《人教B高中数学选修2-2 2.3 数学归纳法 课件.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《人教B高中数学选修2-2 2.3 数学归纳法 课件.ppt（32页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第二章 推理与证明 2 3 数学归纳法 知识导学 问题探究 例1 是否存在常数a b c 使得等式 n2 12 2 n2 22 n n2 n2 an4 bn2 c对一切正整数n都成立 若存在 求出a b c的值 若不存在 说明理由 解 假设存在a b c使得所给等式成立 令n 1 2 3代入等式得 解得 以下用数学归纳法证明等式 n2 12 2 n2 22 n n2 n2 对一切正整数n都成立 1 当n 1时 由以上可知等式成立 2 假设当n k时 等式成立 即 k2 12 2 k2 22 k k2 k2 则当n k 1时 k 1 2 12 2 k 1 2 22 k k 1 2 k2 k 1
2、k 1 2 k 1 2 k2 12 2 k2 22 k k2 k2 2k 1 2 2k 1 k 2k 1 由 1 2 知 等式对一切正整数n都成立 1 对于开放式的与n有关的等式证明问题 一般是先假设结 论成立 利用n的前几个取值求参数 而后用数学归纳法证明 2 在使用数学归纳法的第二步进行证明时 事实上 归 纳假设 已经成了已知条件 n k 1时结论正确 则是求证 的目标 可先用分析法的思路 借助已学过的公式 定理或运 算法则进行恒等变形 把待证的目标拼凑出归纳假设的形式 再把运用归纳假设后的式子进行变形 证明 归纳总结 1 已知n N 证明 证明 1 当n 1时 左边 右边 等式成立 2
3、假设当n k k N 时等式成立 即有 学以致用 那么当n k 1时 左边 所以当n k 1时等式也成立 综合 1 2 知对一切n N 等式都成立 问题探究 例2 由下列不等式 你能得到一个怎样的一般不等式 并加以证明 解 根据给出的几个不等式可以猜想第n个不等式 即一般不 等式为 用数学归纳法证明如下 1 当n 1时 猜想成立 2 假设当n k时 猜想成立 即 则当n k 1时 即当n k 1时 猜想也正确 所以对任意的n N 不等式都成 立 1 本例在由n k到n k 1这一步变化中 不等式 左边增加了 即增加了2k项 这 一点很关键 若项数写不正确 该题的证明将无法正确得出 2 当n k
4、 1时的证明中采用了放缩法 即将已知式子分母变 大 从而所得结果变小 顺利地与要证的式子接轨从而得以证 明 此种方法是证明不等式的常用方法 应用时要注意是放大 还是缩小 归纳总结 学以致用 问题探究 例3 已知数列 an 满足Sn an 2n 1 1 写出a1 a2 a3 并推测an的表达式 2 用数学归纳法证明所得的结论 解 1 将n 1 2 3分别代入可得 2 由 1 得n 1时 命题成立 假设n k时 命题成立 即 那么当n k 1时 a1 a2 ak ak 1 ak 1 2 k 1 1 且a1 a2 ak 2k 1 ak 2k 1 ak 2ak 1 2 k 1 1 2k 3 即当n k
5、 1时 命题也成立 根据 得 对一切n N 都成立 归纳总结 归纳 猜想 证明 是不完全归纳法与数学归纳法综合应用 的解题模式 此种方法在解探索性问题 存在性问题时起着重 要的作用 特别是在数列中求an Sn时更是应用频繁 学以致用 学以致用 3 数列 an 中 a1 1 且 求a3 a4 猜想an的表达式 并用数学归纳法证明你的猜想 解析 因为a1 1 a2 且 所以 同理可求得 归纳猜想 下面用数学归纳法证明猜想正确 1 当n 1时 易知猜想正确 2 假设当n k k N 时 猜想正确 即 那么当n k 1时 即当n k 1时 猜想也正确 由 1 2 可知 猜想对任意正整数都正确 当堂检测 课堂小结
