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1、第2课时组合的应用目标定位1.能应用组合知识解决有关组合的简单实际问题.2.能解决有限制条件的组合问题.自 主 预 习1.组合的有关概念从n个不同元素中取出m(mn)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.组合数，用符号C表示.其公式为C(n，mN*，mn).特别地CC1.2.组合应用题的解法(1)无限制条件的组合应用题的解法步骤为：一、判断；二、转化；三、求值；四、作答.(2)有限制条件的组合应用题的解法常用解法有：直接法、间接法.可将条件视为特殊元素或特殊位置，一般地按从不同位置选取元素的顺序分步，或按从同一位置选取的元素个数的多少分类.即 时 自 测1.思考题(1)满
2、足什么条件的两个组合是相同的组合？提示如果两个组合中的元素完全相同，不管它们的顺序如何，就是相同的组合，否则就是两个不相同的组合(即使只有一个元素不同).(2)组合数公式的两种形式在应用中如何选择？提示在具体选择公式时要根据题目的特点正确选择.公式C常用于n为具体自然数的题目.一般偏向于组合数的计算.公式C常用于n为字母的题目，一般偏向于不等式的求解或恒等式的证明.2.身高各不相同的7名同学排成一排照相，要求正中间的同学最高，左右两边分别顺次一个比一个低，这样的排法种数是()A.5 040 B.36 C.18 D.20解析最高的同学只能站在中间，它别无选择；从剩下的6名同学中任选3名，有C种不
3、同的方法，他们由高到低的排列次序唯一；剩下的3名同学由高到低的排列次序也唯一.不同的排法共有C20(种).答案D3.某中学要从4名男生和3名女生中选4人参加公益活动，若男生甲和女生乙不能同时参加，则不同的选派方案共有()A.25种 B.35种 C.820种 D.840种解析分3类完成：男生甲参加，女生乙不参加，有C种选法；男生甲不参加，女生乙参加，有C种选法；两人都不参加，有C种选法.所以共有2CC25(种)不同的选派方案.答案A4.正六边形顶点和中心共7个点，可组成_个三角形.解析不共线的三个点可组成一个三角形，7个点中共线的是：正六边形过中心的3条对角线，即共有3种情况，故组成三角形的个数
4、为C332.答案32类型一分组、分配问题【例1】 6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法：(1)分给甲、乙、丙三人，每人两本；(2)分为三份，每份两本；(3)分为三份，一份一本，一份两本，一份三本；(4)分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人两本，一人三本；(5)分给甲、乙、丙三人，每人至少一本.解(1)先从6本书中选2本给甲，有C种选法；再从其余的4本中选2本给乙，有C种选法；最后从余下的2本书中选2本给丙，有C种选法；所以分给甲、乙、丙三人，每人2本，共有CCC90种.(2)分给甲、乙、丙三人，每人两本有CCC种方法，这个过程可以分两步完成：第一步分为三份，每份两本，设有x种方法；第二步
5、再将这三份分给甲、乙、丙三名同学有A种方法.根据分步乘法计数原理可得：CCCxA，所以x15.因此分为三份，每份两本一共有15种方法.(3)这是“不均匀分组”问题，一共有CCC60种方法.(4)在(3)的基础上再进行全排列，所以一共有CCCA360种方法.(5)可以分为三类情况：“2、2、2型”即(1)中的分配情况，有CCC90种方法；“1、2、3型”即(4)中的分配情况，有CCCA360种方法；“1、1、4型”，有CA90种方法.所以一共有9036090540种方法.规律方法“分组”与“分配”问题的解法(1)本题中的每一个小题都提出了一种类型的问题，搞清楚类型的归属对解题大有裨益.分清是分组
6、问题还是分配问题是很关键的.(2)分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种：完全均匀分组，每组的元素个数均相等；部分均匀分组，应注意不要重复，有n组均匀，最后必须除以n！；完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象.(3)分配问题属于“排列”问题，分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配.【训练1】 有4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内，(1)共有多少种放法？(2)恰有1个盒不放球，有多少种放法？(3)恰有1个盒内放2个球，有多少种放法？(4)恰有2个盒内不放球，有多少种放法？解(1)一个球一个球地放到盒子里去，每个球都可有4种独立的放法，由分步乘法计数原理知，放法共有44
7、256(种).(2)为保证“恰有1个盒子不放球”，先从4个盒子中任意拿去1个，即将4个球分成2、1、1的三组，有C种分法；然后再从3个盒子中选1个放2个球，其余2个球，2个盒子，全排列即可.由分步乘法计数原理知，共有放法CCCA144(种).(3)“恰有1个盒内放2个球”，即另外的3个盒子放剩下的2个球，而每个盒子至多放1个球，即另外3个盒子中恰有1个空盒.因此，“恰有1个盒子放2个球”与“恰有1个盒子不放球”是一回事，故也有144种放法.(4)先从4个盒子中任意拿走2个，有C种拿法，问题转化为：“4个球，2个盒子，每盒必放球，有几种放法？”，从放球数目看，可分为(3，1)，(2，2)两类：第
8、1类，可从4个球中先选3个，然后放入指定的一个盒子中即可，有CC种放法；第2类，有C种放法.因此共有CCC14(种).由分步乘法计数原理得“恰有2个盒子不放球”的放法有C1484(种).类型二与几何图形有关的组合问题【例2】 (1)四面体的一个顶点为A，从其他顶点和各棱中点中取3个点，使它们和点A在同一平面上，有多少种不同的取法？(2)四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，有多少种不同的取法.解(1)(直接法)如图，含顶点A的四面体的3个面上，除点A外都有5个点，从中取出3点必与点A共面共有3C种取法；含顶点A的三条棱上各有三个点，它们与所对的棱的中点共面，共有3种取法.根
9、据分类加法计数原理，与顶点A共面的三点的取法有3C333(种).(2)(间接法)如图，从10个点中取4个点的取法有C种，除去4点共面的取法种数可以得到结果.从四面体同一个面上的6个点取出的4点必定共面.有4C60(种)，四面体的每一棱上3点与相对棱中点共面，共有6种共面情况，从6条棱的中点中取4个点时有3种共面情形(对棱中点连线两两相交且互相平分)，故4点不共面的取法为：C(6063)141(种).规律方法解决与几何图形有关的问题时，要善于利用几何图形的性质和特征，充分挖掘图形的隐含条件，转化为有限制条件的组合问题.【训练2】 平面内有12个点，其中有4个点共线，此外再无任何3点共线，以这些点
10、为顶点，可得多少个不同的三角形？解法一我们把从共线的4个点中取点的多少作为分类的标准.第1类：共线的4个点中有2个点作为三角形的顶点，共有CC48(个)不同的三角形；第2类：共线的4个点中有1个点作为三角形的顶点，共有CC112(个)不同的三角形；第3类：共线的4个点中没有点作为三角形的顶点，共有C56(个)不同的三角形.由分类加法计数原理，不同的三角形共有4811256216(个).法二间接法：CC2204216(个).类型三排列、组合的综合应用(互动探究)【例3】 有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的课代表，求分别符合下列条件的选法数：(1)有女生但人数必须少于男生；(2)
11、某女生一定担任语文课代表；(3)某男生必须包括在内，但不担任数学课代表；(4)某女生一定要担任语文课代表，某男生必须担任课代表，但不担任数学课代表.思路探究探究点一(1)中选法包含几种情况？解决这类问题的一般思路是什么？提示有两种情况：2女3男与1女4男，一般思路：“先选后排”也就是把符合题意的元素都选出来，再对元素或位置进行排列.探究点二对(2)、(3)、(4)中“在”与“不在”问题的解题原则是什么？提示按“优先原则”，即优先排特殊元素或优先满足特殊位子.解(1)先选后排，先取可以是2女3男，也可以是1女4男，先取有CCCC种，后排有A种，共(CCCC)A5 400种.(2)除去该女生后，先
12、取后排，有CA840种.(3)先选后排，但先安排该男生，有CCA3 360种.(4)先从除去该男生、该女生的6人中选3人有C种，再安排该男生有C种，其中3人全排有A种，共CCA360(种).规律方法解决有关排列与组合的综合应用问题尤其应注意两点：(1)审清题意，区分哪是排列，哪是组合；(2)往往综合问题会有多个限制条件，应认真分析确定分类还是分步.【训练3】 有五张卡片，它们的正、反面分别写着0与1，2与3，4与5，6与7，8与9.将其中任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？解法一从0和1这个特殊情况考虑，可分三类：第1类：取0不取1，可先从另四张卡片中选一张作百位，有C
13、种方法；0可在后两位，有C种方法；最后需从剩下的三张中任取一张，有C种方法；又除含0的那张外，其他两张都有正面或反面两种可能，故此时可得不同的三位数有CCC22个.第2类：取1不取0，同上分析可得不同的三位数C22A个.第3类：0和1都不取，有不同的三位数C23A个.综上所述，不同的三位数共有CCC22C22AC23A432(个).法二任取三张卡片可以组成不同的三位数C23A个，其中0在百位的有C22A个，这是不合题意的，故不同的三位数共有C23AC22A432(个).课堂小结1.应用组合知识解决实际问题的四个过程2.注意结合知识背景理解“有序”“无序”，是排列问题还是组合问题，问法的细微变化
14、就可能导致问题性质的变化，解题时要注意审题.1.凸十边形的对角线的条数为()A.10 B.35 C.45 D.90解析C1035，所以选B.答案B2.用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为()A.24 B.48 C.60 D.72解析由题可知，五位数要为奇数，则个位数只能是1，3，5；分为两步：先从1，3，5三个数中选一个作为个位数有C，再将剩下的4个数字排列得到A，则满足条件的五位数有CA72.选D.答案D3.某学校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有_种(用数字作答).解析分两类，A类选修课2门
15、，B类选修课1门，或者A类选修课1门，B类选修课2门，因此，共有CCCC30(种)选法.答案304.男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1名.选派5人外出比赛.在下列情形中各有多少种选派方法？(1)男运动员3名，女运动员2名；(2)至少有1名女运动员；(3)既要有队长，又要有女运动员.解(1)第一步：选3名男运动员，有C种选法.第二步：选2名女运动员，有C种选法.故共有CC120(种)选法.(2)法一至少有1名女运动员包括以下几种情况：1女4男，2女3男，3女2男，4女1男.由分类加法计数原理可得总选法数为CCCCCCCC246(种).法二“至少有1名女运动员”的反面为“全是男运动员”，可用间接法求解.从10人中任选5人有C种选法，其中全是男运动员的选法有C种.所以“至少有1名女运动员”的选法
