《数学新学案同步必修一人教A全国通用课件：第3章 3.2 函数模型及其应用3.2.2 .pptx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学新学案同步必修一人教A全国通用课件：第3章 3.2 函数模型及其应用3.2.2 .pptx（28页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3 2 2 函数模型的应用实例 第三章 3 2 函数模型及其应用 学习目标 1 能利用已知函数模型求解实际问题 2 能自建确定性函数模型解决实际问题 3 了解建立拟合函数模型的步骤 并了解检验和调整的必要性 问题导学 达标检测 题型探究 内容索引 问题导学 知识点一 几类已知函数模型 函数模型函数解析式 一次函数模型f x ax b a b为常数 a 0 反比例函数模型f x b k b为常数且k 0 二次函数模型f x ax2 bx c a b c为常数 a 0 指数型函数模型f x bax c a b c为常数 b 0 a 0且a 1 对数型函数模型f x blogax c a b c为常
2、数 b 0 a 0且a 1 幂函数型模型f x axn b a b为常数 a 0 知识点二 应用函数模型解决问题的基本过程 用函数模型解应用题的四个步骤 1 审题 弄清题意 分清条件和结论 理顺数量关系 初步选择 模型 2 建模 将自然语言转化为数学语言 将文字语言转化为符号语言 利用数学知识建立相应的数学模型 3 求模 求解数学模型 得出数学模型 4 还原 将数学结论还原为实际问题 思考辨析 判断正误 1 实际问题中两个变量之间一定有确定的函数关系 2 用来拟合散点图的函数图象一定要经过所有散点 3 函数模型中 要求定义域只需使函数式有意义 4 用函数模型预测的结果和实际结果必须相等 否则函
3、数模型就无存 在意义了 题型探究 例1 某列火车从北京西站开往石家庄 全程277 km 火车出发10 min开 出13 km后 以120 km h的速度匀速行驶 试写出火车行驶的总路程S与匀 速行驶的时间t之间的关系 并求火车离开北京2 h内行驶的路程 类型一 利用已知函数模型求解实际问题 因为火车匀速行驶t h所行驶的路程为120t km 所以 火车运行总路程S与匀速行驶时间t之间的关系是 解答 反思与感悟 在实际问题中 有很多问题的两变量之间的关系是已知函 数模型 这时可借助待定系数法求出函数解析式 再根据解题需要研究 函数性质 跟踪训练1 如图是抛物线形拱桥 当水面在l时 拱 顶离水面2
4、米 水面宽4米 则水位下降1米后 水面宽 米 解析 以拱顶为原点 过原点与水面平行的直线为x轴 建立平面直角坐 标系 如图 则水面和拱桥交点A 2 2 设抛物线所对应的函数关系式 为y ax2 a 0 则 2 a 22 解析答案 当水面下降1米时 水面和拱桥的交点记作B b 3 类型二 自建确定性函数模型解决实际问题 例2 某住宅小区为了营造一个优雅 舒适的生活环境 打算建造一个八边形的休闲花园 它的主体造型的平面 图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成面积为200米2 的十字形区域 且计划在正方形MNPK上建一座花坛 其 造价为4 200元 米2 在四个相同的矩形上 图中的阴影部分 铺花
5、岗岩路面 其造价为210元 米2 并在四个三角形空地上铺草坪 其造价为80元 米 2 1 设AD的长为x米 试写出总造价Q 单位 元 关于x的函数解析式 解答 解 设AM y AD x 则x2 4xy 200 故Q 4 200 x2 210 4xy 80 2y2 2 问 当x取何值时 总造价最少 求出这个最小值 当t 10时 umin 20 解答 反思与感悟 自建模型时主要抓住四个关键 求什么 设什么 列 什么 限制什么 求什么就是弄清楚要解决什么问题 完成什么任务 设什么就是弄清楚这个问题有哪些因素 谁是核心因素 通常设核心 因素为自变量 列什么就是把问题已知条件用所设变量表示出来 可以是方
6、程 函 数 不等式等 限制什么主要是指自变量所应满足的限制条件 在实际问题中 除了 要使函数式有意义外 还要考虑变量的实际含义 如人不能是半个等 跟踪训练2 某旅游点有50辆自行车供游客租赁使用 管理这些自行车的 费用是每日115元 根据经验 若每辆自行车的日租金不超过6元 则自行 车可以全部租出 若超过6元 则每提高1元 租不出去的自行车就增 加3辆 旅游点规定 每辆自行车的日租金不低于3元并且不超过20元 每辆自行 车的日租金x元只取整数 用y表示出租所有自行车的日净收入 日净收入 即一日中出租的所有自行车的总收入减去管理费用后的所得 1 求函数y f x 的解析式 解答 解 当3 x 6
7、时 y 50 x 115 令50 x 115 0 解得x 2 3 又因为x N 所以3 x 6 且x N 当6 x 20 且x N时 y 50 3 x 6 x 115 3x2 68x 115 2 试问日净收入最多时每辆自行车的日租金应定为多少元 日净收入最 多为多少元 解 当3 x 6 且x N时 因为y 50 x 115是增函数 所以当x 6时 ymax 185元 当6 x 20 且x N时 解答 所以当x 11时 ymax 270元 综上所述 当每辆自行车日租金定为11元时才能使日净收入最多 为270元 类型三 建立拟合函数模型解决实际问题 例3 某个体经营者把开始六个月试销A B两种商品
8、的逐月投资金额与所 获纯利润列成下表 投资A种商品金 额 万元 123456 获纯利润 万元 0 651 391 8521 841 40 投资B种商品金 额 万元 123456 获纯利润 万元 0 300 590 881 201 511 79 该经营者准备第七个月投入12万元经营这两种商品 但不知A B两种商 品各投入多少万元才合算 请你帮助制定一个资金投入方案 使得该经 营者能获得最大纯利润 并按你的方案求出该经营者第七个月可获得的 最大纯利润 结果保留两位有效数字 解答 解 以投资额为横坐标 纯利润为纵坐标 在平面直角坐标系中画出散点 图 如图所示 观察散点图可以看出 A种商品所获纯利润y
9、与投资额x之间的变化规律可 以用二次函数模型进行模拟 如图 所示 取 4 2 为最高点 则y a x 4 2 2 a 0 再把点 1 0 65 代入 得0 65 a 1 4 2 2 解得a 0 15 所以y 0 15 x 4 2 2 B种商品所获纯利润y与投资额x之间的变化规律是线性的 可以用一次函 数模型进行模拟 如图 所示 设y kx b k 0 取点 1 0 30 和 4 1 20 代入 设第七个月投入A B两种商品的资金分别为x万元 12 x 万元 总利润 为W万元 那么W yA yB 0 15 x 4 2 2 0 3 12 x 所以W 0 15 x 3 2 0 15 9 3 2 当x
10、 3时 W取最大值 约为4 6万元 此时B商品的投资为9万元 故该经营者下个月把12万元中的3万元投资A种商品 9万元投资B种商品 可获得最大利润 约为4 6万元 反思与感悟 在建立和应用函数模型时 准确地把题目要求翻译成 数学问题非常重要 另外实际问题要注意实际意义对定义域 取值 范围的影响 跟踪训练3 某商场经营一批进价为每件30元的商品 在市场销售中发 现此商品的销售单价x元与日销量y件之间有如下关系 销售单价x 元 30404550 日销售量y 件 6030150 1 在所给坐标系中 根据表中提供的数据描出实数对 x y 对应的点 并确定x与y的一个函数关系式y f x 解答 解 实数
11、对 x y 对应的点如图所示 由图可知y是x的一次函数 所以f x 3x 150 30 x 50 检验成立 2 设经营此商品的日销售利润为P元 根据上述关系式写出P关于x的函数 关系式 并指出销售单价x为多少时 才能获得最大日销售利润 解 P x 30 3x 150 3x2 240 x 4 500 30 x 50 解答 答 当销售单价为40元时 所获利润最大 达标检测 答案 1 一辆汽车在某段路程中的行驶路程s关于时间t变化的图象如图所示 那么图象所对应的函数模型是 A 分段函数 B 二次函数 C 指数函数 D 对数函数 12345 2 若镭经过100年后剩留原来质量的95 76 设质量为1的
12、镭经过x年 后剩留量为y 则x y的函数关系是 12345 答案 123 3 某种植物生长发育的数量y与时间x的关系如下表 则下面的函数关系式中 拟合效果最好的是 A y 2x 1 B y x2 1 C y 2x 1 D y 1 5x2 2 5x 2 45 答案 x123 y138 12345 4 某同学最近5年内的学习费用y 千元 与时间x 年 的关系如图所示 则可选择的模拟函数模型是 A y ax b B y ax2 bx c C y aex b D y aln x b 答案 12345 5 某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品 其生产的总成本y 万元 与年产量x 吨 之间的函数关系式可以近似地表示为y 48x 8 000 已知此生产线年产量最大为210吨 若每吨产品平均出厂价为40万 元 那么当年产量为多少吨时 可以获得最大利润 最大利润是多少 解答 12345 R x 在 0 210 上是增函数 当x 210时 年产量为210吨时 可获得最大利润1 660万元 解函数应用问题的步骤 四步八字 1 审题 弄清题意 分清条件和结论 理顺数量关系 初步选择数学 模型 2 建模 将自然语言转化为数学语言 将文字语言转化为符号语言 利用数学知识 建立相应的数学模型 3 求模 求解数学模型 得出数学结论 4 还原 将数学问题还原为实际问题 规律与方法
