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1、第2课时 题型 1 圆锥曲线中的定点问题 作为高考的一个热点 从考纲的要求以及全国各省高考命 题的趋势来看 圆锥曲线背景下的定点与定值问题要引起我们 的高度重视 特别是和向量 不等式的结合 关于定点与定值问 题 一般来说从两个方面来解决 1 从特殊入手 求出定点或 定值 再证明这个点或值与变量无关 2 直接推理 计算 并 在计算的过程中消去变量 从而得到定点或定值 1 求 C 的方程 2 设直线 l 不经过 P2 点且与 C 相交于 A B 两点 若直线 P2A 与直线 P2B 的斜率的和为 1 证明 l 过定点 所以直线 l 过定点 2 1 互动探究 题型 2 圆锥曲线中的定值问题 例 2
2、2017 年新课标 在平面直角坐标系 xOy 中 曲线 y x2 mx 2 与 x 轴交于 A B 两点 点 C 的坐标为 0 1 当 m 变化时 解答下列问题 1 能否出现 AC BC 的情况 说明理由 2 证明过 A B C 三点的圆在 y 轴上截得的弦长为定值 1 解 不能出现 AC BC 的情况 理由如下 设 A x1 0 B x2 0 则 x1 x2 满足 x2 mx 2 0 所以 x1x2 2 又 C 的坐标为 0 1 即过 A B C 三点的圆在 y 轴上截得的弦长为定值 规律方法 解决定值 定点问题的方法一般有两种 从特殊入手 求出定点 定值 再证明定点 定值与变量无关 直接计
3、算 推理 并在计算 推理的过程中消去变量 从而 得到定点 定值 应注意到繁难的代数运算是此类问题的特点 设而不求方法 整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运 算 互动探究 1 求 C 的方程 2 直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴 l 与 C 有两个交 点 A B 线段 AB 的中点为 M 证明 直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率的乘积为定值 所以直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率的乘积为定值 题型 3 圆锥曲线中的探索性问题 探索性问题是近几年高考的热点问题 是一种具有开放性 和发散性的问题 此类题目的条件或结论不完备 要求解答者自 己去探索 结合已有条件 进行观察 分析 比较和
4、概括 圆锥 曲线的探索性问题主要体现在以下几个方面 1 探索点是否存 在 2 探索曲线是否存在 3 探索命题是否成立 解决这类问题 的基本策略是 通常假定题中的数学对象存在 或结论成立 或 暂且认可其中的一部分的结论 然后在这个前提下进行逻辑推 理 若由此导出矛盾 则否定假设 否则 给出肯定结论 其中 反证法在解题中起着重要的作用 例 3 2015年新课标 在平面直角坐标系 xOy 中 曲线 C x2 4 1 当 k 0 时 分别求 C 在点 M 和 N 处的切线方程 2 y 轴上是否存在点 P 使得当 k 变动时 总有 OPM OPN 说明理由 思维点拨 将 OPM OPN 转化为直线 PM 的倾斜角与 直线 PN 的倾斜角互补 进而转化为直线 PM 的斜率与直线 PN 的斜率之和为 0 再将其坐标化 即可列出方程 本题字母运 算复杂 需要细心和耐心 y 与直线 y kx a a 0 交于 M N 两点 2 存在符合题意的点 理由如下 设 P 0 b 为符合题意的点 M x1 y1 N x2 y2 直线 PM PN 的斜率分别为 k1 k2 将 y kx a 代入 C 的方程整理 得 x2 4kx 4a 0 x1 x2 4k x1x2 4a 当 b a 时 有 k1 k2 0 则直线 PM 的倾斜角与直线 PN 的倾斜角互补 故 OPM OPN 所以点 P 0 a 符合题意
