《高中北师大数学必修二课件：1.4.2空间图形的基本关系与公理 .pptx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中北师大数学必修二课件：1.4.2空间图形的基本关系与公理 .pptx（29页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 1 第2课时 等角定理与异面直线所成的角 1 等角定理 空间中 如果两个角的两条边分别对应平行 那么这两个角相等或 互补 名师点拨等角定理的符号语言与图形语言及作用 1 图形语言 如图 所示 2 符号语言 已知OA O A OB O B 则 AOB A O B 或 AOB A O B 180 3 作用 判断或证明两个角相等或互补 做一做1 空间两个角 的两边分别对应平行 且方向相同 若 50 则 等于 A 50 B 130 C 40 D 50 或130 解析 由等角定理知 与 相等 答案 A 2 异面直线所成的角 如图所示 过空间任意一点P分别引两条异面直线a b的平行线 l1 l2 a l
2、1 b l2 这两条相交直线所成的锐角 或直角 就是异面直 线a b所成的角 如果两条异面直线所成的角是直角 我们称这两条 直线互相垂直 记作 a b 做一做2 如图所示 在四面体ABCD中 E F G分别为BC AD DB的 中点 若AB与CD所成的角为60 则 FGE 解析 因为E F G分别为BC AD DB的中点 所以FG AB EG DC 所以 FGE 60 或120 答案 60 或120 3 空间四边形 四个顶点不在同一平面内的四边形叫作空间四边形 思考辨析 判断下列说法是否正确 正确的在后面的括号内打 错误的打 1 若一个角的两边和另一个角的两边分别平行 且方向相同 则 这两个角
3、相等 2 若一个角的两边和另一个角的两边分别平行 且有一组对边方 向相同 另一组对边方向相反 则这两个角互补 3 若一个角的两边和另一个角的两边分别平行 则这两个角相 等 4 若一个角的两边和另一个角的两边分别平行 且方向相反 则 这两个角互补 5 两条异面直线所成角的范围为 0 90 答案 1 2 3 4 5 探究一探究二一题多解 探究一等角定理的应用 例1 如图所示 在正方体ABCD A1B1C1D1中 M M1分别是棱AD 和A1D1的中点 求证 1 四边形BB1M1M为平行四边形 2 BMC B1M1C1 分析 本题是在正方体中研究问题 1 欲证四边形BB1M1M是平行 四边形 可证其
4、一组对边平行且相等 2 可结合 1 利用定理证明或 利用三角形全等证明 探究一探究二一题多解 证明 1 在正方形ADD1A1中 M M1分别为AD A1D1的中点 MM1 AA1 MM1 AA1 又AA1 BB1 AA1 BB1 MM1 BB1 且MM1 BB1 四边形BB1M1M为平行四边形 2 方法一 由 1 知四边形BB1M1M为平行四边形 B1M1 BM 同理可得四边形CC1M1M为平行四边形 C1M1 CM 由平面几何知识可知 BMC和 B1M1C1都是锐角 BMC B1M1C1 探究一探究二一题多解 方法二 由 1 知四边形BB1M1M为平行四边形 B1M1 BM 同理可得四边形C
5、C1M1M为平行四边形 C1M1 CM 又B1C1 BC BCM B1C1M1 BMC B1M1C1 反思感悟1 要明确等角定理的两个条件 即两个角的两条边分别 对应平行 并且方向相同 这两个条件缺一不可 2 空间中证明两个角相等 可以利用等角定理 也可以利用三角形 的相似或全等 还可以利用平行四边形的对角相等 在利用等角定 理时 关键是弄清楚两个角对应边的关系 探究一探究二一题多解 变式训练1在三棱柱ABC A1B1C1中 M N P分别为边A1C1 AC和AB 的中点 求证 PNA1 BCM 证明 因为P N分别为AB AC的中点 所以PN BC 又M N分别为A1C1 AC的中点 所以A
6、1M NC 所以四边形A1NCM为平行四边形 故A1N MC 由 及 PNA1与 BCM对应边方向相同 得 PNA1 BCM 探究一探究二一题多解 探究二求两条异面直线所成的角 例2 如图所示 已知正方体ABCD A B C D 1 哪些棱所在的直线与直线BC 是异面直线 2 求异面直线AD 与B C BC 与CD 所成角的大小以及A C与AB所 成角的正切值 分析 1 按照异面直线的定义进行判断 2 根据异面直线所成角 的定义进行求解 探究一探究二一题多解 解 1 所在直线与BC 是异面直线的棱有 AA DD A B DC AD A D 2 因为AD BC 所以AD 与B C所成的角就是BC
7、 与B C所成的 角 因为BC B C 所以AD 与B C所成的角等于90 因为A B CD 所以BC 与CD 所成的角就是BC 与A B所成的角 因为 A C B是等边三角形 所以 A BC 60 故BC 与CD 所成 角的大小为60 因为AB CD 所以 A CD就是异面直线A C与AB所成的角 在 A CD中 若设正方体的棱长为a 探究一探究二一题多解 反思感悟求异面直线所成的角 1 求两条异面直线所成的角 一般是根据其定义求解 步骤如下 1 平移 2 构造三角形 3 解三角形 4 作答 2 在所给几何体中平移直线构造异面直线所成的角时 一般是选 取其中一条直线上的特殊点 如顶点 棱的中
8、点等 探究一探究二一题多解 变式训练2导学号91134011如图所示 已知三棱锥A BCD AD BC E F分别是AB CD的中点 且EF AD 求异面直线 AD和BC所成角的大小 探究一探究二一题多解 解 取AC的中点G 连接EG FG 因为E F分别是AB CD的中点 由异面直线所成角的定义可知 EGF或其补角即为异面直线 AD BC所成的角 所以异面直线AD和BC所成的角为90 探究一探究二一题多解 典例 如图所示 在正方体ABCD A1B1C1D1中 E F分别是 A1B1 B1C1的中点 求异面直线DB1与EF所成角的大小 分析 要求异面直线所成角的大小 关键是作出异面直线所成的
9、角 把它归结到三角形中 通过解三角形就可以得出答案 同时在解 题时要注意异面直线所成角的范围 探究一探究二一题多解 解法1 直接平移法 如图所示 连接A1C1 B1D1交于点O 取DD1的中点G 连接GA1 GC1 OG 则OG B1D EF A1C1 故 GOA1或其补角就 是异面直线DB1与EF所成的角 GA1 GC1 O为A1C1的中点 GO A1C1 异面直线DB1与EF所成的角为90 探究一探究二一题多解 HF2 EF2 HE2 HEF 90 异面直线DB1与EF所成的角为90 探究一探究二一题多解 解法3如图所示 分别取AA1 CC1的中点M N 连接MN 则MN EF 所以直线M
10、N与DB1所成的角就是异面直线DB1与EF 所成的角 连接MB1 DN DM B1N 则B1N DM 且B1N DM 四边形DMB1N 为平行四边形 MN与B1D必相交 设交点为P DM2 DP2 MP2 DPM 90 即DB1 EF 异面直线DB1与EF所成的角为90 探究一探究二一题多解 解法4 补形法 如图所示 在原正方体的右侧补上一个同样的正方 体 连接B1Q DQ 则B1Q EF 于是 DB1Q或其补角就是异面直线DB1与EF所成的角 通过计 算 不难得到B1D2 B1Q2 DQ2 故异面直线DB1与EF所成的角为 90 探究一探究二一题多解 名师点评求两条异面直线所成角大小的步骤
11、1 构造 选择适当 的点 平移异面直线中的一条或两条成为相交直线 这里的点通常 选择特殊位置的点 如线段的端点或中点 也可以是异面直线中某 一直线上的一个特殊点 2 证明 证明作出的角就是要求的角 3 计 算 求角度 常利用三角形 4 结论 若求出的角是锐角或直角 则它 就是所求异面直线所成的角 若求出的角是钝角 则它的补角就是 所求异面直线所成的角 12345 1 若 AOB A O B OA O A 且OA与O A 的方向相同 则OB与 O B A 一定平行且方向相同B 一定平行且方向相反 C 一定不平行D 不一定平行 解析 由于两角不一定在同一个平面内或两角所在的平面不一定平 行 因此O
12、B与O B 不一定平行 答案 D 12345 2 若一条直线与两条平行线中的一条为异面直线 则它与另一条 A 相交B 异面 C 相交或异面 D 平行 解析 在如图所示的长方体ABCD A1B1C1D1中 直线AA1与直线B1C1 是异面直线 与B1C1平行的直线有A1D1 AD BC 显然直线AA1与A1D1 相交 与BC异面 答案 C 12345 3 在正方体ABCD A1B1C1D1中 E F M分别为A1B1 B1C1 BB1的中点 下列说法错误的是 A BA1C1 MEF B A1BC1 EMF C B1EM EA1B D EFM A1C1F 解析 由等角定理 可知A B C均正确 答案 D 12345 4 空间中 角A的两边和角B的两边分别平行 若 A 70 则 B 解析 因为角A的两边和角B的两边分别平行 所以 A B或 A B 180 因为 A 70 所以 B 70 或 B 110 答案 70 或110 12345 5 如图所示 在空间四边形ABCD中 两条对边AB CD 3 E F分别是 和CD所成的角的大小 12345 EMF 或其补角 为异面直线AB和CD所成的角 AB 3 CD 3 EM 2 MF 1 又EF MF2 EF2 EM2 MFE 90 EMF 60 异面直线AB和CD所成的角为60
