《高中数学第2章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.1.1（第二课时）类比推理讲义（含解析）苏教版选修2_2.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学第2章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.1.1（第二课时）类比推理讲义（含解析）苏教版选修2_2.doc（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第二课时类比推理为了回答“火星上是否有生命”这个问题，科学家们把火星与地球作为类比，发现火星具有一些与地球类似的特征，如火星也是围绕太阳运行、绕轴自转的行星，也有大气层，在一年中也有季节的变更，而且火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存，等等由此，科学家猜想：火星上也可能有生命存在问题：科学家做出上述猜想的推理过程是怎样的？提示：在提出上述猜想的过程中，科学家对比了火星与地球之间的某些相似特征，然后从地球的一个已知特征(有生命存在)出发，猜测火星也可能具有这个特征矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖賃軔朧碍鳝绢懣硯涛镕頃赎巯驂雞虯从躜鞯烧。1类比推理根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同
2、，推演出它们在其他方面也相似或相同，像这样的推理通常称为类比推理，简称类比法其思维过程为：聞創沟燴鐺險爱氇谴净祸測樅锯鳗鲮詣鋃陉蛮苎覺藍驳驂签拋敘睑绑。2合情推理合情推理是根据已有的事实、正确的结论、实验和实践结果_，以及个人的经验等推测某些结果的推理过程归纳推理和类比推理都是数学活动中常用的合情推理残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟婭骒東戇鳖納们怿碩洒強缦骟飴顢歡窃緞駔蚂。类比推理的特点主要体现在以下几个方面： (1)类比推理是从特殊到特殊的推理(2)类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征，推测正在被研究中的事物的特征所以，类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠酽锕极額閉镇桧猪訣锥顧荭钯詢鳕驄粪讳鱸况閫硯浈
3、颡閿审詔頃緯贾。(3)由于类比推理的前提是两类对象之间具有某些可以清楚定义的类似特征所以，进行类比推理的关键是明确地指出两类对象在某些方面的类似特征彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑诒尔肤亿鳔简闷鼋缔鋃耧泞蹤頓鍥義锥柽鳗铟。类比推理在数列中的应用例1在等差数列an中，若a100，则有等式a1a2ana1a2a19n(n19，nN*)成立类比上述性质，相应地，在等比数列bn中，若b91，则有什么样的等式成立？謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔點鉍杂篓鳐驱數硯侖葒屜懣勻雏鉚預齒贡缢颔。思路点拨在等差数列与等比数列的类比中，等差数列中的和类比等比数列中的积，差类比商，积类比幂精解详析在等差数列an中，a100，a1a2ana1
4、90，即a1a2ana19a18an1.又由a100，得a1a19a2a18ana20nan1a19n2a100，a1a19，a2a18，a19nan1，a1a2ana1a2a19n，若a90，同理可得a1a2ana1a2a17n，相应的，在等比数列bn中，若b91，则可得b1b2bnb1b2b17n(n0，则数列dn_(nN*)也是等比数列鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴縈诘聾諦鳍皑绲讳谧铖處騮戔鏡謾维覦門剛慘。答案：2已知命题：若数列an为等差数列，且ama，anb(mn，m，nN*)，则amn.现已知等比数列bn(bn0，nN*)，且bma，bnb(mn，m，nN*)，类比上述结论，求bmn.籟丛妈
5、羥为贍偾蛏练淨槠挞曉养鳌顿顾鼋徹脸鋪闳讧锷詔濾铩择觎測。解：等差数列通项an与项数n是一次函数关系，等比数列通项bn与项数n是指数型函数关系利用类比可得bmn.預頌圣鉉儐歲龈讶骅籴買闥龅绌鳆現檳硯遙枨纾釕鴨鋃蠟总鴯询喽箋。类比推理在几何中的应用例2如图，在三棱锥SABC中，SASB，SBSC，SASC，且SA、SB、SC和底面ABC所成的角分别为1、2、3，三侧面SBC，SAC，SAB的面积分别为S1，S2，S3，类比三角形中的正弦定理，给出空间情形的一个猜想渗釤呛俨匀谔鱉调硯錦鋇絨钞陉鳅陸蹕銻桢龕嚌谮爺铰苧芻鞏東誶葦。思路点拨在DEF中，有三条边，三个角，与DEF相对应的是四面体SABC，与
6、三角形三条边长对应的是四面体三个侧面的面积，三角形三个角对应的是SA，SB，SC与底面ABC所成的三个线面角1，2，3.在平面几何中三角形的有关性质，我们可以用类比的方法，推广到四面体、三棱柱等几何体中铙誅卧泻噦圣骋贶頂廡缝勵罴楓鳄烛员怿镀鈍缽蘚邹鈹繽駭玺礙層談。精解详析在DEF中，由正弦定理，得.于是，类比三角形中的正弦定理，在四面体SABC中，我们猜想成立擁締凤袜备訊顎轮烂蔷報赢无貽鳃闳职讳犢繒笃绨噜钯組铷蟻鋨赞釓。一点通(1)类比推理的基本原则是根据当前问题的需要，选择适当的类比对象，可以从几何元素的数目、位置关系、度量等方面入手由平面中相关结论可以类比得到空间中的相关结论贓熱俣阃歲匱阊
7、邺镓騷鯛汉鼉匮鲻潰馒鼋餳攪單瓔纈釷祕譖钭弯惬閻。(2)平面图形与空间图形类比平面图形空间图形点线线面边长面积面积体积线线角二面角三角形四面体3在平面中ABC的角C的内角平分线CE分ABC面积所成的比，将这个结论类比到空间：在三棱锥ABCD中，平面DEC平分二面角ACDB且与AB交于E，则类比的结论为_坛摶乡囂忏蒌鍥铃氈淚跻馱釣缋鲸鎦潿硯级鹉鄴椟项邬瑣脐鯪裣鄧鯛。 图(1)(2)解析：平面中的面积类比到空间为体积，故类比成.平面中的线段长类比到空间为面积，故类比成.故有.答案：4.如图所示，在ABC中，射影定理可表示为abcos Cccos B，其中a，b，c分别为角A，B，C的对边，类比上述定
8、理，写出对空间四面体性质的猜想蜡變黲癟報伥铉锚鈰赘籜葦繯颓鲷洁遲銻鹂迳睁張晕辯滾癰學鸨朮刭。解：如图所示，在四面体PABC中，S1，S2，S3，S分别表示PAB，PBC，PCA，ABC的面积，依次表示面PAB，面PBC，面PCA与底面ABC所成二面角的大小買鲷鴯譖昙膚遙闫撷凄届嬌擻歿鲶锖够怿輿绸養吕諄载殘撄炜豬铥嵝。我们猜想射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为SS1cos S2cos S3cos .綾镝鯛駕櫬鹕踪韦辚糴飙钪麦蹣鲵殘荩讳创户軾鼹麗躑時嘮犖鈞泞椁。合情推理的应用例3我们已经学过了等差数列，你是否想过有没有等和数列呢？(1)类比“等差数列”给出“等和数列”的定义；(2)探索等和
9、数列an的奇数项和偶数项各有什么特点，并加以说明；(3)在等和数列an中，如果a1a，a2b，求它的前n项和Sn.思路点拨可先根据等差数列的定义类比出“等和数列”的定义，然后再据此定义探索等和数列的奇数项、偶数项及其前n项和驅踬髏彦浃绥譎饴憂锦諑琼针咙鲲鏵鲠黾诂鰒猫餑矫赖懾鷗邻嫱鏹癣。精解详析(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的和等于同一个常数，那么这个数列就叫做等和数列猫虿驢绘燈鮒诛髅貺庑献鵬缩职鲱样犧硯嬸軼產锺銪貸崳门騭荧愛缪。(2)由(1)知anan1an1an2，所以an2an.所以等和数列的奇数项相等，偶数项也相等(3)当n为奇数时，令n2k1，kN*，则SnS2k1S
10、2k2a2k1(ab)a(ab)aab；锹籁饗迳琐筆襖鸥娅薔嗚訝摈馍鲰钵鈳銻趨線賜辭尋谳殼車墾骝颁许。当n为偶数时，令n2k，kN*，则SnS2kk(ab)(ab)所以它的前n项和Sn構氽頑黉碩饨荠龈话骛門戲鷯瀏鲮晝崃怿挟懺潆说荚諼嘰虽涤漬确轾。一点通(1)本题是一道浅显的定义类比应用问题，通过对等差数列定义及性质的理解，类比出等和数列的定义和性质，很好地考查学生类比应用的能力輒峄陽檉簖疖網儂號泶蛴镧釃邊鲫釓袜讳铈骧鹳蔦馳诸寫簡腦轅騁镀。(2)本题型是类比定义，对本类题型解决的关键在于弄清两个概念的相似性和相异性5类比平面向量基本定理：“如果e1，e2是平面内两个不共线的向量，那么对于平面内任
11、一向量a，有且只有一对实数1，2，使得a1e12e2.”写出空间向量基本定理的是_尧侧閆繭絳闕绚勵蜆贅瀝纰縭垦鲩换鹊黾淺赖謬纩斃誅兩欤辈啬紳骀。答案：如果e1，e2，e3是空间三个不共面的向量，那么对空间内任一向量a，有且只有一组实数1，2，3，使得a1e12e23e3识饒鎂錕缢灩筧嚌俨淒侬减攙苏鲨运著硯闋签泼熾赇讽鸩憲餘羁鸲傘。6已知椭圆C：1具有性质：若M，N是椭圆C上关于原点对称的两点，点P是椭圆C上任意一点，当直线PM，PN的斜率都存在，并记为KPM，KPN时，那么KPM与KPN之积是与点P位置无关的定值试对双曲线1写出类似的性质，并加以证明凍鈹鋨劳臘锴痫婦胫籴铍賄鹗骥鲧戲鋃銻瞩峦鳜晋
12、净觸骝乌噠飑罗奐。解：类似的性质：若M，N是双曲线1上关于原点对称的两点，点P是双曲线上任意一点，当直线PM，PN的斜率都存在，并记为KPM，KPN时，那么KPM与KPN之积是与点P位置无关的定值恥諤銪灭萦欢煬鞏鹜錦聰櫻郐燈鲦軫惊怼骥饌誚層糾袄颧颅氢檣亿撐。证明如下：设M(m，n)，则N(m，n)，其中1.鯊腎鑰诎褳鉀沩懼統庫摇饬缗釷鲤怃诖讳緘貞楼剂镂蝕阔釔縮賭鶯燙。设P(x，y)，由KPM，KPN，硕癘鄴颃诌攆檸攜驤蔹鸶胶据实鲣赢虧黾买硤鬓鸭怄萧锹诈趸办勞繞。得KPMKPN，阌擻輳嬪諫迁择楨秘騖輛埙鵜蔹鲢幟簞硨虑嬰訖領袞薈铍綿頦统议蠱。将y2x2b2，n2m2b2代入得KPMKPN.氬嚕躑竄
13、贸恳彈瀘颔澩纷釓鄧鳌鲡貼閂銻響颟晋铴鲵舻邝滥臥阗块賃。1进行类比推理时，要尽量从本质上思考，不要被表面现象所迷惑，否则，只抓住一点表面的相似甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误釷鹆資贏車贖孙滅獅赘慶獷緞瑋鲟将摇怼諳调馍躓潆脅踌懟档擻諞銖。2多用下列技巧会提高所得结论的准确性：(1)类比对象的共同属性或相似属性尽可能的多些(2)这些共同属性或相似属性应是类比对象的主要属性(3)这些共同(相似)属性应包括类比对象的各个方面，并尽可能是多方面一、填空题1正方形的面积为边长的平方，则在立体几何中，与之类比的图形是_，结论是_怂阐譜鯪迳導嘯畫長凉馴鸨撟鉍鲞谣谧讳开疠蟯许轡缴谰刘緄諫巒題。答案：正方体正方体的体积为棱长的立方2给出下列推理：(1)三角形的内角和为(32)180，四边形的内角和为(42)180，五边形的内角和为(52)180，所以凸n边形的内角和为(n2)180；(2)三角函数都是周期函数，ytan x是三角函数，所以ytan x是周期函数；(3)狗是有骨骼的；鸟是有骨骼的；鱼是有骨骼的；蛇是有骨骼的；青蛙是有骨骼的，狗
