am ap aq n m p q N 特别地 若m n 2p 则an am 2ap 呈重点 现规律 4 在等差数列 an 中 首项a1与公差d是两个最基本的元素 有关等差数列的问题 如果条件与结论间的联系不明显 则均可化成有关a1 d的关系列方程组求解 但是 要注 意公式的变形及整体计算 以减少计算量
